Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i ... - dirac

Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i gymnasiet.
Rapport over et forløb.
Kirsten Mejdahl, Allerød Gymnasium.
Forløbet fandt sted i 3mMA (3.g hold med 3-årigt A-niveau) med 23 elever. Forarbejdet til projektet
blev udarbejdet sammen med Karsten Wegener, Allerød Gymnasium (1-årigt A-niveau) og Axel
Gadegaard, Kalundborg Gymnasium og HF (1-årigt A-niveau med forsøg (reduceret pensum)).
Den nye gymnasiereform lægger op til at eleverne gennem alle tre år skal prøve kræfter med
projektarbejdsformen. For mig er dette i matematik en helt ny arbejdsform, og jeg tog derfor mod
tilbuddet om at afprøve det i praksis med mulighed for at få støtte fra kollegaer undervejs. Kursets
opbygning med tre dages indledning, en dag undervejs og to dage som afslutning tiltalte mig fra
start. Det var en stor hjælp at kunne udarbejde en skitse for et projektforløb sammen med kollegaer.
Projektet kom til at ligge indenfor emnet differentialligninger. Vores plan for et projekt, som vi udarbejdede
under kursets første internat, er vedlagt (bilag 1). Vores hensigt med projektet er, at eleverne
skal arbejde med differentialligninger, så de kan se, at sådanne har betydning i dagligdagen,
og at de derigennem også får et indtryk af begrebet matematisk model. En af mine elever havde
netop i en hjemmeopgave regnet sig frem til, at kablet på Storebæltsbroen var 3,6⋅10 -5 m langt,
hvilket desværre viser at mine elever ikke til dagligt tænker på matematiks relation til virkeligheden.
Spørgsmålet var om man sideløbende med den ”normale” undervisning i differentialligninger
kunne køre projektet for derigennem at styrke deres forståelse for anvendelsen af matematikken.
I starten af oktober blev 3mMA i forbindelse med evaluering af den tidligere undervisning informeret
om, at de i tiden mellem efterårsferie og juleferie i 10 timer skulle arbejde med et problemorienteret
projekt. Da tiden nærmede sig, passede det med, at jeg kunne tage fat på den dybere orientering
præcis efter efterårsferien. Til daglig benytter vi matematikbogen ”Integralregning og
sandsynlighedsregning” 1 og de blev bedt om at læse afsnittene ”Matematik og virkelighed” og
”Matematisk model” for derigennem at skifte bekendtskab med modelbegrebet, som så blev diskuteret
i en dobbeltlektion. De fik udleveret et inspirationspapir ”Modeller” (bilag 2) og fik så en uge
til selv at finde på et emne, der kunne knyttes sammen med en differentialligning.
Som sagt var det idéen at den ”normale” undervisning i differentialligninger skulle finde sted sideløbende
med projekttimerne, og det gik vi nu i gang med, men med noget mindre vægt på eksemplerne,
end jeg ellers ville have brugt.
Den første af de 10 timer, der var afsat til projektet, lektion 1, blev brugt til at danne grupper, 6
grupper á 4 (3-5) elever. Læreren forlod klasselokalet i ca. 15 minutter for at få processen i gang.
Da jeg kom tilbage, sad stort set alle elever stadig på samme plads, hvilket var et udtryk for, at de
1 ”Integralregning og sandsynlighedsregning”, Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, Gyldendal 1999

dannede grupper snarere udfra, hvem de plejer at arbejde sammen med, end udfra emnet. Men det
var lykkedes at nå frem til 6 grupper med 6 emner:
1. Computervirus (2 elever)
2. Kolesterolindhold (4 elever)
3. Kinas befolkning (4 elever)
4. Epidemi (5 elever)
5. Opløsning af et bolche (4 elever)
6. Atombomber (4 elever)
Som det ses, har nogle af grupperne valgt emner mere eller mindre direkte fra inspirationspapiret.,
mens andre selv har været kreative, så på den måde har papiret virket efter hensigten. Eleverne fik
så udleveret arket ”Projektarbejde” (bilag 3), hvoraf det fremgik, at de skulle skrive en socialkontrakt,
vælge ordstyrer og referent samt skrive logbog efter hver (dobbelt)lektion.
Opgaven til næste undervisningslektion blev, at hver elev skulle nedfælde 10 linier til den sociale
kontrakt samt finde materiale om deres emne. Den sociale kontrakt følte jeg nødvendig aht. et par
elever, som jeg kunne forestille mig ikke ville yde meget til et gruppearbejde, og det var også derfor
jeg tillod 5 elever i en gruppe (hvis en eller to skulle falde fra), selvom der så blev en gruppe på kun
2 elever (som begge viste stor iver og interesse for deres emne). I starten af lektion 2+3 fik de
udleveret arket ”Projektarbejde med differentialligninger”. Dette var delvist hentet fra ”Autentiske
matematikanvendelser”, Matematiklærerforeningen 1991, side 6-7 og blev givet som eksempel på
opstilling af model. Lektion 2 blev brugt til at koge deres oplæg sammen til en fælles social kontrakt,
og i lektion 3 skulle de udarbejde en problemformulering.
Det viste sig at være et meget ambitiøst projekt. At skulle vejlede 6 grupper med 6 forskellige emner
og hjælpe dem med at finde materiale var overvældende. Det er helt klart, at ikke alle grupper
har fået den vejledning, de har haft behov for, men følgende passus fra en af de afleverede rapporter
liver dog op:
”Alt i alt kan jeg konkludere, at dette projektforløb har været yderst interessant. Det har været
rigtig sjovt at prøve at arbejde på en anderledes måde end man er vant til. Det har også været
lærerigt at skulle undersøge alle tingene selv og få gang i projektet. Gruppen har fungeret
rigtig godt og alle har været engagerede. Den gode stemning i gruppen og gruppemøderne
gjorde at der var styr på tingene og at folk syntes at det var sjovt at være med i projektet.
Alt i alt har projektet altså været supergodt, og jeg har lært en hel masse af det.”
Måske var det alligevel det hele værd.
De 6 gruppers arbejde bliver nu beskrevet hver for sig:
1. Computervirus:
De to drenge tog med engagement og højt humør fat på dette emne og fik hurtigt udarbejdet
følgende problemformulering:

”Problemformulering
- Vi ønsker at opstille en troværdig model for spredningen af en effektiv computervirus
- Teorien bygger på, at virusen udnytter en sikkerhedsfejl i styresystemet
- I modellen ønsker vi at tage højde for påvirkninger, som f.eks. antivirus, firewall, Windows
opdatering mm.
- Modellen starter med fem inficerede computere og vil så forsøge at lave et realistisk overslag
over udviklingen.”
Det stod dem klart fra starten, at de ikke kunne finde noget talmateriale, så de ville rent teoretisk
prøve at skaffe sig et overblik over virusforløbet. De startede med at tegne en graf, som skulle illustrere
forløbet. Den steg voldsomt i starten, og aftog næsten lige så voldsomt, når der var oprettet
antivirus. Så prøvede de at opstille en talfølge, hvor deres idé var at hver inficeret computer kunne
nå at scanne et antal (3,2) IP-adresser på en time, og af disse ville kun halvdelen blive inficeret, da
den anden halvdel var beskyttet af firewall eller at adressen simpelthen ikke svarede til en computer.
De var opmærksomme på, at de også skulle tage højde for de computere, der var inficerede i
forvejen. P.gr.a. en parentesfejl fik de dog opskrevet talfølgen ”u(n) = 1,1⋅u(n-1)” altså en almindelig
eksponentiel vækst som funktion af tiden. Denne funktion vokser jo voldsomt, som de havde
ønsket, så glade var de! Og nu skulle de så få den til at aftage igen. De forestillede sig at det ville
ske efter 5 dage. Af en eller anden grund opskrev de så differentialligningen
dy 50
= ⋅ln(1,1)
⋅1,1
dx 11
x
1
⋅ ⋅ y , hvor t skulle være en negativ konstant.
t
Denne ligning løste de korrekt, og de fik fittet konstanterne, så de to kurver hang sammen. I princippet
fik de altså løst opgaven: opstillet en differentialligning og løst den; men hvor meget den
havde med virkeligheden at gøre, er et godt spørgsmål.
Det er mit indtryk, at begge elever både i timerne, men også hjemme, lagde et stort arbejde i at
prøve at ”gætte” sig frem til en løsning. Jeg havde meget svært ved at kommunikere med dem i
vejledningen. Jeg blev afvist, når jeg spurgte, om de skulle have hjælp, for de var lige ved at finde
den rigtige løsning. Jeg er imidlertid overbevist om, at de blevet endnu mere interesseret i matematik
efter at have arbejdet så selvstændigt. Her er et citat fra deres rapport:
”Vi har løst opgaven, men vi blev dog nødt til at indføre 2 ligninger for at løse problemet med
at få et fald på grafen. Dette er ikke et brud på opgaven, men er dog ikke tilladt ifølge vores
egen problemformulering. Her specificerer vi, at vi kun vil bruge en ligning. Ligningen kom
til at se sådan ud... Samtidig er vores forståelse for brugen af differentialligningers praktiske
brug steget. Selvom vi er blevet nødt til at lave en del antagelser, synes vores graf at stemme
overens med vores forestilling til en korrekt afbildning af et virusudslip.”
2. Kolesterolindhold
Gruppen tog rigtig godt fat på emnet. Deres logbog for den første dobbeltlektion lød:

”Vi startede med at udforme vores sociale kontrakt. Og skrev derefter vores
problemformulering:
- Hvordan udvikler kolesteroltallet sig i mennesket?
- Vi vil opstille en model, hvor vi vil gøre rede for kolesteroltallets udvikling og forskellige
faktorers indflydelse herpå.
- Faktorer:
- Alder
- Kost
- Rygning
- Køn
- Arvelighed
- Alkohol
- Motion
- Størrelse
- Forebyggende medicin
- Vi søgte endvidere på nettet efter oplysninger.
- Det blev besluttet at Camilla er ordstyrer og Cecilie er referent”
De fandt altså selv materiale på internettet, som fortalte om kolesterol og kolesterolindholdet i
mennesker (i mmol/L), og de fik herigennem nogle tal for et menneskes naturlige indhold, og hvor
faregrænsen lå. Men de havde svært ved at komme frem til en differentialligning. Derfor forsynede
jeg dem med én hentet fra ”Differentialligninger. Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning”
2 . Deres første opgave var så at sætte sig ind i betegnelserne og forstå ligningen. Den
næste dobbeltlektion gik så med at prøve at sætte værdier på konstanterne, så de kunne få nogle
realistiske værdier. Dette lykkedes ikke, og selvom de så fik nogle værdier på konstanterne (svarende
til mg/dL), lykkedes det heller ikke for dem at kunne regne dem om, selvom flere i gruppen
har kemi på højniveau. Gruppen var på dette tidspunkt gået noget i stå. Set udefra virkede det, som
en enkelt sad og prøvede at regne, mens de andre bare kiggede opgivende på. Til sidst fik de opskrevet
følgende differentialligning med følgende tre betingelser, som det så lykkedes for dem dels
at løse og dels at bestemme konstanterne og endelig fik de tegnet grafen.
dC
= k1
C0
− C)
+ k
dt
t = 0 ⇒ C = 4
t = 30 ⇒ C = 6
t → ∞ ⇒ C → 7
( 2E
C0
= 2,5 E = 1
Hvis de havde kunnet nå mere, havde det været oplagt at gå ind og ændre på parametrene i ligningen.
Dels hvordan forløbet havde været, hvis personens kost fra start havde været mindre kolesterolrig,
og dels hvordan forløbet havde været, hvis personen efter at have været på en kost med det
høje kolesterolindhold i en månedstid, var blevet sat på en kolesterolfattig diæt. I løsning af differentialligningen
indgår der numerisk værdi (ln(⎢x⎪) som så ofte i differentialligningerne i matematikbogen,
så her havde de et eksempel, hvor de måske lige pludselig kunne forstå, hvornår det var
det ene fortegn, de skulle bruge, og hvornår det var det andet. Gruppen har fået meget vejledning
undervejs. Til trods for den udmærkede problemformulering var de ikke i stand til at opstille en
2 ”Differentialligninger. Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning”, Niels Hjersing, Per Hammershøj Jensen
og Børge Jørgensen

differentialligning. Dette viser, at de nok skulle have set nogle flere eksempler på modellering, inden
de selv blev kastet ud i projektet. Derudover gik de noget uventet i stå på regnetekniske problemer.
Det er ikke mit indtryk, at de har brugt meget tid hjemme. De var flittige til at aflevere logbog,
men her kan jeg se, at jeg skal forbedre min instruktion i udfærdigelsen af denne, så den bliver
meget mere præcis, så jeg har en mulighed for at komme ind og vejlede på en mere hensigtsmæssig
måde.
3. Kinas befolkning.
Denne gruppe forsøgte at køre løbet selv. I starten forsøgte de selv at finde værdier for befolkningstallet.
Men først med min mellemkomst fik vi fat på en geografilærer, som kunne gå ind på en
hjemmeside, som skolen abonnerede på og få de helt relevante data. Dernæst var det bare at plotte
tallene ind, og så skulle der tages fat på differentialligningerne. Fra inspirationspapiret (bilag 2)
havde gruppen de tre populationsmodeller: eksponentiel vækst, eksplosiv vækst og logistisk vækst.
Ud fra to punkter i starten af kurven fik de så til opgave at fremskrive på hver af de tre måder. Differentialligningen
for den eksplosive vækst har de løst, mens de i de to andre tilfælde direkte har
brugt løsningsfunktionen og kun bestemt konstanterne. De har i rapporten ikke fået analyseret, hvad
der lå bag de tre modeller. Følgende kommentar til sidst i rapporten mener jeg viser, at de udelukkende
opfatter problemet matematisk og ikke er i stand til at fortolke sammenhængen mellem model
og virkelighed, specielt set i sammenhæng med den udmærkede information de har i starten af
rapporten:
”I år 2004 bor der 1.236 mio. mennesker i Kina. Vi indsætter værdien 54 (som vil svare til år
2004) i hver af funktionerne:
Eksplosiv vækst: 2043
Eksponentiel vækst: 1359
Logistisk vækst: 1018
Man kan altså se, at det faktisk er den eksponentielle vækst som (hvis man regner de næste 29 år
med) er den som passer bedst. Men da det er den logistiske formel som passer allerbedst mellem
år 1950-1985 og da den eksponentielle formel kun rammer lidt mere plet end logistiske formel,
er vi stadig tilhængere af den logistiske formel.”
Fra starten af rapporten:
”I starten af 1970'erne begyndte et barns politikken som gik ud på at straffe de familier som fik
for mange børn, der har været fængsling af forældre der ikke overholdt reglerne og tvangsaborter
men det var svært at praktisere ude på landet.
Et barns politikken bliver stadig benyttet i dag dog uden tvangsaborterne og andre grove krænkelser
af menneskerettighederne...”

Et enkelt gruppemedlem var syg i størstedelen af projektperioden, og det har nok smittet af på de
andres arbejdsindsats. Gruppen har afleveret en fælles rapport i strid med oplægget. Dette giver mig
mulighed for at sammenligne med de andre gruppers arbejde og viser mig, hvor stor betydning det
har, at hver enkelt elev afleverer sin egen rapport. Det har givet en meget nuanceret oplevelse af,
hvor meget hvert gruppemedlem har forstået af projektet. Selvom matematikken er udarbejdet i
fællesskab, træder forståelsen af problemet eller den manglende samme tydeligt frem i formuleringerne.
4. Epidemi
Til min store overraskelse vågnede en af holdets svageste elever op her og fortalte, at han gerne ville
arbejde med epidemier, og det smittede straks af på de omkringsiddende, så der blev dannet en
gruppe på 5. Fra logbogen kan jeg se, at gruppen i perioder har delt sig selv op mht. arbejdsopgaver.
De har søgt på Internettet, men det gav åbenbart ikke noget resultat. Jeg ved ikke, hvad de havde
forestillet sig at finde. I rapporterne er der fine oplæg om influenza, men om de blev fundet på Internettet
eller i biologibøger står uklart. Da de ikke efter første dobbeltlektion havde fået taget fat på
problemet, blev de henvist til deres egen matematikbog 1 , som har et eksempel netop omfattende
epidemi. I starten mente de, at det var for nemt, her havde de jo allerede løsningen. Men det viste
sig, at være sværere, end de troede at få tastet de tre talfølger (R:raske, S:syge, I:immune) rigtigt ind
på grafregneren og at få bestemt nogle konstanter, som kunne give et realistisk billede af situationen.
Og bogen er nu også ret misvisende på dette punkt. Ifølge bogens eksempel bliver hele befolkningen
smittet og ca. 80% er syge på samme dag. På trods af de fine bemærkninger i starten af en af
rapporterne:
”En epidemi opstår når der er flere der bliver syge end der er, der bliver raske. En epidemi defineres
som en sygdom der inde for ”kort tid” har spredt sig til 4% eller mere, af den samlede befolkning.
Hvert år i vintermånederne rammes Danmark af en influenzaepidemi af større eller
mindre grad. Under en alm. epidemi grad rammes 20% af befolkningen.”
gennemskuer gruppen ikke, at deres model også falder i den samme grøft.
Fagligt har dette været den mest splittede gruppe. Jeg har modtaget fire rapporter, hvor de tre benytter
de samme parametre og konstanter. Men den fjerde rapport indbefatter også en fjerde talfølge,
nemlig D:døde. Modellen benytter helt andre konstanter, som giver et meget mere realistisk
billede af virkeligheden. I første omgang virkede det som om, alle havde været glade for at arbejde i
gruppen, og at de har fået noget ud af det på hver sit niveau. Evalueringen giver dog et noget andet
billede, her udtrykker flere deres utilfredshed med samarbejdet.
5. Opløsning af et bolche.
Blot på baggrund af inspirationspapiret fik en elev denne idé, og hun fik overtalt tre andre til at gå
med i gruppen. Her er der blevet arbejdet med differentialligninger, som jeg allermest havde håbet

på. ”Mølkugleopgaven” 3 havde været en del af deres første afleveringssæt, og den kunne de straks
se havde relevans for opløsningen. At koncentrationen af allerede opløst bolche havde betydning for
den yderligere opløsning, fandt de også selv frem til, og de tegnede en skitse for, hvordan denne
faktor måtte opføre sig. De fik så hjælp til, at grafens form måske kunne minde om noget, der havde
med en kvadratrodsfunktion at gøre. De fik opskrevet følgende differentialligning:
dm
2
= −K
⋅ m
3
⋅(2,887
⋅ 3 − m + 0,5)
dt
hvor 3 er bolchets startmasse og faktoren er 1 ved start og ½ ved 60 min.
Jeg måtte skuffe dem med, at denne ligning kunne de ikke løse explicit, men at de måtte bruge talfølger.
Rapporterne tyder på, at alle har forstået denne metode. Det skal nævnes, at gruppen uden
min viden havde udført et forsøg i praksis, hvor de havde købt et bolche på 2,999 g i kantinen og
taget tid på, hvor længe det var om at blive opløst i 100 g vand med temperaturen 22° uden omrøring.
Det tog 60 min., og det benyttede de så som parameter til grafen.
6. Atombomber.
Gruppen havde idé om dels at undersøge, hvordan strålingen havde bredt sig altså risikoen for at dø
som funktion af afstanden fra nedslagets centrum, dels om antallet af døde. I starten sad de og prøvede
at opstille en model, hvor befolkningstætheden i Hiroshima skulle indgå. Men samtidigt ville
de også se på, hvornår folk døde som funktion af tiden, idet de havde fundet nogle tal i ”Manhattanprojektet”
4 . Da de afleverede logbog, kunne jeg vejlede dem og sige, at de nok kun skulle vælge en
af delene, og det blev så antallet af døde som funktion af tiden. De havde tre oplysninger at gå ud
fra: umiddelbart blev der dræbt 70.000, efter 1-2 måneder var 140.000 døde og der døde i alt ca.
200.000. Når de plottede de to punkter samtidigt med en vandret asymptote, fandt de med et par
ledende spørgsmål frem til, at det måtte have noget at gøre med en eksponentialfunktion, og de opstillede
så en differentialligning, hvor tilvæksten af døde foregik eksponentielt, men med negativ
eksponent, idet de indså, at tilvæksten ville aftage med tiden. Gruppen har altså opstillet en differentialligning,
løst den og bestemt konstanter, så løsningen passede med de opgivne ”måletal”. Inspireret
af en episode i ”Ørnen” 5 ville de også gerne vurdere, hvor mange mennesker der ville dø i
København, hvis der blev udløst en atombombe her. Men som de selv nåede frem til i deres rapporter,
havde denne beregning ikke noget at gøre med en differentialligning, men var udelukkende
en beregning ud fra befolkningstæthed og areal samt procentregning.
Gruppen har arbejdet meget selvstændigt, og de har ved hjælp af logbogen kunne forberede mig på,
hvilke problemer de skulle have hjælp til, så i dette tilfælde har jeg fundet, at vejledningen har
fungeret udmærket med et glimrende modspil fra eleverne.
3 ”Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik”, opg. 5.152.
4 ”Manhatten Projektet - Da videnskaben mistede uskyldige”, Claus Christensen og Torsten Meyer.
5 ”Ørnen”, dramaserie produceret af Danmarks Radio

Jeg valgte at uddele evalueringsskemaer til eleverne efter, at de havde afleveret rapporterne, men
inden de fik dem tilbage. Det har de taget meget seriøst, for en gangs skyld er der mange kommentarer
og ikke bare afkrydsninger. Men kommentarerne er så meget varierede. Generelt har de været
rimeligt glade for projektarbejdsformen. Det har været afvekslende fra den øvrige matematikundervisning,
og de har syntes om selv at måtte vælge emnet. Flere føler, at de ikke har fået vejledning
nok undervejs, hvorimod den ene gruppe som afleverede logbog hver gang syntes at de har
fået udmærket støtte:
Under ”tilfreds”: ”Logbogen: I starten af hver time fik man sin logbog igen samt en sides notater
fra læreren (lidt overdrevet). Dette gjorde at man kunne komme hurtig i gang igen.”
Dette har lært mig, at jeg skal fastholde eleverne på at aflevere logbog efter hver eneste lektion, og
at de skal vejledes i at udforme den hensigtsmæssig. Logbøgerne vil være nødvendige for at kunne
vejlede så mange grupper tilfredsstillende. Selvom jeg undervejs har været i tvivl om, hvorvidt det
kunne lade sig gøre at håndtere, at der var så forskellige emner på de seks grupper, er jeg efter den
mundtlige evaluering, som var opfølgning på den skriftlige, blevet overbevist om, at det har haft så
stor betydning for eleverne, at de frit måtte vælge emne, så det må der ikke laves om på.
Det, som eleverne har været mest ”utilfredse” med, har været socialkontrakten. Der har åbenbart
bredt sig en stemning om, at jeg nedvurderede dem ved at stille krav om en sådan. Jeg tror, at jeg
har haft et privilegeret hold, som ikke kender til problemer med at opføre sig ordentligt over for
hinanden. De skulle som sagt hver aflevere egen rapport. Hvis det havde været en fælles, ville der
nok været opstået gnidninger i hvert tilfælde i den ene gruppe, hvor evalueringen afslører, at det
kneb med samarbejdet, og hvad skulle man stille op i den anden gruppe, som var plaget af sygdom?
Når projektarbejdet fremover kommer i gang fra 1.g, tror jeg, at eleverne oftere vil opleve problemer
i gruppearbejdet, så jeg mener, at de skal lære at tage stilling til, hvordan man håndterer sådanne.
Og jeg tror på at en social kontrakt således vil kunne opleves som et godt redskab.
Da vi startede på kurset, fik vi at vide, at hver lærers arbejdsindsats over for EU, som kurset fik
støtte fra, var vurderet til 140 timer (kursusdage, gennemførelse af forløb, afrapportering). Min
slutkommentar må være, at det ikke var overdrevet! Men til trods for dette har jeg faktisk fået mere
mod på at kaste mig ud i gymnasiereformens nye projektarbejdsformer.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Oversigt over bilag:
1. Differentialligningsmodeller - udarbejdet på kursets første internat.
2. Modeller - inspirationspapir
3. Projektarbejde - krav til gruppens arbejde og til resultatet af projektet
4. Evalueringsskema med optælling af afkrydsninger

BILAG 1

BILAG 2
------------------------------------------------------------------
MATEMATIK HØJNIVEAU
04-10-18-KM
MODELLER
------------------------------------------------------------------
Vi skal i det følgende se på, hvordan differentialligninger kan anvendes ved opstillinger af matematiske modeller,
hvilket vil sige - under fastlagte forudsætninger - at beskrive dele af virkeligheden. Som antydet vil en matematisk
model sjældent kunne beskrive virkeligheden fuldstændigt, hvorfor det er vigtigt ved opstilling af en model at gøre sig
klart, hvilke begreber og relationer, der skal indgå. Modelopstillingen kan kort beskrives
1) hvilke antagelser gøres (hvad er relevant og hvad er irrelevant)
2) hvad er den uafhængige variable, hvad er de(n) afhængige variable og hvilke parametre indgår
3) opstil en ligning, der forbinder størrelserne i 2) under antagelserne i 1).
Gennem en række eksempler skal vi nu se, hvordan modellerne opstilles.
Ubegrænset populationsvækst
En simpel model for væksten i en population fås ved at gøre følgende antagelse:
− vækstraten er proportional med populationens størrelse
De størrelser, der indgår i beskrivelsen:
− t er tiden (den uafhængige variable )
− P er populationens størrelse (den afhængige variable)
− k er proportionalitetskonstanten (en parameter), her antages k>0
Ud fra dette kan opstilles følgende differentialligning:
dP
#1: = k ⋅ P
dt
Logistisk populationsvækst
Den forrige model gav ubegrænset vækst, hvilket naturligvis ikke er muligt i længden, idet der sættes begrænsninger i
forbindelse med f.eks. plads og fødevarer. Vi ændrer derfor antagelserne til
− hvis populationen er lille vil vækstraten være proportional med populationens størrelse hvis populationen bliver så
stor, at den ikke kan ernæres eller opretholdes i området, så vil populationen blive mindre - vækstraten bliver
negativ
De størrelser, der indgår i beskrivelsen:
− t er tiden (den uafhængige variable)
− P er populationens størrelse (den afhængige variable)
− k er proportionalitetskonstanten (en parameter), her antages k>0
− N er en parameter, der beskriver en "stor" population
Ud fra dette kan opstilles mange forskellige differential1igninger; f.eks.
dP
P
#2: = k ⋅ P ⋅ (1 − )
dt
N
Modificeret logistisk model
I en række tilfælde, hvor dyr er spredt over et stort område, er det urealistisk at forestille sig, at populationen vokser
proportionalt med størrelsen, når populationen er lille. Der vil tværtimod optræde det fænomen, at han og hun har svært
ved at finde hinanden, når de skal parre sig. Vi ændrer derfor antagelserne til:
− hvis populationen er for stor, vil vækstraten blive negativ, hvis populationen er for lille, vil vækstraten blive negativ
hvis populationen er 0, vil vækstraten være 0.
De størrelser, der indgår i beskrivelsen:
− t er tiden (uafhængig variabel)
− P er populationens størrelse (afhængig variabel)
− k er en proportionalitetskonstant (parameter)
−
−
N er bærekapaciteten, som fortæller hvor mange dyr, der kan leve i området (parameter)
M er et udtryk for populationens "spredthed"; populationen kan blive for lille til at kunne formere sig (parameter,
M

Eksplosiv befolkningsvækst
Hvordan udvikler verdens befolkning sig? Overbefolkning har længe været betragtet som et af de alvorligste problemer
for menneskeheden. Siden udgivelse af bogen "Grænser for vækst" (D. H. Meadows & Behrens; 1976) har der i
forskellige sammenhænge været arbejdet med at modellere befolkningsvæksten på verdensplan og de ressource- og
miljømæssige konsekvenser heraf. Denne problemstilling handler om at opstille en simpel matematisk model, der kan
beskrive udviklingen i verdens befolkning i løbet af de sidste 350 år.
I stedet for eksponentiel vækst kunne man forestille sig, at væksthastigheden var proportional med befolkningstallet i
anden potens. En sådan vækst kaldes for eksplosiv vækst.
#4:
dP
dt
= k ⋅ P
2
Modeller for blandinger af stoffer
Vi har her set en række populationsmodeller. Vi vil prøve at gøre det samme for en anden stor gruppe modeller:
modeller for blanding af stoffer. Blanding af stoffer udgør et stort praktisk og forskelligartet problem. Eksemplerne
spænder fra forurening af søer med et stof over blanding af kemikalier og til diffusionen af cigarrøg i luft.
Blanding at stoffer i en stor beholder.
Vi vil opstille en model med disse betingelser:
− En beholder indeholder 100 liter væske. Der løber lige meget væske ind og ud, så der er altid 100 liter i beholderen.
− Der omrøres hele tiden, så koncentrationen af sukker er ens overalt i beholderen.
− Sukkervand, som indeholder 5 spiseskefulde sukker pr. liter løber ind i beholderen via en hane A med en hastighed
på 2 liter/min.
− Sukkervand som indeholder 10 spiseskefulde sukker pr. liter løber ind ad hane B med en hastighed på 1 liter/min.
− Sukkervand forlader beholderes gennem hane C med en hastighed på 3 liter/min.
#5:
dS
dt
S
= 20 − 3⋅
100
En forurenet sø
Vi har en sø med oprinde1ig 10.000 m 3 uforurenet vand. Der er to vandløb A og B som løber ti1 søen. Der er et vandløb
C, som forlader søen. Vi antager at der løber 500 m 3 ind pr. dag via A, 750 m 3 ind via B og 1250 m 3 ud via C.
Til tiden t = 0 begynder A at blive forurenet med vejsalt i en koncentration på 5 kg/1000 m 3 . Vi antager at dette salt
efter at være løbet ind i søen fordeler sig jævnt. På nuværende tidspunkt minder problemet om det vi lige har set på med
karret.
Men hvad værre er, så begynder man at forurene B med affald (50 m 3 om dagen), som lægger sig på bunden af søen.
Søen flyder ikke over, men strømmen ud af søen øges til 1300 m 3 /dag.
Andre eksempler
• Kemiske reaktioner
Irreversible anden ordens reaktioner
Reversible anden ordens reaktioner
• Matematiske fiskerimodeller
Vægten af en fisk
En fiskebestands biomasse
Den samlede biomasse og den samlede fangst
• Skarvbestanden i Danmark
• Logistisk model med høst
• Vækst af mug på brød
• Mikroorganismers vækst
• Kolesterolniveauet i mennesker
• Radioaktivt henfald

BILAG 3
------------------------------------------------------------------
MATEMATIK HØJNIVEAU - PROJEKTARBEJDE
------------------------------------------------------------------
Projektarbejdet skal udmunde i en rapport. Gruppen må gerne arbejde sammen om det faglige i
rapporten, men teksten skal skrives individuelt. Gruppen skal vælge ordstyrer og referent. Der føres
logbog efter hver (dobbelt)lektion. Som start i logbogen skal gruppen udforme en social kontrakt.
Så lektien til første projekttimer er dels at finde materiale til projektet, dels skal hver gruppemedlem
ud forme 10 sætninger hjemme som forslag til:
Den sociale kontrakt
Den sociale kontrakt laves i starten af en projektperiode af den enkelte gruppe. I den sociale
kontrakt fastsætter gruppen en fælles målsætning for projektet, samt hvordan den vil tilrettelægge
samarbejdet, og hvilke regler der skal gælde for gruppens medlemmer i projektperioden, for at
målet kan nås. Gruppen laver sin helt egen kontrakt, som hvert medlem forpligter sig på.
Stikord til kontrakten kunne være:
• Hvordan beslutter vi?
• Skal vi være enige?
• Hvordan giver vi feedback?
• Hvordan fordeles opgaverne?
• Hvordan skal omgangstonen være?
• Hvad sker der hvis en person ikke er
forberedt?
• Etc.
Den sociale kontrakt kan f. eks. bestå af ca. 10 sætninger, som starter med:
• Vi har bestemt
• Alle har ansvar for
• Vi vil
• Ordstyreren skal
• Vi skal
• Referenten skal
• Alle skal/gør
Den sociale kontrakt skal også kunne bruges i eventuelle krisesituationer og skal derfor indeholde
forslag til problemløsning og kan eventuelt justeres hvis alle er enige.
Gruppemøder
Gruppemøder er en vigtig del af projektarbejdet.
- Anvendes når dagens projektarbejde indledes og når det afsluttes.
- Kan anvendes i løbet af dagen, hvis der er behov for det.
Én af de vigtigste funktioner er at gøre individuel viden til fælles viden (intern kanalisering).
- Gruppemøder er korte og koncentrerede - varer normalt mellem 5 og 20 minutter.
- Ordstyrer og referent styrer mødet og har også lavet dagsorden til mødet.
- Opgaver fordeles.
- Der laves beslutningsreferat af mødet. Dette skrive i logbogen.
- Gruppen giver hinanden lektier for.
Intern kanalisering
Den interne kanalisering er et af de vigtigste punkter til møderne.
Intern kanalisering vil sige, at man i gruppen gør den individuelle viden fælles, d.v.s. at de enkelte
medlemmer sørger for at formidle det stof, de hver især har tilegnet sig, videre til de andre. Det vil
ofte være den lektie, man har fået for som hjemmeopgave. Formidlingen skal omfatte følgende:
Resumé: Her gengives i korte træk essensen af materialet med sidehenvisninger (skriftligt ca. ½
side). Nogle spørgsmål til dette kunne være: Hvad handler det om? Hvilken hensigt har forfatteren?
Hvad er konklusionen? Hvordan kan materialet klassificeres: lærebog, rapport, oversigt, etc.? Hvem
er det skrevet til (målgruppe)? Hvilke data baseres materialet på, og er de pålidelige/gyldige (tal,
statistik, spørgeskemaer, årstal up to date, etc.)? Beskriv nøglebegreber, nøgletal, nøglemodeller, osv.
Relevans: Her fremhæves, hvad man synes er relevant i forhold til det emne, gruppen arbejder med.
Forslag/budskab: Forslag til, hvordan materialet kan indgå i gruppens arbejde. Hvor og i hvilken
form kan materialet placeres ind i det samlede arbejde?

BILAG 4:
Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i gymnasiet.
EVALUERING
Hvad har du syntes om
projektarbejdsformen
Hvordan fungerede
gruppen
Har den sociale
kontrakt haft nogen
betydning
Har log-bogen været
til nogen hjælp
Hvad har du syntes om
jeres emne
Føler du at modellen
har noget at gøre med
virkeligheden
Har oplægget til
projektet været
tilstrækkeligt
Har forberedelsestiden
til en undervisningslektion
været kortere
end normalt
☺☺☺ 6
☺☺ 9
☺ 6
☺☺☺ 10
☺☺ 7
☺ 3
3
☺☺☺ 1
☺☺
☺ 4
16
☺☺☺ 1
☺☺ 5
☺ 9
7
☺☺☺ 11
☺☺ 11
☺
☺☺☺ 8
☺☺ 10
☺ 4
☺☺☺ 4
☺☺ 9
☺ 4
4
☺☺☺ 5
☺☺ 12
☺ 3
2
☺☺☺ 6
☺☺ 7
☺ 7
Hvad har du syntes om
at aflevere rapport i
stedet for normal
skriftlig aflevering 2
Hvordan vurderer du
dit faglige udbytte
af projektarbejdet
Nævn to ”ting” i
forbindelse med
projektarbejdet, som
du er tilfreds med
☺☺ 4
☺ 13
3
1
sæt kryds
Evt. kommentarer
Nævn to ”ting” i
forbindelse med
projektarbejdet, som
du er utilfreds med