Formel von Euler-Moivre

Formel von Euler-Moivre
Die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument lässt sich mit Hilfe der
trigonometrischen Funktionen ausdrücken:
cos t + i sin t = exp(it)
für t ∈ R. Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und
Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1 (| exp(it)| = 1).
Formel von Euler-Moivre 1-1

Formel von Euler-Moivre
Die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument lässt sich mit Hilfe der
trigonometrischen Funktionen ausdrücken:
cos t + i sin t = exp(it)
für t ∈ R. Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und
Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1 (| exp(it)| = 1).
Invertiert man die obige Formel, so folgt
cos t = Re e it = 1 � it −it
e + e
2
�
sin t = Im e it = 1 � it −it
e − e
2i
� .
Formel von Euler-Moivre 1-2

Formel von Euler-Moivre
Die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument lässt sich mit Hilfe der
trigonometrischen Funktionen ausdrücken:
cos t + i sin t = exp(it)
für t ∈ R. Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und
Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1 (| exp(it)| = 1).
Invertiert man die obige Formel, so folgt
cos t = Re e it = 1 � it −it
e + e
2
�
sin t = Im e it = 1 � it −it
e − e
2i
� .
Die Identitäten zwischen exp, cos und sin gehen auf Euler and Moivre
zurück. Sie bilden die Grundlage für die geometrische Interpretation
komplexer Zahlen und spielen in der Fourier-Analysis eine wichtige Rolle.
Formel von Euler-Moivre 1-3

Beispiel:
Berechnung von Sinus und Kosinus für
π/2 k , k = 1, 2, . . .
Formel von Euler-Moivre 2-1

Beispiel:
Berechnung von Sinus und Kosinus für
definiere
π/2 k , k = 1, 2, . . .
xk = Re exp(iπ/2 k ) = cos(π/2
� �� �
zk
k )
Formel von Euler-Moivre 2-2

Beispiel:
Berechnung von Sinus und Kosinus für
definiere
k = 1, 2:
π/2 k , k = 1, 2, . . .
xk = Re exp(iπ/2 k ) = cos(π/2
� �� �
zk
k )
x1 = cos(π/2) = 0, x2 = cos(π/4) =
√ 2
2
Formel von Euler-Moivre 2-3

�ÔÐ��Ñ�ÒØ×
��� ���
Þ
Þ
Ü Ü
Þ
Formel von Euler-Moivre 2-4

z3 auf der Diagonale des Parallelogramms, normiert �
z3 = z2 + 1
|z2 + 1|
Formel von Euler-Moivre 2-5

z3 auf der Diagonale des Parallelogramms, normiert �
z3 = z2 + 1
|z2 + 1|
Re(z2 + 1) = x2 + 1, Im(z2 + 1) = Im z2 =
x3 = Re z3 =
x2 + 1
�
(x2 + 1) 2 + 1 − x 2 2
�
1 − x 2 2 =⇒
=
√ x2 + 1
√ 2
Formel von Euler-Moivre 2-6

z3 auf der Diagonale des Parallelogramms, normiert �
z3 = z2 + 1
|z2 + 1|
Re(z2 + 1) = x2 + 1, Im(z2 + 1) = Im z2 =
x3 = Re z3 =
x2 + 1
�
(x2 + 1) 2 + 1 − x 2 2
Einsetzen von x2 = Re z2 = √ 2/2 �
�√
2 + 2
x3 =
2
�
1 − x 2 2 =⇒
=
√ x2 + 1
√ 2
Formel von Euler-Moivre 2-7

allgemein
xk+1 = 1 �
2xk + 2
2
Formel von Euler-Moivre 2-8

allgemein
�
xk+1 = 1 �
2xk + 2
2
��√ 2 + 2 + 2
cos(π/16) = x4 =
2
Formel von Euler-Moivre 2-9

allgemein
�
xk+1 = 1 �
2xk + 2
2
��√ 2 + 2 + 2
cos(π/16) = x4 =
2
drücke andere trigonometrische Funktionen algebraisch durch die
Kosinus-Funktion aus, z.B.
tan = sin
cos =
√ 1 − cos 2
cos
Formel von Euler-Moivre 2-10