Dynamisk programmering II - Matematik og optimering

Dynamisk heltalsprogrammering A
Betragt et optimeringsproblem af typen:
⎧
⎨ Q(x) = ϕ1(x1)···ϕn(xn) = Max!
h1(x1) + ··· + hn(xn) b
⎩
x1,...,xn 0 heltal
hvor ϕs er positiv, hs voksende og b ∈ N0. Dette problem kan løses ved at indføre:
g1(λ) = max
0x1[ξ1] {ϕ1(x1)}
gs(λ) = max
0xs[ξs] {gs−1(λ − hs(xs))ϕs(xs)} (s = 2,...,n)
hvor λ ∈ {0,...,b} og ξs er løsningen til ligningen hs(ξs) = λ.
Lad x ◦ s (λ) betegne værdien/værdierne af xs der realiserer maksimum gs(λ).
Max-værdien for (∗) er da gn(b) og max-punktet/punkterne x ◦ er:
x ◦ n = x ◦ n (b)
x ◦ n−1 = x◦ n−1 (b − hn(x ◦ n ))
.
x ◦ 1 = x ◦ 1 (b − hn(x ◦ n ) − ··· − h2(x ◦ 2 ))
Her betegner [·] heltalsdelen. Fx er [5.23] = 5 og [3] = 3.
Dias 5/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
Eksempel: Lineær bibetingelse 1/8
⎧
⎨ Q(x1,x2,x3) = x
⎩
3 1 + x2 + 2x 2 3 = Max!
4x1 + x2 + 2x3 33
x1,x2,x3 0 heltal
Da 4ξ1 = λ f˚as ξ1 = λ . Vi har derfor:
4
Eksempelvis er:
og vi noterer at x ◦ 1 (13) = 3.
Dias 7/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
g1(λ) = max
0x1[ λ 4 ] {x 3 1 }.
⎧
⎪⎨
g1(13) = max
⎪⎩
0 3 = 0
1 3 = 1
2 3 = 8
3 3 = 27
⎫
⎪⎬
= 27,
⎪⎭
(∗)
Dynamisk heltalsprogrammering B
Betragt et optimeringsproblem af typen:
⎧
⎨ Q(x) = ϕ1(x1) + ··· + ϕn(xn) = Max!
h1(x1) + ··· + hn(xn) b
⎩
x1,...,xn 0 heltal
hvor hs voksende og b ∈ N0. Dette problem kan løses ved at indføre følgende
g1(λ) = max
0x1[ξ1] {ϕ1(x1)}
gs(λ) = max
0xs[ξs] {gs−1(λ − hs(xs)) + ϕs(xs)} (s = 2,...,n)
hvor λ ∈ {0,...,b} og ξs er løsningen til ligningen hs(ξs) = λ.
Lad x ◦ s (λ) betegne værdien/værdierne af xs der realiserer maksimum gs(λ).
Max-værdien for (∗) er da gn(b) og max-punktet/punkterne x ◦ er:
Dias 6/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
x ◦ n = x ◦ n (b)
x ◦ n−1 = x◦ n−1 (b − hn(x ◦ n ))
.
x ◦ 1 = x ◦ 1 (b − hn(x ◦ n ) − ··· − h2(x ◦ 2 ))
Eksempel: Lineær bibetingelse 2/8
S˚aledes fremkommer følgende tabel for (g1,x ◦ 1 ):
Dias 8/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
λ g1(λ) x ◦ 1 (λ)
[0,3] 0 0
[4,7] 1 1
[8,11] 8 2
[12,15] 27 3
[16,19] 64 4
[20,23] 125 5
[24,27] 216 6
[28,31] 343 7
[32,33] 512 8
(∗)