Konzentrationsmaße

Kapitel 4
Konzentrationsmaße
Warum reicht die Varianz nicht zur Konzentrationsmessung aus?
Betrachtet man die Merkmale XA ( ” Einkommen in Land A“) und XB ( ” Einkommen in
Land B“) mit folgender Häufigkeitsverteilung
Land A
j aj fj
1 10 0.1
2 100 0.9
Land B
j aj fj
1 10 0.9
2 100 0.1
so gilt ˜s 2 XA = ˜s2 , obwohl die Verteilungen ganz unterschiedlich sind.
XB
✻ ✻
� �
A B
�
Arm Reich Arm Reich
In Land A haben Wenige ein geringes Einkommen, während in Land B Viele ein geringes
Einkommen haben.
• Gleicher Wert der Varianz / Streuung, aber ganz unterschiedliches ” Streuverhalten“.
• Die üblichen Streuungsmaße messen symmetrisch die Variabilität um das Zentrum
(arithmetisches Mittel, Median). Überschreiten und Unterschreiten des Mittelwerts
werden also gleich gewichtet, geben aber keine Auskunft über die Gleichmäßigkeit
der Verteilung bzw. über die sog. Konzentration.
• Grundfrage der Konzentrationsmessung: Wie verteilt sich die Gesamtsumme (etwa
das Vermögen) unter den einzelnen Einheiten? Beispiel: Welchen Anteil am
Gesamtvermögen haben die Reichsten?
Durchgängige Annahmen in diesem Kapitel:
• X sei ein verhältnisskaliertes Merkmal mit Urliste x1, . . . , xn.
59
�

60 4.1. Relative Konzentrationsmessung
• xi ≥ 0, für alle i = 1, . . . , n und
verschieden).
• Betrachtet werden die der Größe nach geordneten Daten:
n�
xi > 0 (d.h mindestens ein Wert ist von Null
i=1
x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)
• Achtung: Die Klammern im Index werden in der Literatur oft weggelassen (z.B in
Fahrmeir et al., 2007). Dann muss man vor dem Anwenden der dortigen Formeln
die Daten ordnen. Später wird allerdings, wenn auf die Ausprägungen a1, . . . , ak
übergegangen wird, angenommen, dass a1 < a2 < . . . < ak gilt, dass also diese
Ausprägungen bereits geordnet sind.
4.1 Relative Konzentrationsmessung
4.1.1 Lorenzkurve
• Erste und bekannteste Form der Konzentrationsmessung.
• Bezeichne mit
uj := j
n
den Anteil der j kleinsten Merkmalsträger und mit
vj :=
j�
i=1
n�
i=1
x(i)
xi
=
j�
i=1
n�
i=1
x(i)
x(i)
den anteiligen Beitrag dieser Einheiten zur Gesamtsumme
n�
xi =
i=1
( ” kumulierte relative Merkmalssumme“).
• Die stückweise lineare Kurve durch die Punkte (0, 0), (u1, v1), (u2, v2), . . ., (un, vn)
= (1, 1), heißt Lorenzkurve.
Berechnung der Lorenzkurve im Beispiel:
n�
i=1
x(i)

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 61
l a A l f A
l
j�
l=1
f A
l = uj f A
l aA l
j�
l=1
f A
l a A l
j�
l=1
k�
l=1
fl · al
fl · al
= v A j
1
1 10 0.1 0.1 0.1 · 10 = 1 1 = 0.0109
91
2 100 0.9 1 0.9 · 100 = 90 91 1
l a B l f B
l
j�
l=1
f B
l = uj f B
l aB l
j�
l=1
f B
l a B l v B j
9
1 10 0.9 0.9 0.9 · 10 = 9 9 = 0.47
19
2 100 0.1 1 0.1 · 100 = 10 19 1
Interpretation der Lorenzkurve:
✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑✑
1
• Der Punkt (uj, vj) bedeutet: Die uj ·100% Einheiten mit den kleinsten Ausprägungen
(z.B. die 90% Ärmsten) haben vj · 100% des Gesamtbestandes (z.B. 8.25% des
Gesamtvermögens).
• Wie liegen die Punkte bei minimaler Konzentration? (Konzentration=0, entspricht
gleichmäßiger Verteilung)
10% kleinste haben 10%
20% ” ” 20% usw.
Es gilt also uj = vj für alle j, d.h. die Punkte (uj, vj) liegen auf der Winkelhalbierenden.
• Die Lorenzkurve ist nach ” unten gewölbt“ (konvexe Funktion). Punkte oberhalb der
Winkelhalbierenden kommen nicht vor.
• Ähnlich überlegt man sich: die Kurve muss monoton wachsend sein.
Gegenbeispiel: z.B. Punkte (0.6,0.8) und (0.7,0.7) würden bedeuten: die 60% Ärmsten
haben 80% des Vermögens aber die 70% Ärmsten haben nur 70% des Vermögens.
• Extremfall: vollständige Konzentration
n − 1 Personen haben gar nichts
n-te Person hat alles

62 4.1. Relative Konzentrationsmessung
1
☎
☎
☎
☎
☎
☎
☎
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯
• Konzentration 0 bedeutet ” gleiche Verteilung“ in dem Sinne, dass jede Einheit denselben
Anteil an der Gesamtsumme hat. Dies bedeutet x1 = x2 = . . . = xn und
damit hj∗ = n bzw. fj∗ = 1 für eine bestimmte Ausprägung aj∗ = x1.
Dies ist zu unterscheiden von der (Häufigkeits-)Gleichverteilung (siehe v.a. Statistik
2). Dort ist h1 = h2 = . . . = hk, also jede Ausprägung aj gleich häufig vertreten.
�
100% gleiche Verteilung,
Konzentration 0
☎•
n−1
n
1
(Häufigkeits-)Gleichverteilung
• • • • •
• Je weiter die Kurve von der Winkelhalbierenden entfernt ist, also je tiefer ceteris
paribus vj ist, umso stärker ist die Konzentration.
• Insbesondere bei größeren Datensätzen vereinfacht sich die Berechnung wesentlich,
wenn man die relativen/absoluten Häufigkeiten f1, . . . , fk bzw. h1, . . . , hk der der
Größe nach geordneten Merkmalsausprägungen a1 < a2 < . . . < ak benutzt. Dann
ist für j = 1, . . . , k
und
vj =
j�
l=1
k�
l=1
hl · al
hl · al
=
j�
l=1
k�
l=1
uj =
fl · al
fl · al
j�
l=1
= partielles arith. Mittel über die ersten j
hl
n =
j�
fl = F (aj)
l=1
.
¯x
• Ist bei klassierten Daten mit den Klassen [c0, c1), [c1, c2), . . . , [ck−1, ck] die Merkmalsverteilung
in den Klassen nicht bekannt, so nimmt man wie bei den Berechnungen
zum arithmetischen Mittel als Approximation an, dass alle Ausprägungen in dieser

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 63
Klasse auf die Klassenmitte ml = cl−1+cl
2
vj =
j�
l=1
k�
l=1
fallen und erhält:
hl · ml
hl · ml
(untere Abschätzung: in jeweiliger Klasse keine Konzentration).
• Während normalerweise bei Lorenzkurven nur die Punkte (0, 0), (u1, v1), . . . interpretierbar
sind, sind bei klassierten Daten auch die linearen Zwischenstücke interpretierbar.
4.1.2 Gini-Koeffizient
Will man die Konzentration durch eine einzige Maßzahl beschreiben, so liegt es nahe, die
Fläche zwischen der Winkelhalbierenden und der Kurve heranzuziehen.
Definition: Gegeben sei die geordnete Urliste x(1), x(2), . . . , x(n) eines verhältnisskalierten
Merkmals X. Dann heißt
G := 2· �n i=1 i· x(i)
n �n i=1 xi
n + 1
−
n
Gini-Koeffizient und
G ∗ := n
· G
n − 1
normierter Gini-Koeffizient (Lorenz-Münzner-Koeffizient).
Bemerkungen:
• Man kann zeigen (Herleitung über Trapezformel, z.B. Toutenburg, 2006): Es gilt
G =
Fläche zwischen Winkelhalbierender und Lorenzkurve
Fläche zwischen Winkelhalbierender und Abszisse
= 2 · Fläche zwischen Winkelhalbierender und Lorenzkurve
• Es gilt bei minimaler Konzentration G = 0 und bei maximaler Konzentration G =
n−1
n .
• Damit ist also G ∗ = 0 bei minimaler Konzentration und G ∗ = 1 bei maximaler
Konzentration. Ist n sehr groß, so gilt n−1
n ≈ 1, also G∗ ≈ G.
.

64 4.1. Relative Konzentrationsmessung
• Betrachtet man die geordneten Ausprägungen a1 < a2 < . . . < ak mit den Häufigkeiten
h1, h2, . . . , hk, so gilt
mit
Beispiel:
beide Kurven zeichnen!
Die Formel
und u0 := 0.
G =
k�
(ul−1 + ul)fl · al
l=1
k�
l=1
fl · al
− 1 =
uj = 1
n
l Land I: al fl ul fl · al
j�
l=1
k�
(ul−1 + ul)hl · al
l=1
hl
j�
l=1
k�
l=1
flal
hl · al
j� flal
k� fjaj
1 2 0.5 0.5 1 1 1
10
2 18 0.5 1 9 10 1
l Land II: al fl ul fl · al
j�
l=1
flal
j� flal
k� flal
1 10 0.9 0.9 9 9 1
2
2 90 0.1 1 9 18 1
� ��
� �
� ��
✥✥✥✥✥✥✥✥
G =
� ��
� ����
�k l=1 (ul−1 + ul)flal
�k l=1 flal
− 1
1
− 1

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 65
vereinfacht sich hier zu
und man erhält für
Land I:
G = (0 + u1) · f1 · a1 + (u1 + u2) · f2 · a2
f1 · a1 + f2 · a2
0.5 · 0.5 · 2 + (0.5 + 1) · 0.5 · 18
G = − 1
0.5 · 2 + 0.5 · 18
= 1.4 - 1 = 0.4
Land II:
0.9 · 0.9 · 10 + (0.9 + 1) · 0.1 · 90
G = − 1
0.9 · 10 + 0.1 · 90
= 1.4 - 1 = 0.4
Alternativ kann man direkt mit den Flächen rechnen: G = 2 · Fläche zwischen Winkelhalbierender
und Lorenzkurve.
Land I: Berechne zunächst die Fläche unter der Lorenzkurve:
0.5·0.1
2
0.9·0.5
+ 0.5 · 0.1 + 2
⇒ G = 2 · � 1
2 − 0.3� = 0.4
Analog für Land II:
0.9·0.5
2
0.1·0.5
+ 0.1 · 0.5 + 2
⇒ G = 2 · ( 1 − 0.3) = 0.4
2
= 0.3
= 0.3
Wie man sieht, können unterschiedliche Situationen zu demselben Gini-Index führen.
⇒ Lorenzkurven mitzeichnen.
Beispiel: Gini-Koeffizienten der landwirtschaftlich genutzten Fläche für ausgewählte
Länder
Paraguay G = 0.913 61.6% haben < 10ha
Italien G = 0.768 87.7% ”
Schweiz G = 0.232 52.3% ”
Österreich G = 0.446 53.2% ”
Portugal G = 0.716 91.5% ”
4.1.3 Quantilsbezogene relative Konzentrationsmessung
Oft werden Daten quantilsbezogen vergröbert bzw. zusammengefasst und auch nur die
entsprechenden Anteile der Merkmalssumme in den Quantilen angegeben.
− 1

66 4.1. Relative Konzentrationsmessung
Beispiel: Einkommenskonzentration in Brasilien
Quintile: 20% 40% 60% 80% 100%
Anteile: 2.5 4.9 9.2 18.3 65.2
z1 z2 z3 z4 z5
(100.1% wegen Rundung)
Für α, 2α, 3α, . . . (α = 0.2 im Beispiel) erhält man die zugehörigen v-Werte“ der Lorenz-
”
kurve v1, v2, v3, . . ., durch
jα·n �
Also im Beispiel:
vj =
i=1
n�
i=1
x(i)
x(i)
= �
u1 = 0.2 v1 = z1 = 2.5%
u2 = 0.4 v2 = z1 + z2 = 2.5% + 4.9% = 7.4%
u3 = 0.6 v3 = z1 + z2 + z3 = 16.6%
u4 = 0.8 v4 = z1 + z2 + z3 + z4 = 34.9%
u5 = 1 v5 = z1 + z2 + z3 + z4 + z5 = 100%
Damit lässt sich die Lorenzkurve an den Punkten (α, v1), (2α, v2),. . . darstellen:
� ����������
•
•✁✁
•
✟���✓✓✓✓
•
✟
✟✟
•
❅
0 α 2α 3α 1
0.25 0.50 0.75
Allgemeiner Zusammenhang zwischen zj und vj: Berechnung der zj aus den vj:
z1 := v1 − 0
z2 := v2 − v1
.
zj := vj − vj−1,
So erhält man genau den Anteil, der ins j-te Quantil fällt, denn:
z1 =
�α·n
x(i)
i=1
n�
i=1
x(i)
, z2 =
�2α·n
i=1
l≤j
�α·n
x(i) − x(i)
n�
i=1
i=1
x(i)
zj
=
�2αn
i=α·n+1
n�
i=1
x(i)
x(i)
, usw.

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 67
Umgekehrt Berechnung der vj aus den zj:
v1 = z1
v2 = z2 + v1 = z2 + z1
v3 = z1 + z2 + z3
.
vj = �
l≤j
zl
Berechnung des Gini-Koeffizienten: Beim Gini-Koeffizienten muss man sich mit einer
Zusatzannahme behelfen: Wenn im jeweiligen Quantil alle Einkommen gleich sind, so hat
man Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen a1, a2, . . . , ak vorliegen, d.h. al ist der Wert
im l-ten Quantil und man erhält
G =
=
=
k�
(ul−1 + ul)fl · al
l=1
k�
l=1
fl · al
k�
(ul−1 + ul) ·
l=1
� l�
l=1
− 1
fl · al
k�
l=1
(ul−1 + ul) · zl
fl · al
Dieser so berechnete Wert von G ist eine untere Schranke für das wahre G!
(insb. Verlauf im letzten Quantil verschleiert!)
Zurück zum Beispiel Brasilien:
G ≈
Weitere Gini-Koeffizienten:
k�
(ul−1 + ul) · zl − 1
l=1
�
− 1
− 1
= (0 + 0.2) · 0.025 + (0.2 + 0.4) · 0.049+
+ (0.4 + 0.6) · 0.092+
+ (0.6 + 0.8) · 0.183+
+ (0.8 + 1) · 0.652 − 1
= 0.5562

68 4.1. Relative Konzentrationsmessung
Algerien 0.3572
Brasilien 0.5562
Deutschland 0.3034
Finnland 0.2460
Niger 0.3300
China 0.3460
Kann es wirklich sein, dass die Einkommenskonzentration in Deutschland ungefähr diesselbe
ist wie in Niger? Ja, denn betrachtet wird hier nur die Verteilung der Gesamtsumme und keine
absoluten Werte.

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 69
Inhaltlicher Exkurs: Vermögensverteilung in Deutschland
4.1.4 Weitere relative Konzentrationsmaße
Insbesondere basierend auf der ” natürlichen, äquidistanten Einteilung“ mit Hilfe von
Quantilen lassen sich weitere relative Konzentrationsmaße definieren:
Robin-Hood-Index (Wagschal, 1999, S.135ff)
• Idee: Wieviel müsste den Reichen weggenommen werden, um zu einer Konzentration
von 0 zu kommen?
• Ermittle jeweils für jedes j für das j · α-Quantil den Abstand seines Anteils zu j · α
(also den Abstand zur Winkelhalbierenden).
• Aufaddieren der positiven Abstände liefert den Robin-Hood-Index. Dieser Anteil
müsste verteilt werden, um zu einer gleichen Verteilung zu kommen!

70 4.2. Absolute Konzentrationsmessung
• Grafische Bestimmung des Robin-Hood-Indexes ⇒ Wagschal (1999, S.132).
Quantilverhältnisse
• Bilde das Verhältnis von (1 − α)- und α-Quantil, zum Beispiel:
x0.9
x0.1
Dezilverhältnis (falls x0.1 > 0).
• Interpretation am Beispiel des Einkommensvergleichs: Um welchen Faktor ist der
Besitz der 10% Reichsten größer als der Besitz der 10% Ärmsten.
• Minimale Konzentration erhält man, wenn alle Beobachtungen in einem Punkt zusammenfallen.
Dann gilt beispielsweise x0.1 = x0.9 und damit Dezilverhältnis = 1.
• Vorsicht: Ist das Dezilverhältnis = 1, so folgt nicht automatisch, dass minimale
Konzentration vorliegt. Beispiel: 99% besitzen praktisch gar nichts, 1% fast alles,
dann ist das Dezilverhältnis auch 1.
Problematisch bei der Betrachtung extremer Ungleichheit, beispielsweise für Einkommen
in Entwicklungsländern.
• Für die Einkommensverhältnisse in OECD-Ländern dagegen sehr anschauliches Maß.
Beispiel: Dezilverhältnisse des Einkommens von Vollbeschäftigten im internationalen
Vergleich (Wagschal, 1999, S.138)
Norwegen 1.98 Italien 2.80
Schweden 2.13 Neuseeland 3.04
Dänemark 2.17 Japan 3.04
Belgien 2.25 Frankreich 3.26
Finnland 2.29 Großbritannien 3.33
Deutschland 2.32 Österreich 3.58
Niederlande 2.59 Kanada 4.02
Schweiz 2.71 Portugal 4.05
Australien 2.79 USA 4.16
4.2 Absolute Konzentrationsmessung
• Alle bisherigen Maße betrachteten die relative Konzentration: Sowohl die uj als auch
die vj waren Anteile.
• Zu unterscheiden davon ist die absolute Konzentration, die die absolute Zahl der
Merkmalsträger miteinbezieht.
• Beispiel Duopolsituation (Markt mit nur zwei Anbietern): Haben beide denselben
Umsatz, so ist die relative Konzentration 0, es liegt aber eine sehr starke absolute
Konzentration vor.

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 71
• Es ist jeweils inhaltlich zu entscheiden, welche der beiden Arten von Konzentration
von Interesse ist.
• Relative Konzentrationsmessung ist heranzuziehen, wenn
– die Merkmalssumme auf sehr viele Einheiten verteilt wird, oder
– bei der Frage: Herrscht im Markt ein Übergewicht?
• Absolute Konzentrationsmaße werden v.a. dann verwendet, wenn die Merkmalsumme
nur auf wenige Einheiten aufgeteilt wird.
Konzentrationsrate Naheliegende Idee zur Messung absoluter Konzentration: Betrachte
den Anteil, der auf die größten g Einheiten entfällt (nicht relativ, sondern absolut
gemeint).
Definition: Sei 0 ≤ x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) die geordnete Urliste eines verhältnisskalierten
Merkmals mit � n
i=1 xi > 0. Mit
heißt
Konzentrationsrate vom Grad g.
• Bestandteile der Formel:
n�
p(i) := x(i)
CRg :=
j=1
n�
xj
i=n−g+1
p(i)
– p(i) Anteil der i-ten Beobachtung am Gesamten.
– Summiert werden die Indizes
n − g + 1, n − g + 2, . . . , n,
also in der Tat über die g Einheiten mit den größten Ausprägungen.
• Maximale Konzentration:
(die größte Beobachtung hat alles).
CR1 = 1
• Minimale Konzentration: x(1) = x(2) = . . . = x(n) =: x . Dann gilt
p(i) = x(i)
n�
= x
n · x
und damit
CRg =
i=1
xi
n�
i=n−g+1
• Wahl von g? Typischerweise ” klein“: 2 oder 3
p(i) = g
n

72 4.2. Absolute Konzentrationsmessung
Beispiel: Zweitstimmenanteile politischer Parteien bei Bundestagswahlen 1949–2005 (Waagschal,
1999, S.142)
1949 1953 1965 1972 1983 1994 2002 2005
CDU/CSU 31,0% 45,2% 47,6% 44,9% 48,8% 41,5% 38,5% 35,2%
SPD 29,2% 28,8% 39,3% 45,8% 38,2% 36,4% 38,5% 34,2%
FDP 11,9% 9,5% 9,5% 8,4% 7,0% 6,9% 7,4% 9,8%
Grüne - - - - 5,6% 7,3% 8,6% 8,1%
Sonstige 27,9% 16,5% 3,6% 0,9% 0,4% 7,9% 7,0% 12,7%
Es ergeben sich folgende Konzentrationsraten für das Parteiensystem der Bundesrepublik
Deutschland für die untersuchten Jahre:
CR2(1949) = (31,0+29,2)/100 = 0,602
CR2(1953) = (45,2+28,8)/100 = 0,740
CR2(1965) = (47,6+39,3)/100 = 0,869
CR2(1972) = 0,907
CR2(1983) = 0,870
CR2(1994) = 0,779
CR2(2002) = 0,770
CR2(2005) = 0,694
CR3(1949) = (31,0+29,2+11,9)/100 = 0,721
CR3(1953) = (45,2+28,8+9,5)/100 = 0,835
CR3(1965) = (47,6+39,3+9,5)/100 = 0,964
CR3(1972) = 0,991
CR3(1983) = 0,940
CR3(1994) = 0,852
CR3(2002) = 0,856
CR3(2005) = 0,792
Herfindahl-Index: Die Konzentrationsrate berücksichtigt nur die g größten Werte. Will
man dies nicht, so empfiehlt sich der sogenannte Herfindahl-Index.
Definition: Sei 0 ≤ x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) die geordnete Urliste eines verhältnisskalierten
Merkmals mit � n
i=1 xi > 0. Mit
heißt
n�
p(i) := x(i)
H :=
Herfindahl-Index. Die Größe 1 − H wird auch als Rae-Index bezeichnet.
j=1
n�
i=1
xj
p 2 (i)

Kapitel 4. Konzentrationsmaße 73
Eigenschaften :
• H liegt zwischen 1
n
und 1.
• Minimale Konzentration ergibt sich bei p(i) = 1
n :
H =
n�
i=1
� �2 1
n
= n · 1 1
=
n2 n
• Maximale Konzentration ergibt sich bei p(n) = 1 und p(i) = 0 für alle restlichen i.
H = 1.
• In der Tat wird die absolute Konzentration gemessen: Hat man q Einheiten, die
jeweils den gleichen Anteil ausmachen, so gilt:
q = 1 H = 1 (maximale Konzentration)
q = 2 H = ( 1
2 )2 + ( 1
2 )2 = 1
2
q = 3 H = ( 1
3 )2 + ( 1
3 )2 + ( 1
3 )2 = 1
3
während für den Gini-Koeffizienten immer G = 0 gilt.
Beispiel: Herfindahl- und Rae-Index des deutschen Parteienwesens (2005).
p(i)
p 2 (i)
CDU/CSU 35,2% 0.1239
SPD 34,2% 0.1169
FDP 9.8% 0.9604
Grüne 8.1% 0.6561
Linkspartei 8.7% 0.7569
Sonstige (als eine Partei) 4,0% 0.1600
H = 0.2662 ⇐⇒ RAE = 0.7398
Beispiel: Durchschnittliche Fraktionalisierung von Parteiensystemen (Waagschal, 1999,
S. 145).
Land durchschnittlicher
Rae-Index 1945-93
USA 0.53
Österreich 0.60
Großbritannien 0.62
Deutschland 0.64
Schweiz 0.71
Italien 0.75
Frankreich 0.79
Niederlande 0.79
Finnland 0.82