Dynamisk programmering II - Matematik og optimering

Kompleksitetsbetragtninger
Lad os fx betragte problemet:
⎧
⎨ Q(x1,...,xn) = ϕ1(x1) + ··· + ϕn(xn) = Max!
x1 + ··· + xn b
⎩
x1,...,xn 0 heltal
Der er (binomialkefficient) n+b
b
Dias 21/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
6
5
4
3
2
1
0
*
*
*
*
*
*
*
x 2
*
*
x 1 + x2 = 5
*
*
*
*
*
2+5
tilladte punkter. Eksempelvis er = 21.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0 1 2 3 4 5 6
Kompleksitet ved dynamisk programmering.
• Der kræves λ binære operationer for udregning af
g1(λ) = max
0x1λ {ϕ1(x1)}.
Udregning af første tabel g1(0),...,g1(b) har alts˚a kompleksitet:
0 + 1 + ··· + b = 1
b(b + 1).
2
• Der kræves (λ+1)+λ = 2λ+1 binære operationer for udregning af
gs(λ) = max
0xsλ {gs−1(λ − xs) + ϕs(xs)}.
Udregning af den s’te tabel gs(0),...,gs(b) har alts˚a kompleksitet:
(2·0 +1) + (2·1+1) + ··· + (2b +1) = (b +1) 2 .
• Udregning af de n −1 tabeller for g2,...,gn kræver s˚a (n − 1)(b + 1) 2 .
Den samlede kompleksitet ved dynamisk programmering er derfor:
Dias 23/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
cdynamisk(b,n) = 1
2 b(b + 1) + (n − 1)(b + 1)2 .
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x 1
*
5
Kompleksitet ved naiv løsning.
⎧
⎨ Q(x1,...,xn) = ϕ1(x1) + ··· + ϕn(xn) = Max!
x1 + ··· + xn b
⎩
x1,...,xn 0 heltal
• Udregn Q(x) = ϕ1(x1) + ··· + ϕn(xn) i samtlige n+b
tilladte punkter.
b
Kompleksitet: (n − 1) n+b
. b
• Udtag blandt de n+b
beregnede funktionsværdier den største.
b n+b
Kompleksitet: − 1.
b
Den samlede kompleksitet ved naiv løsning er derfor:
n + b n + b
n + b
cnaiv(b,n) = (n − 1) + − 1 = n − 1.
b b
b
Dias 22/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
(b,n) cnaiv(b,n) cdynamisk(b,n)
(50,5) 17393804 11679
(100,5) 482803229 45854
(50,20) 10 18
50694
(100,20) 10 23
198869
(50,40) 10 27
102714
(100,40) 10 36
402889
Hvis 1000000 IBM Roadrunners (hver 10 15 FLOPS) samarbejdede om den
naive løsning for b = 100 og n = 40, ville tidsforbruget være:
10 36
1000000 · 10 15 sek −1 = 1015 sek ≈ 32 millioner ˚ar.
Hvis en lommeregner (10 FLOPS) løste samme problem med dynamisk
programmering ville tidsforbruget være:
Dias 24/36 — Henrik Holm (IGM) — Dynamisk programmering II — 31. marts 2011
402889
= 40289sek ≈ 11 timer.
−1
10sek
(∗)