Eksponentielle funktioner - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk 9
2B3. Titalslogaritmen
Nedenfor er afbildet grafen for eksponentialfunktionen ( ) 10 x
f x = . Hvis vi fra et givet x
på x-aksen går lodret op til grafen og herfra vandret ud til y-aksen, finder vi altså 10 x .
Men hvis vi omvendt kender en y-værdi på y-aksen, kan vi så finde en x-værdi, som
afbildes i y? Svaret er ja, hvis y > 0.
Og x-værdien er endda entydigt bestemt, eftersom f
er en voksende funktion (Overvej!). Denne værdi for x vil vi betegne log(
y ) , som vist
på figuren til højre. Dette giver anledning til den såkaldte logaritmefunktion.
Logaritmefunktionen er altså karakteriseret ved at være den omvendte eller inverse
funktion til ( ) 10 x
f x = . Hermed menes, at hvis man først benytter den ene funktion og
derefter den anden, så kommer man tilbage til udgangspunktet:
(6) log(10 ) = x for x∈ R
(7)
x
log( y)
10 = y for y∈ R +
Funktionerne 10 x x
og lo g ophæver altså hinandens virkning. Derfor kaldes 10 også
undertiden for antilogaritmen. Fra teorien om omvendte funktioner har vi endvidere, at
grafen for log( x ) fås ved at spejle grafen for 10 x i linjen med ligning y = x.
Denne
graf kan ses på figuren på næste side. Samtidigt får vi definitionsmængden og værdimængden
for logaritmen til Dm(log) = R + og Vm(log) = R .
0 1
Ifølge (6) haves log(1) = log(10 ) = 0 ; log(10) = log(10 ) = 1; log(100) = log(10 ) 2 ,
−1
etc. Ved at se på negative eksponenter af 10 fås for eksempel log(0,1) = log(10 ) = −1;
− 2
log(0,01) = log(10 ) =−2,
etc. Selv om logaritmefunktionen vokser meget langsomt,
så har vi alligevel, at y-værdierne nærmer sig til ∞ , når x nærmer sig til uendelig. Vi
skriver log( x) →∞ for x→∞. Vi har også, at y-værdierne nærmer sig til −∞ , når x
nærmer sig til 0 fra højre, dvs: log( x) →−∞ for
+
x→
0 .
2 =