Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Def.: (JHQY UGL<br />
<strong>Kompendium</strong> <strong>til</strong> Lineæ r <strong>Algebra</strong><br />
Politstudiet, matematik, 1. årsprøve<br />
Af Erik Bennike<br />
6SHNWUDOWHRUL ± /$ NDS<br />
Lad 7 : 5 �<br />
5 � væ re en lineæ r afbildning og lad ∈ 5. Hvis der findes en egentlig vektor<br />
[ ∈ 5 � for hvilken 7[ = [ , så siges [ at væ re en egenvektor for 7, og kaldes den<br />
<strong>til</strong>hørende egenvæ rdi. (LA def. 10.1.1)<br />
Def.: (JHQUXP<br />
Til en given lineæ r afbildning 7 : 5 �<br />
5 � 9�<br />
og et givet ∈ 5 indføres mæ ngden<br />
• ( ) = {[ ∈ 5 � | 7[ = [} (LA def. 10.1.2)<br />
• Denne kaldes egenrummet for 7 hørende <strong>til</strong> skalaren .<br />
• Denne er et underrum af 5 �<br />
, 9� idet ( ) = 1 (7 – , )<br />
• Dimensionen 9� af ( ) kaldes egenvæ rdimultipliciteten for og betegnes med<br />
HP� ( ).<br />
• er en egenvæ rdi for 7 hvis og kun hvis egenvæ rdimultipliciteten HP� ( ) > 0.<br />
• Der gæ lder specielt, at 9� (0) = 1 (7). Derfor er nul en egenvæ rdi for 7, hvis og<br />
kun hvis 7 ikke er injektiv.<br />
• Mæ ngden af egenvæ rdier for en endomorfi 7 kaldes spektret for 7 og betegnes<br />
med (7). (LA s. 222ø)<br />
Sæ tn.: 6XP DI HJHQUXP RJ HJHQY UGLPXOWLSOLFLWHWHU<br />
Lad 7 : 5 �<br />
5 � væ re en lineæ r afbildning med indbyrdes forskellige egenvæ rdier<br />
1, 2, … � , . 9� Egenrummene ( 9� 1), ( 2), … 9� , � ( ) danner direkte sum, og summen af<br />
egenvæ rdimultipliciteterne:<br />
HP� ( 1) + HP� ( 2) + ··· + HP� ( � ) ” Q (LA sæ tn. 10.1.4)<br />
Def.: 'HW NDUDNWHULVWLVNH SRO\QRPLXP<br />
Lad 7 væ re en endomorfi af 5 � og lad $ væ re den <strong>til</strong> afbildningen 7 hørende matrix med<br />
hensyn <strong>til</strong> en valgt basis. Polynomiet<br />
S� ( W ) = det ( $ – W( ) (LA def. 10.2.1)<br />
kaldes det karakteristiske polynomium for 7.<br />
- 30 -
Change language