Hertz'scher Dipol

Elektrische Schwingungen und Wellen
1. Wechselströme
2. Elektrischer Schwingkreis
i. Freie Schwingung
ii. Erzwungene Schwingung
iii. Tesla Transformator
3. Elektromagnetische Wellen
i. Wellen
ii. Elektromagnetische Wellen
iii. Hertzscher Dipol
iv. Wellenausbreitung im Vakuum
v. Wellen auf Leitungen
Hertz‘scher Dipol
C und L werden immer kleiner gemacht, damit erhöht sich die Resonanzfrequenz!
Extremfall: Ein Stück Leiter mit Länge l, wie groß wird die Resonanzfrequenz?
Leiter: L = l L‘ Induktivität = Länge x Induktivität/Länge
C = l ε C‘ Kapazität = Länge x Dielektrizitätskonstante der Umgebung x
Kapazität/Länge
1
ω =
res
1
ε
l r
1
L'C'
ω res steigt mit Verkürzung des Dipols und hängt von Umgebung ab
1

Feldverteilung
L und C: Felder konzentriert auf Inneres der Spule bzw Kondensator
außerhalb der Elemente Felder ~ 0
Hetzscher Dipol: Felder reichen weit nach außen
Umgebung spürt Felder
Feldverteilung
eines Dipols
Die in der ersten
Schwingungsperiode
erzeugten E- und B-Felder
breiten sich im Raum aus,
dann wechseln die
Vorzeichen und die äußeren
Feldbereiche schnüren und
koppeln sich ab
(Seifenblase!)
Energie wird abgestrahlt:
Schwingkreis wird gedämpft
2

Abstrahlung Hertz‘scher Dipol
Felddarstellung: elektrisches Feld
Abstrahlung Hertz‘scher Dipol
Poynting Darstellung: Punktdichte prop zu Energie
3

Erzwungene Schwingung
Ohmsche Verluste in Leiter und angestrahlte Energie dämpfen Schwingkreis
Aufrechterhaltung durch Wechselspannugsquelle
Resonanz
Damit vom Sender effektiv Energie abgestrahlt werden kann, muss er
in Resonanz mit dem Dipol sein.
Resonanzbedingung: Wellenlänge muss gleich 2 l sein
Stationäre Strom und Spannungsverteilung
Randbedingung: offenes Ende Strom muss null werden
maximale Spannung zwischen Enden
Experiment: Wellenlänge λ = 2,4 m ⇒ Dipollänge =1,2m
4

Elektrischer
Sender
Nachweis der Verteilung
Schleife mit Glimmlampe
Nachweis von B bzw I
Entladungslampe
Nachweis von E bzw U
Spannung auf Leiter hängt vom Ort ab!!! Stehende Welle
≈
Hertzscher Dipol
Nachweis
von Strom
Sendedipol
Erzwungene Schwingung Empfangsdipol
Sendedipol f = 125MHz
λ = c/f = 2.4m Wellenlänge
Optimaler Empfang, wenn
Empfänger und Sender in
Resonanz
1
ω =
res
1
ε
l r
1
L'C'
Abstimmung über Länge
Empfänger = Sender
oder
Dielektrizitätskonstante
5

Hertzscher Dipol in Wasser
Optimaler Empfang, wenn Empfänger und Sender in Resonanz
1
ω =
res
1
ε
l r
1
L'C'
Abstimmung über Länge: Optimum
Länge Empfänger = Länge Sender
Aber Länge hängt auch von Eigenschaften des umgebenden Medium
ab:
Wasser: ε r = 81
Verhältnis Dipollänge Luft : Dipollänge Wasser = 1 : √ε r = 1 : 9
Abstrahlcharakteristik eines Dipols
In welche Richtung strahlt ein Dipol ab?
Die maximale Abstrahlung erfolgt normal zur Dipolachse
Keine Abstrahlung in Richtung der Dipolachse
P(θ) prop sin(θ) 2
θ
6

Polarisation
Polarisation gibt die Richtung des elektrischen Feldes an
Ausbreitungsrichtung
Dipol: E parallel zu Stabachse und daher normal auf Ausbreitungsrichtung
Nachweis: Empfangsdipol nur empfangsfähig, wenn Stabachse
parallel zu Polarisationsrichtung, d.h. Richtung des E Feldes
Hertzscher Dipol mikroskopisch
+ + +
Ortsfeste positive Kerne
Frei bewegliche Elektronen
Neutrales Metall:
Ladungsschwerpunkte gleich
Zeitabhängiges Dipolmoment
p
r
Schwerpunkt +q
Auslenkung d
Schwerpunkt -q
Wechselfeld ( E 0 sin(ωt) ) angelegt:
Elektronen schwingen relativ zu Kernen
Ladungsschwerpunkte verschoben
Beschreibung mit Dipolmoment p = q d 0
r
( ) ( ) z e t qd t d q t = = 0 sinω
Wie groß ist max. Auslenkung d0 ?
Weg nach viertel Periode T: d = v T/4 v Driftgeschwindigkeit > d0 r
7

Theorie des Hertzschen Dipols
Allgemein: zeitabhängige Strom- und Ladungsverteilung
Berechnung von Potenzial bzw. Vektorpotenzial als Funktion
von Ort und Zeit, B und E daraus berechnen
r 12 P
r 2 r1
0
( r t )
Leiter mit Ladungsdichte ρ
Wechselstrom Oszillationen Stromdichte j = ρ v
Stromdichte verknüpft mit Vektorpotenzial A
Vektorpotenzial in P gegeben
j
( )
( r2
)
A r1
∫ dV2
r
∝
r
r
r
r
Stationäre Stromdichte
Vektorpot zum Zeitpunkt t wird von Stromdichte zu Zeitpunkt t-∆t bestimmt
∆t = Abstand/ Lichtgeschwindigkeit = r12 /c = Retardierung
r
r
r
r j
A ∫
( r , t − r / c)
2 12
1,
∝
dV2
r12
12
Zeitliche Änderung des Stroms in r 2
wird in r 1 nur verzögert wahrgenommen
EM Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus
Theorie des Hertzschen Dipols
r
r
r
r j
( )
( r2,
t − r12
/ c)
A r1,
t ∝ ∫
dV2
r12
Ladungen schwingen mit Frequenz ω
mit j = vρ
∫ ρdV
= q
dp
sowie p()
t = p0
sinωt
und = qv
dt
r r cos
( )
( ωt
− kr ) ω
⇒ A r1,
t ∝ qd0ω
k =
r
c
Aus Vektorpot folgen zwei Terme:
Zeitlich veränderliches Vektorpot,
das sich mit Lichtgeschwindigkeit
ausbreitet
Nahfeld von E und B: r12 ≈ Wellenlänge
Fernfeld von E und B: r12 >> Wellenlänge
Woher kommen die?
∂E
rotB = µ 0 j + µ 0ε
0
∂t
Nahfeld: Magnetfeld durch Strom
im Dipol erzeugt
Fernfeld: Magnetfeld durch
Verschiebungsstrom
E im Nahfeld durch Ladungsverteilung (Quellenfeld)
E im Fernfeld durch Induktion dB/dt (Wirbelfeld)
8

Ergebnisse Fernfeld
1. E und B in Phase
2. B konzentrische Kreise um Dipolachse, E immer senkrecht auf B
und senkrecht auf Abstandsvektor zum Mittelpunkt
3. E = c B (EM Wellen)
4. In großem Abstand B und E näherungsweise linear polarisierte
ebene Wellen, Ebene senkrecht durch Zentrum
5. Abgestrahltes Feld proportional zu Dipolbeschleunigung, Amplitude
nimmt mit 1/r ab (Kugelwelle)
2
1 ∂ p&
& ( r , t )
E ∝ B ∝ p(
r , t ) =
2
r ∂t
r
2
1 p0ω
E =
sin(
θ ) sin(
ωt
− kr )
2
4πε
c r
0
Hertzscher Dipol Abstrahleigenschaften
Energiestromdichte Poynting Vektor
r 1 r r
1,0
S = E × B
µ
0,8
0
Betrag der mittleren Dichte
0,6
r
2
2 4 sin θ
S ∝ p0
ω 2
r
Gesamte abgestrahlte Leistung
2
0
4
p ω
P =
12πε
c
0
3
0,4
0,2
300
0,0
270
0,2
0,4
0,6 240
0,8
1,0
210
Folgerungen:
1) Abstrahlungscharakteristik eines Dipols: ∝ sin2θ Keine Abstrahlung in Richtung des Dipols
2) Abstandsgesetz: S ∝1/r2 (Energieerhaltung)
3) Frequenzabhängigkeit: ∝ ω4 , 1/λ4 Beispiel: Himmelsblau ("Rayleigh –Streuung")
330
0
180
θ
30
S r
150
60
120
90
9

Abstrahlung einer beschleunigten Ladung
Theorie:
Jede beschleunigte Ladung strahlt wie ein Dipol eine
elektromagnetische Welle ab.
Gesamte abgestrahlte Leistung proportional zum Quadrat der
Beschleunigung
2
2e
⎛ dv ⎞
P = 3 ⎜ ⎟
3εc
⎝ dt ⎠
Harmonisch bewegte Ladung: Definition eines „Dipolmoments“
p(t) = p 0 sin(ωt) = e x 0 sin(w t)
Beschleunigung = d 2 p(t)/dt 2
2 4
2p0ω
P = 3
3εc
Abstrahlcharakteristik wie bei Dipolstrahlung
2
Abstrahlung einer beschleunigten Ladung
Jede beschleunigte Ladung strahlt Energie ab
Was heisst beschleunigt?
Beispiel: Lineare Teilchenbeschleuniger (LINAC Stanford)
Elektron gewinnt in einem Meter eine kinetische Energie von 10MeV
Abgestrahlte Leistung P ~ 10- 40 (10 MV) 2 = 10 -26 W so gut wie nichts
verlustfrei
Damit Leistung abgestrahlt wird, müsste Energie um 10 14 MeV pro
Meter erhöht werden
Makroskopisch beschleunigte Teilchen strahlen offensichtlich nicht
Welche dann?
10

Röntgenröhre
Elektronen in E-Feld beschleunigt
Auftreffen an Anode:
Kollision mit Atomen
Abbremsung (negative Beschleunigung)
Emission von EM Welle
Elektronen stoßen nicht mit Atomen
zusammen, sondern werden abgelenkt
Synchrotron
Synchrotrons: Elektronen laufen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit auf
Kreisbahn
Um Elektronen auf Kreisbahn zu halten ist Zentripetalbeschleunigung
erforderlich
11

Synchrotronstrahlung
Elektronen auf Kreisbahn
Geschwindigkeit konstant
aber Richtung wird geändert
(Zentripetalbeschleunigung)
Durch relativistische Effekte
Abstrahlung in Bündel in Richtung
der Geschwindigkeit
Elektromagnetisches
Spektrum
Transversale EM Wellen
Wellenlänge λ
Frequenz f
Lichtgeschwindigkeit c
(2.998 10 8 m/s)
c
λ =
f
Vakuum
12

Mikrowellen
Mikrowellen sind elektromagnetische Wellen
Wellenlänge im cm bzw. mm Bereich
Eignen sich gut zur Demonstration der Welleneigenschaften von
elektromagnetischer Strahlung
Mikrowellenempfänger
Dipol
(mit Lautsprecher verbunden)
Absorption von Mikrowellen
Messung der Transmission von Mikrowellen:
Isolatoren: Kunststoff, Papier
Metallen
Wasser Eis
Mikrowellensender
Dipol
Mikrowellen: Elektromagnetische Strahlung
Dipole werden ausgerichtet
Energieaufnahme: Resonanz
Eis: Dipole fix
keine Resonanz
10 GHz
13

Sender
Reflexion von Mikrowellen
Mikrowellen werden reflektiert
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
E Feld
Polarisation
Empfänger
Empfangsdipol orthogonal zu E Feld:
kein Empfang
Schlitze parallel zu E Feld:
kein Empfang
(vgl. Seilwelle)
Mikrowellen linear polarisierte EM Wellen
Schlitze normal zu E Feld
Empfang
(Seilwelle würde nicht druchgehen)
14

Brechung
Bei Übergang von Medien, ändert EM Welle ihre Richtung
Herleitung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen
Wellenoptik mit Mikrowellen
Mehrere Spalte: Intensität in
Schattenraum
und starke räumliche Modulation
des Intensitätsverlaufs:
Interferenz
Mikrowellen zeigen Welleneigenschaften: Interferenz und Beugung
15

Sender
Stehende Wellen
Empfänger
Welle wird an Metall reflektiert
Phasengeschwindigkeit Metall < Luft π Phasensprung:
Knoten an Metall
Abstand zwischen zwei Maxima λ/2 (wg. Leistung ∝ E 2 )
f = 10GHz ⇒ λ= 3cm
Welleneigenschaften
1. Absorption: Welle wird beim Durchgang durch Medium
abgeschwächt, Energie wird in Medium deponiert (Wärme)
Absorption hängt von Material, Aggregatzustand, Frequenz, …
ab
2. Reflexion: Welle dringt nicht in Medium ein, Energie wird in
bestimmten Winkel reflektiert
3. Polarisation: EM Wellen sind polarisiert, Nachweis mit
Orientierung des Dipols, bzw. Polarisator der nur eine
Polarisationsrichtung durchlässt
4. Beugung: EM Welle gelangt in den Schattenraum von
Hindernissen (die klein bzw. vergleichbar groß wie Wellenlänge
sind)
5. Interferenz: EM Wellen überlagern sich, es kommt lokal zu
Überhöhungen bzw. Auslöschungen (stehende Welle, Gitter..)
6. Brechung: EM weichen von geradliniger Ausbreitung ab
λ
16

Wellenleiter
Man kann Wellen auch in Hohlleitern (z.B. in Rohren) transportieren:
Da das Material leitend ist, verschwindet die elektrische Feldstärke an den
Rändern. Die Verwendung von Hohlleitern zum Energietransport ist der von
normalen Drähten bei hohen Frequenzen deutlich überlegen: Es gibt keine
Verluste durch den ohmschen Widerstand und durch die Abstrahlung von
elektromagnetischen Wellen!
Rechteckförmiger Wellenleiter: Hohlleiter
E Feld
Hohlleiter eignen sich nur
für hohe Frequenzen > f grenz
f grenz = c/ 2 a
H- Feld
17

Kurzwellenübertragung
Ionosphäre und Erde bilden Wellenleiter
Kurzwellen können empfangen werden, wo sie durch geometrische
Ausbreitung nicht erwartet werden können.
Glasfaser
18

Drahtwellen
Stehende Wellen auf offener Leitung
Jede am Ende offene Leitung (Leerlauf) besitzt dort ein
Spannungsmaximum und ein Stromminimum.
19

Kurzgeschlossene Leitung
Jede am Ende kurzgeschlossene Leitung besitzt dort ein
Strommaximum und ein Spannungsminimum.
Lecherleitung
Entlang von parallelen Drähten (Doppelleitung, Flachbandkabel) kann
man elektromagnetische Wellen transportieren: Wenn der Drahtabstand
d klein ist gegenüber der Wellenlänge λ interferieren die von beiden
Leitern erzeugten elektromagnetischen Wellen destruktiv, so dass auch
hier die Abstrahlungsverluste klein sind.
Nachweis Spannung mit Glimmlampe
Nachweis Strom Spule
Die Ströme auf den beiden Leitern
sind um 180° phasenverschoben,
daher überlagern sich die
abgestrahlten elektromagnetischen
Wellen destruktiv.
Ist das zweite Ende offen, gibt es
dort Knoten in der Stromverteilung
und Bäuche in der
Spannungsverteilung.
20

Koaxialkabel
Hier dient der äußere (geerdete) Mantel als Abschirmung. Die
elektromagnetischen Wellen können nicht nach außen entweichen. Der
Innenraum ist meist mit einem Dielektrikum ausgefüllt.
21