K Kinematik
K Kinematik
K Kinematik
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
K<br />
<strong>Kinematik</strong><br />
Den del af fysikken, der handler om at beskrive<br />
bevægelser hedder kinematik.<br />
Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration,<br />
men disse ting må altid angives i forhold til noget.<br />
Fysikere siger, at man må vælge et referencesystem.<br />
I denne lærebog vil vi kun se på bevægelser der foregår langs rette linier, eller langs baner, hvor<br />
positionen kan beskrives ved en enkelt koordinat, en stedkoordinat s som funktion af tiden, altså<br />
en tidskoordinat t . Vi benytter sådan en stedakse - fx et målebånd på jorden - som vores<br />
referencesystem.<br />
Vi kalder dette for en lineær bevægelse, selv om det strengt taget ikke foregår langs en ret linie:<br />
Lad os betragte en cyklist der kører<br />
hen ad en cykelsti.<br />
Vi kan beskrive cyklistens køretur<br />
ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:<br />
t / s 0 20 40 60 80 100 120<br />
s / m 0 180 330 450 550 630 700<br />
For at få et overblik<br />
over bevægelsen<br />
afbilder vi tabellens<br />
data i et koordinatsystem.<br />
Det er mest praktisk at<br />
have tiden t som<br />
førstekoordinat.<br />
Vi kalder en sådan<br />
afbildning for en (t,s)-<br />
graf for bevægelsen.<br />
Vi siger også, at vi har<br />
grafen for s(t) , dvs. s<br />
som funktion af t.
Opgave 1:<br />
Af tabellen fås, at fx s(80s) = 550m.<br />
Find på samme måde s(20s), s(60s) og s(120s).<br />
Løs ligningen s(t) = 330m og ligningen s(t) = 630m .<br />
Af (t,s)-grafen ses, at fx s(50s) = 395m.<br />
Find ved aflæsning på grafen på samme måde s(10s), s(30s) og s(110s).<br />
Løs ved aflæsning på grafen ligningerne s(t) = 120m og s(t) = 590m<br />
Opgave 2:<br />
Grafen er en (t,s)-graf for en cykeltur, hvor cyklisten vender om to gange.<br />
Beskriv denne cykeltur med ord.<br />
Opgave 3:<br />
Tegn (t,s)-graferne for en 100m-løber, og for en bybus, der kører fra et stoppested til det næste.
Opgave 4:<br />
Buslinierne fra Jernbanestationen i Sunshine til Caroline Springs, Caroline Springs Tennis Club og<br />
til Melton illustreres her af busselskabet i Australien nær Sidney.<br />
Prøv at beskrive med dine egne ord hvad det hele går ud på:<br />
1. Bevægelse med<br />
konstant hastighed<br />
Den simpleste lineære bevægelse er en bevægelse<br />
som hele tiden foregår med den samme hastighed.<br />
En sådan bevægelse kaldes jævn.<br />
Når en partikel bevæger sig jævnt, vil den tilbagelagte vejstrækning være proportional med den tid<br />
det tager at tilbagelægge strækningen, og proportionalitetsfaktoren vil være den konstante<br />
hastighed v , (af latin: velocitas).
Hvis vi lader stedfunktionen s(t) være 0 ved det sted, hvor partiklen befinder sig til tidspunktet<br />
t = 0s , altså har s(0s) = 0m får vi en særlig enkel sammenhæng:<br />
(1.1) s = v . t<br />
Hvis derimod partiklen befinder sig et andet sted s o til tidspunktet t = 0s får vi sammenhængen<br />
(1.2) s = v . t + s o<br />
Disse udtryk kan også skrives som funktionsudtryk, lidt mere omstændeligt:<br />
(1.3) s(t) = v . t<br />
og (1.4) s(t) = v . t + s(0s) idet s(0s) er det samme som s o<br />
(t,s)-grafen for en jævn bevægelse er en ret linie, hvor hastigheden v er hældningskoefficienten.<br />
Med begyndelsessted 0: Med begyndelsessted s o :<br />
s = v . t<br />
s = v . t + s o<br />
Da hastigheden v er hældningenskoefficienten på (t,s)-grafen, kan vi også sige, at hastigheden er<br />
vejlængden pr. sekund. Den grundlæggende SI-enhed for v er meter pr. sekund, m/s = m . s -1 .
Hvis man ikke kender hastigheden, kan den findes ud fra to sæt sammenhørende værdier af t og<br />
s . Hvis vi kalder de to sæt værdier for (t 1 , s 1 ) og (t 2 , s 2 ) har vi:<br />
s 1 = v . t 1 + s o<br />
s 2 = v . t 2 + s o s 2 - s 1 = v . t 2 - v . t 1 = v . (t 2 - t 1 ) <br />
(1.5) v =<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
,<br />
hvor vi som sædvanligt har ladet det græske<br />
bogstav betyde "Tilvæksten af …..".<br />
Fx betyder tilvæksten af stedkoordinaten,<br />
eller med andre ord vejstrækningen fra stedet med<br />
koordinaten s 1 til stedet med koordinaten s 2 .<br />
Opgave 5:<br />
Opgave 6:
2. Bevægelse med<br />
varierende hastighed<br />
Hvis vi vender blikket tilbage til side 1, kan vi se, at<br />
for denne cykeltur er hastigheden ikke konstant.<br />
Men hvis den ikke er konstant, må den jo ændre sig.<br />
Hvordan kan vi tale om hastigheden på et bestemt<br />
tidspunkt, en øjeblikshastighed Spørgsmålet optog<br />
de gamle grækere, som påpegede, at der var et<br />
dilemma: Hvis hastighed er et vejstykke divideret<br />
med en tid, hvad så med øjeblikshastighed - hvordan<br />
kan man dividere med et øjeblik, altså en tid der er 0<br />
Dilemmaet løses i differentialregningen,<br />
der blev<br />
opfundet i slutningen af<br />
1600-tallet, men den lærer I<br />
nærmere om i matematik.<br />
Vi vil her indføre en<br />
gennemsnitshastighed<br />
eller middelhastighed i et<br />
tidsrum:<br />
I det tidsrum, der går fra t 1<br />
= 40s til t 2 = 100s har<br />
cyklisten bevæget sig fra s 1<br />
= 330m til s 2 = 630m , og<br />
vi siger derfor at cyklistens<br />
gennemsnitshastighed er:<br />
v g =<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
= 5 = 5m. s -1 .<br />
På grafen ovenfor kan vi se, at dette svarer til hældningen af den gule linie, der hedder en sekant.<br />
På en (t,s)-graf er en gennemsnitshastighed altså hældningskoefficienten af en sekant, der tegnes<br />
ind på grafen i det pågældende tidsrum.
Vi vil her definere en øjeblikshastighed, eller hastigheden i et punkt som en gennemsnitshastighed<br />
over et meget lille tidsrum omkring øjeblikket / punktet.<br />
Det ses, at når tidsrummet bliver<br />
meget lille, kommer sekanterne<br />
tættere og tættere på den såkaldte<br />
tangent i et punkt. Vores<br />
hastighed i et punkt er derfor<br />
hældningskoefficienten for<br />
tangenten i dette punkt.<br />
På tegningen her kan øjeblikshastigheden<br />
til t = 60s findes<br />
som hældningen af den blå<br />
tangent, da denne er grænsestilling<br />
for de gule sekanter hvis<br />
hældninger er gennemsnitshastigheder<br />
for tidsrum, der<br />
snævrer sig mere og mere<br />
sammen on tidspunktet t = 60s .<br />
Vi definerer nu en hel hastighedsfunktion, v(t) , som angiver øjeblikshastigheden til tidspunktet t.<br />
Opgave 7:<br />
Find ved aflæsning øjeblikshastigheden v(60s) på grafen ovenfor.<br />
Opgave 8:<br />
Find ved aflæsning gennemsnitshastigheden over tidsrummet fra t 1 = 10s til t 2 = 30s for<br />
cykelturen hvis (t,s)-graf er bragt i opgave 2, side 2.<br />
Find ligeledes gennemsnitshastigheden over tidsrummet<br />
fra t 1 = 90s til t 2 = 110s .<br />
Find ved aflæsning øjeblikshastighederne v(20s) ,<br />
v(50s) , v(80s) og v(100s)<br />
Beskriv endnu en gang cykelturen med ord, idet du gør<br />
rede for hastighedens variation i løbet af turen.
Når man har hastighedsfunktionen v(t) kan man afbilde dennes graf i et (t,v)-diagram. Nedenfor<br />
ses et eksempel på en (t,s)-graf og den tilhørende (t,v)-graf . Bemærk at anden-akserne har<br />
forskellige enheder. Bliv fortrolig med sådanne grafer, og prøv selv at tegne sammenhørende (t,s)-<br />
grafer og (t,v)-grafer:<br />
Opgave 9:<br />
Stedfunktionen for en bevægelse er<br />
s(t) = 3,7 . t<br />
Beregn bevægelsens hastighed v(t) .
3. Bevægelse med<br />
konstant acceleration<br />
Hvis (t,v)-grafen for en bevægelse er en ret linie, siger<br />
vi, at vi har en jævnt voksende bevægelse eller en<br />
bevægelse med konstant acceleration.<br />
Accelerationen er defineret som hældningskoeficienten<br />
på (t,v)-grafen , dvs. som hastighedstilvæksten pr.<br />
sekund.<br />
Vi har altså<br />
(3.1) a = <br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
,<br />
Enheden for acceleration bliver enheden<br />
for v divideret med enheden for t , altså<br />
<br />
<br />
= m/s 2 = m . s -2 .<br />
I et frit fald uden luftmodstand er alle<br />
legemer her ved jordoverfladen udsat for<br />
en konstant acceleration på g 10m/s 2 .<br />
I ligningerne (1.1) - (1.4) så vi, hvordan vi<br />
kunne finde den tilbagelagte vej ud fra<br />
hastigheden gange tiden, men hvad gør vi i<br />
dette tilfælde, hvor der ikke er en hastighed,<br />
men forskellige hastigheder<br />
Svaret er, at så må vi bruge<br />
gennemsnitshastigheden v g , som også<br />
benævnes , idet det i matematikerkredse er<br />
almindeligt, at man lader kantede parenteser om<br />
en variabel betyde gennemsnittet af variablen.
Gennemsnitshastigheden ved en ujævn hastighed kan - ligesom i<br />
(1.5) findes som:<br />
(3.2) = v g =<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
,<br />
altså den totale afstand / totale tid , hvis vi lader situation 1 være<br />
starten og situation 2 være slutningen på et forløb. Denne kan<br />
omformes til<br />
(3.3) = s 2 - s 1 = v g . (t 2 - t 1 ) = v g . t<br />
altså: tilbagelagt vej er gennemsnitshastighed gange forløbet tid.<br />
Dette gælder for alle ujævne bevægelser, Men det bliver særligt simpelt at regne på, når vi har at<br />
gøre med en bevægelse med konstant acceleration. dvs. en jævnt voksende bevægelse. Her kan<br />
gennemsnitshastigheden nemlig findes som middelværdien af starthastigheden og sluthastigheden:<br />
(3.4) = v g = ½ . (v start + v slut ) = ½ . (v 1 + v 2 )<br />
Under et frit fald, der starter fra hvile (v start = 0) er sluthastigheden<br />
(3.5) v slut = g . t .<br />
I dette simple tilfælde bliver:<br />
(3.6) v g = ½ . (v start + v slut ) = ½ . g . t .<br />
og så bliver den tilbagelagte vej<br />
(3.7) s = v . g t = ½ . g . t . t = ½ . g . t 2<br />
også kendt som Galileis faldlov.<br />
Opgave 10:<br />
En ond lærer falder ned fra et 11,25m højt vindue. Hvad er hans faldtid, og med hvilken<br />
hastighed rammer han jorden