Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
Kompendium til lineær Algebra - bennike.org
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
' = 4 –1 $4<br />
<strong>Kompendium</strong> <strong>til</strong> Lineæ r <strong>Algebra</strong><br />
Politstudiet, matematik, 1. årsprøve<br />
Af Erik Bennike<br />
er en diagonalmatrix. De Q diagonalelementer i ' er rødderne i det karakteristiske<br />
polynomium<br />
S� ( W ) = det ( $ – W(� ) , W ∈ 5<br />
hver medtaget så mange gange, som rodmultipliciteten angiver. Søjlerne i ortogonalmatricen<br />
4 er koordinatsøjler for vektorerne i en ortonormalbasis af egenvektorerne for $ med hensyn<br />
<strong>til</strong> den kanoniske basis. (LA kor. 10.3.4)<br />
Def.: 'HILQLWKHGVIRUKROG<br />
• En symmetrisk Q × Q matrix $ kaldes positiv definit, hvis<br />
($[ | [) > 0 ∀ [ ∈ 5 � , 0 &<br />
[ ≠<br />
• Tilsvarende kaldes $ negativ definit, hvis –$ er positiv definit.<br />
• Matricen $ kaldes positiv semidefinit, hvis<br />
( [ ) ≥ ∀ [ ∈<br />
$[ 0 5 �<br />
• og kaldes negativ semidefinit, hvis ±$ er positiv semidefinit.<br />
• Matricen $ kaldes indefinit, hvis der findes vektorer [, \ ∈ 5 � for hvilke<br />
( [ ) > 0 RJ ( $\ \ ) < 0<br />
$[ (LA def. 10.3.5)<br />
Sæ tn.: 'HILQLWKHGVIRUKROG RJ HJHQY UGLHU<br />
Lad $ væ re en symmetrisk Q × Q matrix. Der gæ lder<br />
• $ er positiv definit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er positive<br />
• $ er positiv semidefinit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-negative<br />
• $ er negativ definit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er negative<br />
• $ er negativ semidefinit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-positive<br />
• $ er indefinit, hvis og kun hvis $ har både positive og negative egenvæ rdier<br />
- 33 -<br />
(LA sæ tn. 10.3.6)
Change language