Eksponentielle funktioner - matematikfysik

16
godt anbringe y direkte på den logaritmiske skala
– placeringen er den samme, som det fremgår
af ovenstående! Det fremgår også, at man på
den logaritmiske akse kun kan afbilde positive
værdier. Til gengæld kan man på den logaritmiske
akse afbilde både meget små og meget store
tal på samme tid, uden at de små tal klumper
sammen. Lad y 1 og y 1 være to positive tal.
Omskrivningen log( y2) − log( y1) = log( y2
y 1)
viser da, at afstanden mellem de to tal på den logaritmiske
akse kun afhænger af deres indbyrdes
forhold y2 y 1.
Som et eksempel herpå kan
vi tage parret 100 og 10 samt parret 10 og 1. Da
parrene har samme indbyrdes forhold, nemlig
10, så skal de afbildes med samme afstand på
den logaritmiske akse. Vi kan på figuren se, at
dette holder stik. Der afsættes altså lige så
1, 10 ,
meget plads til tallene i det lille interval [ ]
som der afsættes til tallene i det store interval
[ 10,100 ] . Det er ofte en stor fordel.
26BEnkeltlogaritmisk koordinatsystem
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er et koordinatsystem, hvor x-aksen er en almindelig
akse og y-aksen er logaritmisk. Man kan vise – se appendiks B – at der gælder en
smuk egenskab for eksponentielle funktioner i et sådant koordinatsystem:
Sætning 19
En funktion er eksponentiel hvis og kun hvis den i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem
har en retlinet graf.
Ovenstående egenskab er årsagen til at man fremstiller såkaldt enkeltlogaritmisk papir,
som har en alm. x-akse og en logaritmisk y-akse. Papiret kan ifølge sætning 19 benyttes
til at afgøre, om en bestemt udvikling er eksponentiel: Hvis grafen er en ret linje på enkeltlogpapir,
så er der tale om en eksponentiel udvikling. Filosofien er, at det er meget
nemmere at afgøre, om en graf er lineær, end at afgøre om en graf krummer på den helt
rigtige måde i et almindeligt koordinatsystem. Den logaritmiske skala er opdelt i tre dekader,
hvormed menes tre intervaller, der hver spænder over en faktor 10. Papiret er
fleksibelt på den måde, at man selv kan vælge hvilke fire på hinanden følgende tipotenser
man ønsker at bruge. På enkeltlogpapiret vist på næste side er det valgt at lade den
logaritmiske y-akse spænde fra 0,1 til 100. Man kunne lige så vel have valgt at lade
aksen spænde fra 1 til 1000 eller 0,01 til 10.