Integralregning - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk 19under grafen. Det kan også udtrykkes ved, at middelsummen nærmer sig til det bestemteintegral fra a til b, når ∆x→ 0 . Dette resultat kan vises også at gælde for kontinuertefunktioner, som evt. er negative i nogle punkter:Sætning 22Lad f være en funktion, som er kontinuert på det lukkede interval [ a, b ]. Da haves aten middelsum nærmer sig til det bestemte integral fra a til b, når ∆x→ 0 :nb∑ i ∫i=1af ( x ) ⋅ ∆x → f ( x) dx for ∆x→ 0□Eksempel 23 (Hastighed og strækning i fysisk bevægelse)De fleste kan regne ud, at hvis man cykler en tur til Tyskland og kører med en fast hastighedpå 25 km/t i 2 timer, så har man i alt kørt 25 km/t ⋅ 2 timer = 50 km . Man kanogså betragte situationen grafisk ved at afbilde tiden t hen ad 1. aksen og farten v op ad2. aksen. Da fås grafen vi ser på figuren nedenfor til venstre. Den tilbagelagte strækningsvarer da til arealet af rektanglet under den vandrette (t,v)-graf. Et nærliggende spørgsmåler nu, hvad man gør, når hastigheden ikke er fast, men derimod varierer? Man kunneforestille sig, at man delte tidsintervallet [ tstart, t slut ] op i en række delintervaller, hveraf længden ∆ t , hvori man med god tilnærmelse kan betragte hastigheden som konstant.25v (km/t)v( t)v( t)2t (timer)t startt 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8tI hvert af disse små delintervaller ville en tilnærmet værdi for den tilbagelagte strækningda kunne beregnes på den simple måde som arealet af rektanglet, der har ∆ t og denkonstante fart som sidelængder. Situationen er vist på den højre figur. Summen afarealerne af de tynde rektangler er en tilnærmelse til den tilbagelagte strækning. For-t slut