Kombinatorik - Georg Mohr-Konkurrencen

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 20
Opgave 6.7. På hvor mange forskellige måder kan man få øjensummen 21 ved et kast med
seks almindelige terninger?
Opgave 6.8. Bestem antallet af delmængder af mængden {1, 2, 3,··· , 2007} hvis sum er delelig
med 17.
Opgave 6.9. Lad n være et positivt heltal. Vis at
(Hint)
n∑
n n + j
=
j j
j =0
n∑
n n
2 k .
k n − k
k =0
Opgave 6.10. Bestem antallet af tal med n cifre som kun består af cifrene 6, 7, 8 og 9, og som
har rest 1 ved division med 3.
Opgave 6.11. Lad α(n) betegne antallet af måder at skrive n som en sum af 1 og 2-taller, hvor
rækkefølgende af summanderne tæller. Fx er α(4) = 5 da der er følgende kombinationer
1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2.
Lad β(n) betegne antallet af måder at skrive n som en sum af hele tal større end 1, hvor
rækkefølgende af summanderne tæller. Fx er β(6) = 5 da der er følgende kombinationer
2 + 2 + 2, 2 + 4, 4 + 2, 3 + 3, 6.
Vis at α(n) = β(n + 2) for alle positive heltal n. (Hint)
Opgave 6.12. (IMO shortlist 1998) Den voksende følge a 0 ,a 1 ,a 2 , . . . af ikke-negative heltal
opfylder at hvert ikke-negativt heltal n kan skrives entydigt på formen n = a i + 2a j + 4a k ,
hvor i , j og k er ikke nødvendigvis forskellige ikke-negative heltal. Bestem a 1998 . (Hint)