10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

(1) |z − i| = 1 med positivt omløb
(2) |z + i| = 1 med positivt omløb
(3) |z| = 2 med positivt omløb
S 5.5. Lad γ1 og γ2 være to lukkede kurver i C \ {0} med samme parameterinterval
[a,b]. Definer kurven γ(t) = γ1(t)γ2(t). Gør rede for at den er en
lukket kurve i C \ {0}. Vis at ω(γ,0) = ω(γ1,0) + ω(γ2,0)
6. Nulpunkter og isolerede singulariteter
I dette afsnit betegner G stedse et omr˚ade i C.
S 6.1. Lad a ∈ G og f,g ∈ H(G). Antag at f har et nulpunkt af orden m i
a, og g har nulpunkt i det samme a af orden n. Find ordenen af nulpunktet
for fg i a.
Samme spørgsm˚al som ovenfor for poler (med f,g ∈ H(G \ {a})).
S 6.2. Lad a ∈ G og f,g ∈ H(G \ {a}). Antag at f har et nulpunkt af orden
m i a (herunder at singulariteten er hævelig), og g har en pol i det samme
a af orden n. Afgør for hvert m,n arten af singulariteten for fg, herunder
angiv udtryk for nulpunkts- og polorden i a.
S 6.3. Formuleringen af resultaterne i de to foreg˚aende opgaver simplificeres
betydeligt med flg. to konventioner: (i) Hvis f i a har en pol of orden n, siges
f at have et nulpunkt af orden −n og (ii) hvis f har en hævelig singularitet
i a med f(a) = 0, siges f at have et nulpunkt af orden 0. Find og bevis
en formel for ordenen af nulpunktet for fg i a udtrykt ved de to faktorers
nulpunktsorden i a.
S 6.4 (den meget lille residuesætning). Antag f er holomorf p˚a G \ {a})
med en simpel pol i a. Tallet limz→a f(z)(z − a) er i simpel-pol-tilfældet
hvad man kalder for residuet for f i a, i symboler Res(f(z),z = a). Lad
r > 0 være s˚a lille at K(a,r) ⊂ G, og betragt randkurven γ = ∂K(a,r) med
positivt omløb. Vis at
1
f(z)dz = Res(f(z),z = a)
2πi
∂K(a,r)
Vis at Res(f(z),z = a) = d
dz ((z − a)2 f(z)) |z=a (idet selvfølgelig højresiden
skal forst˚as p˚a rette m˚ade, nemlig hvilken?).
1
S 6.5. Vis at f(z) = 1−cos z har en pol z = 0. Hvad er polens orden?
Indse (næsten) uden at regne at koefficient nr. −1 i laurentrækken for f
omkring 0 er 0. Find et komplekst tal c s˚a g(z) = f(z) + c
z2 har en hævelig
singularitet i 0, og angiv g(0). Løs ligningen cos z = 1, (z ∈ C), og angiv
konvergensradius (den ydre) for laurentrækken for f omkring 0. Har f(z)
en stamfunktion p˚a konvergenscirkelringen?
S 6.6. Gør rede for at funktionen f(z) = 1 1
z−1−i + z−1+3i er holomorf p˚a
ringomr˚adet {z | 1 < |z − 1| < 3}, og find dens laurentrække p˚a dette
omr˚ade.
4