Kompendium til lineær Algebra - bennike.org

Sæ tn.: 6XUMHNWLYLWHW RJ ELOOHGUXP
Kompendium til Lineæ r Algebra
Politstudiet, matematik, 1. årsprøve
Af Erik Bennike
Lad (D1 D2 « D� ) væ re en basis for 5 � , og lad 7 : 5 � 5 � væ re en lineæ r afbildning.
• Billedrummet 5(7) frembringes af sæ ttet (7D1 7D2 « 7D� ).
• 7 er surjektiv, hvis og kun hvis sæ ttet (7D� 7D� « 7D� ) frembringer hele 5 � .
• dim 5(7) ” Q (LA sæ tn. 6.1.4)
Sæ tn.: 1XOUXP RJ XQGHUUXP
Nulrummet 1(7) for en lineæ r afbildning 7 : 5 � 5 � er et underrum af vektorrummet 5 � .
En afbildning mellem to mæ ngder kaldes injektiv, hvis forskellige punkter fra
” startmæ ngden” ikke kan afbildes i samme punkt i ” destinationsmæ ngden” .
Sæ tn.: ,QMHNWLYLWHW RJ QXOUXP
- 17 -
(LA sæ tn. 6.1.5)
En lineæ r afbildning 7 : 5 � 5 � er injektiv, hvis og kun hvis 1(7) = { 0 & }. dim 1(7) = 0
Sæ tn.: /LQH U XDIK QJLJKHG RJ LQMHNWLYLWHW
(LA sæ tn. 6.1.6)
Lad (D1 D2 « D� ) væ re en basis for 5 � , og lad 7 : 5 � 5 � væ re en lineæ r afbildning. Der
gæ lder, at 7 er injektiv, hvis og kun hvis sæ ttet (7D1 7D2 « 7D� ) er lineæ rt uafhæ ngigt.
Sæ tn.: %LOOHGUXP RJ VXUMHNWLYLWHW VDPW LQMHNWLYLWHW
Lad 7 : 5 � 5 � væ re en lineæ r afbildning. Der gæ lder følgende:
• 7 er surjektiv, hvis og kun hvis dim 5(7) = P.
(LA sæ tn. 6.1.7)
• 7 er injektiv, hvis og kun hvis dim 5(7) = Q. (LA kor. 6.1.8)
En afbildning kaldes bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv.
For at en lineæ r afbildning skal væ re bijektiv skal således Q = P, altså en afbildning:
7 : 5 � 5 � . En sådan afbildning kaldes en endomorfi.