Kombinatorik - Georg Mohr-Konkurrencen

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 14
for alle ikke-negative heltal n < N . For at udnytte induktionsantagelsen benyttes den helt
grundlæggende sammenhæng mellem binomialkoefficienter (sætning 2.1) som siger at m r =
m −1
m −1
r +
r −1 :
N∑ N + 1 − k
N∑
(N − 1) + 1 − k
N∑
(N − 1) + 1 − k
=
+
k
k
k − 1
k =0
k =0
k =0
N∑
−1 N
(N − 1) + 1 − k 0 ∑−1
(N − 1) + 1 − k N 0
=
+ +
+ +
k
N k − 1 −1
N
k =0
k =1
N∑
−2
(N − 2) + 1 − k
= F N +
k
k =0
= F N + F N −1 = F N +1 .
Dermed er induktionen fuldført.
Opgave 5.4. Vis at
n∑
(−1) k −1 n
= 1 + 1 k k 2 + 1 3 + ··· + 1 n
k =1
for alle positive heltal n.
Opgave 5.5. Lad n være et positivt heltal. Vis at
(Hint)
n∑
i =0
1
= n + 1 ∑n+1
2 i
2 n+1 i .
n
i
i =1