Eksponentielle funktioner - matematikfysik

4
1B2. Indledning
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
I forrige kapitel så vi på funktioner af typen f ( x) = ax+ b,
nemlig de lineære funktioner.
I dette kapitel skal vi undersøge funktioner, hvor den ubekendte x står i eksponen-
x
ten, nærmere bestemt funktioner af typen f ( x) = b⋅ a eller sagt på en anden måde:
x
variabelsammenhængen y = b⋅ a . Først skal vi se et eksempel, hvor den nye funktionstype
kommer i sving.
13BEksempel 3
Ifølge renteformlen K = K0 ⋅ (1 + r)n,
så vil en startkapital på 1000 kr., der står til en
n
n
årlig rente på 20%, vokse til beløbet K = 1000 ⋅ (1+ 0,20) = 1000⋅1,20 i løbet af n år.
Figuren nedenfor viser beløbets udvikling som funktion af antal år efter startbeløbet
blev indsat. Hvis vi lader y svare til K, b svare til 1000, a svare til 1,20 og x svare til n,
x x
så kan vi se, at vi har at gøre med en eksponentiel funktion: y = b⋅ a = 1000⋅1,20 .
Den eneste bemærkning er, at renteformlen kun har mening for hele værdier af n
(svarende til x), da der kun tilskrives renter én gang hvert år. Derfor viser figuren med
punkter kontoens årlige opdaterede saldoer. For overskuelighedens skyld har vi afbildet
den forbindende graf for alle reelle værdier af x. Man ser, at saldoen vokser hurtigere
end lineært på grund af renters rente.
14BDefinition 4
x
En funktion på formen f ( x) = b⋅ a , hvor ab , ∈ R + , kaldes for en eksponentiel funktion
eller en eksponentiel udvikling. Funktionen er defineret for alle x, så Dm( f ) = R . Man
kan vise, at værdimængden for f er alle positive tal, dvs. Vm( f ) = R + . Hvis b =
1,
så
kaldes funktionen for en eksponentialfunktion.