Kombinatorik - Georg Mohr-Konkurrencen

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 36
Opgave 6.6 Betragt funktionen
f (x) =
∞∏
(1 + x i + x 2i + x 3i ).
i =1
Bemærk at dette giver mening da koefficienten til x n er endelig for alle n. Der gælder nu at
a (n) = [x n ]f (x) da (1 + x i + x 2i + x 3i ) bidrager med 0, 1, 2 eller 3 i ’er til summen.
Betragt yderligere funktionen
g (x) =
∞∏
∞∏
(1 + x 2i ) (1 + x 2i −1 + x 2(2i −1) + ···).
i =1
i =1
Bemærk at dette giver mening da koefficienten til x n er endelig for alle n. Der gælder nu at
b(n) = [x n ]g (x ) da (1 + x 2i ) enten bidrager med 2i som summand, eller ikke bidrager med
noget. Tilsvarende bidrager (1+x 2i −1 +x 2(2i −1) +···) med henholdsvis 0, 1, 2, 3, . . . gange 2i −1
i summen.
Vi mangler nu at vise at [x n ]f (x ) = [x n ]g (x ) for alle n = 1, 2, 3, . . ., da dette viser at a (n) =
b(n). Vi omskriver f og g så dette bliver klart, og som før antager vi at |x| < 1.
f (x) =
g (x ) =
=
=
i =1
∞∏
(1 + x i + x 2i + x 3i ) =
i =1
∞∏
i =1
∞∏ 1 − x 4i
i =1
1 − x i
(1 − x 2i )(1 + x 2i )
1 − x i = (1 + x 2 )(1 + x 4 )(1 + x 6 )···
(1 − x)(1 − x 3 )(1 − x 5 )··· .
∞∏
∞∏
(1 + x 2i ) (1 + x 2i −1 + x 2(2i −1) + ···)
i =1
i =1
∞∏
∞∏
(1 + x 2i 1
)
1 − x = (1 + x 2 )(1 + x 4 )(1 + x 6 )···
2i −1 (1 − x)(1 − x 3 )(1 − x 5 )··· .
i =1
Altså er f (x) = g (x ) og dermed også [x n ]f (x) = [x n ]g (x) for alle n = 1, 2, 3, . . .
Opgave 6.7 Lad
f (x ) = (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 6 .
Da er antal måder man kan få øjensummen 21 ved at kast med 6 terninger [x 21 ]f (x). Nu
omskriver vi f for at bestemme denne koefficient. Antag at |x| < 1.
f (x ) = (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 6
6
1 − x
= x 6 6
1 − x
= x 6 (1 − x 6 ) 6 (1 + x + x 2 + x 3 + ···) 6
= x 6 6 6 6 6 6 ∑
− x
0 1
6 + x
2
12 − x
3
∞ 5 + i
18 − ··· +
x
6x 36 i .
5
i =0
Altså er
6 20 6 14 6 8
[x 21 f (x)] = − +
0 5 1 5 2 5