Besvarelse

Delopgave D
Bestem en formel for alle løsninger til (1) i tilfælde III.
Besvarelse I formlen (4) simplificerer vi notationen ved at sætte
k = − b − 1
√
−D
2 , ω = 2
(7)
så de to rødder er k ± iω Ifølge delopgave A har (1) den komplekse løsning t k+iω . Vi
udregner realdelen og imaginærdelen af denne løsning ved at bruge formlerne fra slides uge
38, side 7
Re(t k+iω ) = t k cos(ω · ln(t)), Im(t k+iω ) = t k sin(ω · ln(t))
Sætning 1 garanterer, at disse to funktioner igen er løsninger til (1). Ingen af dem er
nulfunktionen og de er ikke proportionale (“cosinus og sinus svinger ikke i takt”), kan vi
bruge Sætning 0 til at konkludere, at den fuldstændige løsning til (1) i tilfælde III er givet
ved formlen
y(t) = At k cos(ω·ln(t))+Bt k sin(ω·ln(t)) hvor A og B er vilkårlige reelle konstanter (8)
4