10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

More documents

Recommendations

Info

S 0.7 (cirkelligningen: et eks.). Bestem kurven givet ved ligningen |z| 2 − 8z − 8z = 0 (jargon for {z ∈ C | |z| 2 − 8z − 8z = 0}). S 0.8. Løs ligningen z 4 − 2z 3 − 27z + 54 = 0 Indtegn rødderne i den komplekse plan. Betegn de fire rødder med αj,j = 1,2,3,4, og beregn j αj, j
S 0.15. (a) For hvilke z ∈ C eksisterer limn→∞ z n ? (b) Betragt for z ∈ C delmængden Az = {z n | n = 1,2,3,... } af C. Vi ser p˚a de fire egenskaber begrænset, lukket (i C), kompakt, diskret (betyder at enhver delmængde er ˚aben i den relative topologi). Afgør for hver af disse egenskaber hvilke Az der har egenskaben. (c) Angiv for hvert z afslutningen Az (i C ). 1. Holomorfe funktioner Endnu ingen supplerende opgaver hertil. 2. Kurveintegraler og stamfunktioner S 2.1. Betragt kurven γ(t) = e it , 0 ≤ t ≤ π (og tegn den). Beregn kurveintegralet γ f(z)dz for hver af funktionerne (i) 1/z2 , (ii) 1/z, (iii) cos z, (iv) sinhz, (v) (exp(z)) 3 , (vi) tan z. Ingen supplerende opgaver hertil. 3. Cauchys sætninger 4. Anvendelse af Cauchys integralformel Ingen supplerende opgaver hertil. 5. Argument. Logaritme. Potens S 5.1. Vedr. CB-opg 5.4: ”T har ingen kontinuert argumentfunktion” . Et alternativt bevis kan gennemføres indirekte efter flg. udkast: Antag θ er en s˚adan. S˚a er θ(z/|z|) en kontinuert argumentfunktion p˚a C\{0}. Men C\{0} har ingen kontinuert argumentfunktion (hvorfor?). S 5.2. Betragt ellipsen med halvakser a > 0 og b > 0 og parameterfremstilling γ(t) = acos t + ibsin t for 0 ≤ t ≤ 2π, og benyt det geometrisk indlysende at ω(γ,0) = 1 til at beregne 2π 0 1 a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t dt (Brug integralformlen for omløbstal, forlæng tæller og nævner med γ(t) og del op i real- og imaginærdel). S 5.3. I en tabel over ubestemte integraler sl˚as følgende op: 1 a2 cos2 t + b2 sin2 dt = arctan(b tan t) =: F(t) t a Vis at det er rigtigt! Men F(2π) − F(0) = 0. Det kan tydeligvis ikke være det bestemte integral i den foreg˚aende opgave. Hvad er g˚aet galt? S 5.4. Betragt f(z) = 1 1+z 2. Gør rede for at den er holomorf p˚a C \ {i, −i}. Find komplekse tal a og b s˚a f(z) = a f(z)dz hvor γ er kurven γ 3 z−i + b z+i . Udregn kurveintegralerne
Page 1: SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FU
Page 5 and 6: cos z S 6.7. Betragt f(z) = (z−π

10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?