Kombinatorik - Georg Mohr-Konkurrencen

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 28
c) For hver gang man tegner en ny diagonal, opstår der en del mere samt en del mere for hvert
skæringspunkt denne diagonal danner med en anden diagonal. Der er n 2 − n diagonaler,
dvs. at polygonen deles i 1 + n
n
2 − n +
4 dele.
d) Antallet af trekanter der har alle tre hjørner i polygonens hjørner, er n 3 . Nu tæller vi trekanter
der netop har et hjørne som ikke er et af polygonens hjørner, men en skæring mellem
to diagonaler. For hver skæring mellem to diagonaler opstår der netop fire sådanne trekanter,
dvs. der er 4 n 4 .
Trekanter med to hjørner Trekanter med et hjørne Trekanter som ikke har hjørner
tilfælles med polygonen tilfælles med polygonen tilfælles med polygonen
Trekanter som har et af polygonens hjørner samt to skæringer mellem diagonaler som hjørner,
opstår ved at man vælger fem punkter, vælger et af punkterne som hjørne og tegner
diagonalerne mellem de fem punkter, og der opstår kun en sådan trekant på denne måde,
dvs. at der er 5 n 5 sådanne trekanter. Trekanter hvis hjørner kun består af skæringer mellem
diagonaler, opstår ved at man vælger seks punkter og tegner tre diagonaler mellem dem på
en sådan måde at de alle skærer hinanden, og dette kan gøres på netop en måde, dvs. der er
n
6
af slagsen. I alt er der
n
3
n n n
4
5
6
+ 4 + 5 + .
Opgave 1.14 Der er 2 10 = 1024 delmængder af en mængde med 10 punkter. Alle delmængder
der består af mindst tre punkter, svarer til en polygon og omvendt, dvs. antallet af polygoner
er lig med antallet af delmængder med mindst tre elementer. Der er 10 10
10
0 +
1 +
2 = 1+10+
45 = 56 af de 1024 delmængder der kun har 0, 1 eller 2 elementer. Derfor er der 1024 − 56 =
968 polygoner i alt.
Opgave 1.15 Med n betegnes det samlede antal sokker, med r antallet af røde sokker. Da
sandsynligheden for at trække to sokker af samme farve er 1 , er sandsynligheden for at trække
to sokker af forskellig farve også 1 . Man kan trække to sokker af forskellig farve på r (n −r )
2
2
måder, og der er i alt n 2 måder at trække to sokker på. Altså er
r (n − r )
n
2 = 1 2 .
Denne relation mellem n og r er ensbetydende med at
4r 2 − 4nr + (n 2 − n) = 0,
som videre giver
r = n ± n
.
2