Kombinatorik - Georg Mohr-Konkurrencen

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 8
Bevis Når man ganger (x + y ) n ud, får man netop x n−k y k ved at gange x ’et fra n − k af parenteserne
med y ’et fra de resterende k parenteser. Dette kan man gøre på n k måder.
Sætning 2.4. Lad n være et ikke negativt heltal. Da er
2 n =
n
0
+
n
1
+
n
2
+ ··· +
n
n
.
Bevis Ifølge binomialformlen er
n n n n
(x + y ) n = x
0
n + x
1
n−1 y + x
2
n−2 y 2 + ··· + y
n
n .
Sættes x = y = 1 fås
n n n n
2 n = (1 + 1) n = + + + ··· + .
0
1
2
n
Rigtig mange sammenhænge om binomialkoefficienter kan vises ved at se på koefficienter i
polynomier.
I dette tilfælde og mange andre med binomialkoefficienter kan man også benytte tricket
med at tælle det samme på to forskellige måder, da begge sider af lighedstegnet angiver antallet
af delmængder af en mængde med n elementer: Vi har tidligere set at der findes netop
2 n delmængder af en mængde med n elementer. Man kan også tælle delmængderne ved at
summere antal delmængder med henholdsvis 0, 1, . . . ,n elementer, og det er netop det der
står på højresiden.
Sætning 2.5. Der gælder desuden følgende om binomialkoefficienter:
a) n n
k =
n−k
b) k n n−1
k = n
k −1
c) k n
k
= (n − k + 1)
n
k −1
d) n
n
n
0 −
1 +
2
e) 2n+1 2n+1
0 +
1
− ··· + (−1)
n n
n
+
2n+1
2
= 0
+ ··· +
2n+1
n
= 2
2n
f) n
n
n
n
1 + 2
2 + 3
3 + ··· + n
n = n2
n−1
g) For et primtal p er p k delelig med p for k = 1, 2, . . . ,p − 1.
Opgave 2.1. Vis sætningen