10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

cos z
S 6.7. Betragt f(z) = (z−π) 2. Gør rede for at z = π er en pol for f, angiv
polens orden, og beregn laurentrækken for f omkring dette punkt.
S 6.8 (følgekaraterisering af isolerede singulariteter). Flg. tre egenskaber
for f ∈ H(G \ {a}) karakteriserer sigularitetens art:
(1) Der findes et tal c ∈ C s˚a for enhver følge zn med zn → a og zn = a
gælder f(zn) → c
(2) For enhver følge zn med lim zna og zn = a gælder f(zn) → ∞ for
n → ∞.
(3) For ethvert tal c ∈ C findes en følge zn med zn → a og zn = a s˚a
der gælder f(zn) → c
Afgør hvilke egenskaber karakteriserer hvilke typer af singulariteter, og
bevis hvad du finder frem til.
7. Residuer og deres anvendelse
S 7.1. Lad f(z) = |z| 1
3eiArg(z) 3 være hovedgrenen af kubikrodsfunktion i den
1
opsk˚arne plan G = C \ {t + i0 | t ∈ R,t ≤ 0}. Betragt g(z) = f(z) 2−4 .
Find singulariterne for g, bestem deres art og beregn residuerne i de fundne
punkter.
S 7.2. Lad f være holomorf p˚a den udprikkede cirkelskive K ′ (0,r). Antag
at f er ulige: f(−z) = −f(z). Vis at laurentrækken for f omkring 0
kun indeholder led med ulige eksponent. Samme spm. for en lige funktion:
f(−z) = f(z). Beregn residuet
sin z
5,z
Res = 0
sinhz
S 7.3. Lad f være holomorf p˚a G = K ′ (0,π), og antag at |f(z)| ≤ |cot z|
for alle z ∈ G. Vis at singulariteten i 0 er enten hævelig eller en simpel pol.
Ny oplyses yderligere at f opfylder ulighederne |f( 1
n )| ≤ √ n for alle n ∈ N.
Vis at s˚a er singulariteten hævelig.
S 7.4. Lad f ∈ H(G \ {a}) opfylde limn→∞ f(a + 1
) = 2. Vis at singulariteten i a er væsentlig.
i
n
S 7.5. Bestem residuet
Beregn kurveintegralet
Res(cot z,z = 0)
γ
cot z dz
n ) = 1 og limn→∞ f(a +
hvor γ er enhedscirklen gennemløbet positivt.
Gør rede for at sin z er nulpunktsfri p˚a den udprikkede cirkelskive K ′ (0,π),
men at den ikke har nogen kontinuert logaritme p˚a den mængde.
5