Kompendium til lineær Algebra - bennike.org

Kompendium til Lineæ r Algebra
Politstudiet, matematik, 1. årsprøve
Af Erik Bennike
Ved multiplikationen er ræ kke- og søjleantallet i den fremkomne matrix altså bestemt af:
Den første matrix bestemmer ræ kkeantallet og den anden matrix bestemmer søjleantallet.
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHU IRU PDWUL[PXOWLSOLNDWLRQ
•
•
•
•
$ ( % + &)
= $% + $&
( $ + % ) & = $& + %&
( λ$
) % = $ ( λ%
) = λ(
$% )
( $% ) & = $ ( %&)
$ ∈ 5
$ , % ∈ 5
- 6 -
�
�
λ ∈ 5,
$ ∈ 5
Def.: 5HJXODULWHW LQYHUWLELOLWHW DI NYDGUDWLVNH PDWULFHU
�
�
, % , & ∈ 5
$ ∈ 5
�
�
, & ∈ 5
�
�
�
�
�
RJ
�
�
, % ∈ 5 , & ∈ � 5
% ∈ 5
�
�
�
�
(LA sæ tn. 2.2.4/5)
En kvadratisk matrix $ kaldes regulæ r (invertibel) hvis der findes en kvadratisk Q × Q matrix
%, således at $Â% %Â$ (� (LA def. 2.2.7)
hvor (� er enhedsmatricen. Matricen % kaldes $’ s inverse matrix (og omvendt), og den
benæ vnes $ –1 .
Sæ tn.: 5HJXODULWHW DI LQYHUVH PDWULFHU
Lad $ væ re en regulæ r matrix. Så er den inverse matrix $ –1 også regulæ r, og $ er dennes
inverse matrix, dvs. ($ –1 ) –1 $ (LA sæ tn. 2.2.9)
Sæ tn.: ,QYHUVW PDWUL[SURGXNW
Lad $ og % væ re regulæ re matricer. Så er også matrixproduktet $% regulæ rt og den inverse
matrix til matrixproduktet er matricen ($%) –1 % –1 Â$ –1 (LA sæ tn. 2.2.10)
Bemæ rk ræ kkefølgen!
Def.: 7UDQVSRQHUHW PDWUL[
Den transponerede matrix til $ benæ vnes $ � og fremkommer ved at ombytte ræ kker og søjler
i $.
Der gæ lder endvidere følgende
•
•
•
�
( $ + % )
�
( $ ) =
λ λ$
(LA def. 2.2.12)
� �
( $ ) = $
= $
�
�
+ %
�