Dynamisk programmering II - Matematik og optimering

Hvis vi indfører:
v (k1,...,kN
⎛
v
⎜
)
(n) = ⎜
⎝
(k1,...,kN )
1 (n)
v (k1,...,kN )
2 (n)
.
v (k1,...,kN
⎞
⎟
⎠
)
N (n)
⎛ ⎞ ⎛
q k1
1
q k2
2
q (k1,...,kN
⎜ ⎟
) ⎜ ⎟
= ⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ =
⎜
⎝
⎛
q kN
N
p k1
11
p k2
21
P (k1,...,kN
⎜
) ⎜
= ⎜ .
⎝ .
p kN
N1
da f˚as alts˚a sammenhængen:
Dias 29/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
p k1
11
p k2
21
k1 r11 k2 r21 p kN kN
N1rN1 + pk1
12
+ pk2
22
p k1
12 ··· p k1
1N
p k2
22 ··· p k2
2N
.
. ..
p kN
N2 ··· p kN
NN
k1 r12 k2 r22 kN + pkN
N2rN2 ⎞
⎟
. ⎟
. ⎠
k1 ⎞
+ ··· + pk1
1Nr1N k2
+ ··· + pk2
2Nr ⎟
2N ⎟
.
⎟
.
⎠
kN
+ ··· + pkN
NNrNN v (k1,...,kN ) (n) = q (k1,...,kN ) + P (k1,...,kN ) v (k1,...,kN ) (n − 1)
Man kan fx nu succesivt udregne:
v (1,1)
0
(0) =
0
v (1,1)
68 0.7 0.3 0 68
(1) = +
=
28 0.6 0.4 0 28
v (1,1)
68 0.7 0.3 68 124
(2) = +
=
28 0.6 0.4 28 80
v (1,1)
68 0.7 0.3 124 179
(3) = +
=
28 0.6 0.4 80 134
Dias 31/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
.
For strategien (k1,k2) = (1,1) (dvs. man vælger konsekvent den dyreste
reklamekampagne og den dyreste markedsanalyse) f˚as:
v (1,1)
v
(n) =
(1,1)
1 (n)
v (1,1)
2 (n)
q (1,1)
1
q1 =
q 1
1
p11r =
2
1 11 + p1 12r 1 12
p 1 21r 1 21 + p1 22r 1
=
22
P (1,1)
1
p11 p
=
1
12 0.7 0.3
=
0.6 0.4
p 1 21
p 1 22
Dias 30/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
0.7 · 80 + 0.3 · 40
=
0.6 · 40 + 0.4 · 10
Tilstand Valg p k ij r k
ij q k i k j = 1 j = 2 j = 1 j = 2
i
1
1
2
0.7
0.5
0.3
0.5
80
100
40
60
68
80
2
1
2
0.6
0.33
0.4
0.67
40
60
10
21
28
34
Gevinsten g (k1,...,kN ) for strategien (k1,...,kN) er den asymptotiske
gennemsnitlige ˚arlige indtægt – som faktisk er uafhængig af i – alts˚a:
1
n v (k1,...,kN )
i (n) → g (k1,...,kN )
for n → ∞
For strategien (k1,k2) = (1,1) finder vi:
1
10 v (1,1) (10) = 1
561 56.1
=
10 517 51.7
1
100 v (1,1) (100) = 1
5481 54.8
=
100 5437 54.4
1
1000 v (1,1) (1000) = 1
54681 54.7
=
1000 54637 54.6
1
10000 v (1,1) (10000) = 1
546681 54.7
=
10000 546637 54.7
Gevinsten for denne strategi er alts˚a g (1,1) = 54.7 (kr/˚ar i gennemsnit).
Dias 32/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
68
28