Note til 28. februar

4.6 Maksimum likelihood estimation
4.6.1 Estimation
Sætning 4.6.1 Estimation i generaliserede lineære modeller
Betragt den generaliserede lineære model (4.29) for observationerne Y 1 ,...Y k
og antag at Y 1 ,...Y k er indbyrdes uafhængige med fordelinger, der kan beskrives
ved en eksponentiel dispersionsmodel med variansfunktion V (·), og
eventuelt vægte w i .
Såfremt L er parametriseret ved parametrene β svarende til modelmatricen
X (4.30), bestemmes maksimum-likelihood estimatet for β ved at minimere
totaldeviansen D(y; µ) (4.22) med hensyn til β for µ = µ(β). Estimatet ̂β
bestemmes som løsning til
[X(β)] ′ i µ (µ)(y − µ) =0, (4.38)
hvor X(β) angiver den lokale designmatrix (4.34), og µ = µ(β) angiver de
fittede middelværdier svarende til parametersættet β,
µ i (β) =g −1 (x ∗′ i β), (4.39)
og i µ (µ) angiver den forventede information med hensyn til µ, (4.28).
Likelihoodligningen (4.38) må i almindelighed løses ved en iterativ procedure,
se eksempel 4.6.2.
Hvis fordelingen af Y i ’erne er en normalfordeling (med variansfunktion V (µ) =
1) er løsningen den sædvanlige mindste kvadraters løsning.
Bevis:
Scorefunktionen med hensyn til middelværdiparameteren µ er jvf. (4.26)
{ }
l µ(µ; ′ wi
y) =diag (y−µ)
V(µ i )
Det følger da af (2.11), at scorefunktionen med hensyn til β er
[ ]′
∂µ
l β ′ (β; y) = ∂β
{ }
l µ ′ (µ;y) wi
=[X(β)]′ diag
V (µ i )
125
(y − µ(β)) . (4.40)