Integralregning - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk 132( )A′ ′( x) = x + x − 2 = 2x+ 1Vi har altså minsandten at A′ ( x) = f ( x), præcist som forudsagt i sætning 11!Definition 14 (Bestemt integral)Lad f være en funktion, der er kontinuert i et interval [ a, b ] og har stamfunktionen F.Ved det bestemte integral af f i [ a, b ] forstås tallet F( b) − F( a). Man skriver:(14) [ ]∫bf ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a )a abBemærkning 15Det skal bemærkes, at (14) er veldefineret, dvs. at det tal man får frem er uafhængig afvalget af stamfunktion. Lad os sige, at G( x) = F( x)+ k er en anden stamfunktion.(15) ( ) ( )G( b) − G( a) = F( b) + k − F( a) + k = F( b) + k − F( a) − k = F( b) − F( a)Det viser at differensen giver det det samme uanset hvilket stamfunktion, man vælger.Årsagen hertil er at konstanten går ud i beregningerne!Sætning 16Lad f være en funktion, som er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [ a, b ]. Da harpunktmængden M, der ligger mellem grafen for f og x-aksen fra x = a til x = b etareal, som er lig med det bestemte integral:Areal( M ) = ∫ f ( x)dxbaBevis: Ifølge sætning 11 er arealfunktionen en stamfunktion til f. Ifølge bemærkning 15er det ligegyldig hvilken stamfunktion vi vælger, når vi skal udregne det bestemte integral.Dermed kan vi som stamfunktion lige så godt vælge arealfunktionen for f.b∫ba(16) f ( x) dx = [ A( x)] = A( b) − A( a) = A( b) − 0 = A( b) = det søgte arealaHer har vi brugt at A( a ) = 0 , som det fremgår af figuren side 10. Samme figur viser ogsåat A( b ) er det søgte areal.□Eksempel 172Givet funktionen f ( x) = − x + x + 2 . Bestem arealet af det område M, som er begrænsetaf grafen for f og x-aksen.