Besvarelse

Delopgave E
Denne delopgave omhandler tilfælde II, og r 1 betegner den enlige rod i (3).
Eftervis, at funktionen t r1 · ln(t) er løsning til (1).
Bestem derefter en formel for alle løsninger til (1) i tilfælde II.
Besvarelse Vi har løsningen y 1 (t) = t r 1
og skal vise, at y 2 (t) = y 1 (t) ln(t) også er en
løsning. Vi udregner y 2(t) ′ og y 2(t).
′′
y 2(t) ′ = y 1(t) ′ ln(t) + y 1(t)
, y ′′
t
2(t) = y 1(t) ′′ ln(t) + 2 y′ 1(t)
− y 1(t)
.
t t 2
Vi indsætter i (1), og ganger ud.
t 2 · y 2(t) ′′ + bt · y 2(t) ′ + c · y 2 (t) =
t 2 y 1(t) ′′ ln(t) + 2ty 1(t) ′ − y 1 (t) + bty 1 (t) ln(t) + by 1 (t) + cy 1 (t) ln(t)) = (fortsættes)
Vi samler nu alle led, der indeholder faktoren ln(t) og sætter denne faktor uden for en
parentes. Parentesen giver alt i alt nul fordi y 1 (t) løser (1).
(fortsat) =
(
t 2 y 1(t) ′′ + bty 1(t) ′ + cy 1 (t) ) · ln(t) + 2ty 1(t) ′ + (b − 1)y 1 (t) =
2ty 1(t) ′ + (b − 1)y 1 (t) = (fortsættes)
I dette udtryk indsættes formlen y 1 (t) = t r 1
. Så får man
(fortsat) =
2r 1 t r 1
+ (b − 1)t r 1
= 0
hvor det sidste lighedstegn gælder, fordi roden i (3) i dette tilfælde er r 1 = − b−1
2 . Hermed
er det vist, at y 2 (t) faktisk er en løsning, og (den nu sædvanlige) anvendelse af Sætning 0
viser, at i tilfælde II er den fuldstændige løsning givet ved formlen
y(t) = At r 1
+ Bt r1 · ln(t) hvor A og B er vilkårlige reelle konstanter (9)
5