Warum sind drei Elefanten genauso viel wie drei Ameisen? - ZTR
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
<strong>Warum</strong> <strong>sind</strong> <strong>drei</strong> <strong>Elefanten</strong><br />
<strong>genauso</strong> <strong>viel</strong><br />
<strong>wie</strong> <strong>drei</strong> <strong>Ameisen</strong>?<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
zur Prävention von Rechenschwäche<br />
Vortrag für Kindergärtnerinnen und Eltern<br />
September 2006<br />
- Folien-Script -<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Zentrum zur Therapie der Rechenschwäche<br />
www.ztr-rechenschwaeche.de<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
<strong>Warum</strong> <strong>sind</strong> <strong>drei</strong> <strong>Elefanten</strong> <strong>genauso</strong> <strong>viel</strong><br />
<strong>wie</strong> <strong>drei</strong> <strong>Ameisen</strong>?<br />
Kinder sehen die Welt oft anders:<br />
• <strong>Elefanten</strong> und <strong>Ameisen</strong> sehen<br />
unterschiedlich aus.<br />
• Die <strong>Elefanten</strong> <strong>sind</strong> <strong>viel</strong> größer als die<br />
<strong>Ameisen</strong>. Die <strong>Ameisen</strong> <strong>sind</strong> so winzig, dass<br />
die <strong>Elefanten</strong> sie nicht sehen.<br />
• Die <strong>Elefanten</strong> <strong>sind</strong> <strong>viel</strong> stärker als die<br />
<strong>Ameisen</strong>. Vielleicht haben die <strong>Ameisen</strong><br />
Angst vor den <strong>Elefanten</strong>?<br />
• <strong>Ameisen</strong> und <strong>Elefanten</strong> fressen nicht das<br />
Gleiche.<br />
• <strong>Ameisen</strong> leben auch bei uns; <strong>Elefanten</strong><br />
nicht.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
2
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Qualitative und quantitative Beziehungen<br />
• qualitativ<br />
<strong>Elefanten</strong> sehen anders aus als <strong>Ameisen</strong>.<br />
• quantitativ<br />
Es <strong>sind</strong> jeweils 3 Tiere.<br />
Es <strong>sind</strong> gleich <strong>viel</strong>e <strong>Elefanten</strong> und <strong>Ameisen</strong>.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
3
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• Anzahleigenschaft von Mengen erfassen<br />
• Zahlnamen und Mengenbedeutung<br />
zuordnen<br />
• Anzahlen vergleichen:<br />
� gleich <strong>viel</strong>e<br />
� mehr oder weniger<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Quantitative Aussagen erfordern<br />
Sachkenntnisse über Mengen!<br />
4
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• homogene Repräsentationen<br />
• inhomogene Repräsentationen<br />
� ��<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Alles kann 3 sein!<br />
Aussehen, Farbe, Form, Material habe dafür<br />
keine Bedeutung.<br />
5
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Es bleiben immer 3!<br />
Die <strong>Elefanten</strong> können auch durcheinander<br />
laufen.<br />
Reihe 1<br />
Reihe 2<br />
6
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Anzahlen vergleichen<br />
• gleich<br />
• ungleich<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Reihe 1<br />
Reihe 2<br />
Reihe 1<br />
Reihe 2<br />
7
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• Zahlen <strong>sind</strong> keine realen Objekte.<br />
• Zahlen <strong>sind</strong> Ergebnisse unseres Denkens<br />
über die Dinge und deren<br />
Mächtigkeitseigenschaften.<br />
• Zahlwissen ist nicht genetisch angelegt,<br />
sondern Resultat von Lernprozessen.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Die Aussage<br />
„Drei <strong>Elefanten</strong> <strong>sind</strong> <strong>genauso</strong> <strong>viel</strong>e <strong>wie</strong><br />
<strong>drei</strong> <strong>Ameisen</strong>“<br />
setzt Erkenntnisse voraus!<br />
… 3<br />
8
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Mathematische Lernschritte<br />
Zuordnung<br />
Zahlname vier fünf<br />
Zahlsymbol 4 5<br />
konkrete Anzahl ■■■■ ■■■■■<br />
Zuordnung mit Mächtigkeitsvergleich<br />
Zahlname vier fünf<br />
Zahlsymbol 4 5<br />
konkrete Anzahl ■■■■ ■■■■■<br />
■weniger ■mehr<br />
abstraktes Zahlwissen<br />
Zahlname vier fünf<br />
Zahlsymbol 4 5<br />
abstrakte Anzahl 4 = 4 x 1 5 = 5 x 1<br />
abstrakte Relation 4 = 5 – 1 5 = 4 + 1<br />
logische Konsequenz 5 – 4 = 1<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
9
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Was ist Rechenschwäche?<br />
• Rechenschwäche ist ein spezifisches<br />
Wissensdefizit im Bereich der elementaren<br />
arithmetischen Einsichten (kardinales Zahlund<br />
Operationsverständnis).<br />
• Rechenschwäche ist keine Folge<br />
mangelnder Intelligenz, Unwilligkeit oder<br />
mangelnder Konzentration.<br />
• Die elementaren Wissensmängel<br />
verhindern das Verständnis des<br />
aufbauenden mathematischen Lernstoffes.<br />
• An Stelle des Rechnens treten<br />
Ersatzformen, die als typische Phänomene<br />
(zählen, auswendig lernen, begriffslose<br />
Schemata) festgestellt werden können.<br />
• Es droht die Entwicklung sekundärer,<br />
psychischer Symptome so<strong>wie</strong> negativer,<br />
sozial-integrativer Auswirkungen.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Prävalenz von Rechenschwäche<br />
Ergebnisse einer repräsentativen Studie mit<br />
2.157 Kindern aus 2. und 3. Klassen in<br />
Nordrhein-Westfalen (Veröffentlichung: 2005)<br />
mangelnde Voraussetzungen für weiteres<br />
mathematisches Lernen<br />
• Mitte Klasse 2 bei 22% der Kinder<br />
„Das bedeutet, dass jedes fünfte Kind nicht<br />
über die Lernvoraussetzungen verfügt, die zum<br />
Erlernen des Einmaleins benötigt werden,<br />
wenn in der Schule entsprechende Übungen<br />
beginnen.“ (Jansen 2005,117)<br />
• Mitte Klasse 3 bei 40% der Kinder<br />
„Das heißt, 4 von 10 Kindern fehlen die<br />
Lernvoraussetzungen für das Rechnen im<br />
Tausenderraum, wenn dies in der Schule<br />
ansteht.“ (Jansen 2005,118)<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Rechenschwächen entstehen aus<br />
Verständnisdefiziten der<br />
Elementarmathematik.<br />
Rechnen beginnt mit dem Verständnis<br />
elementarer Begriffe im Umgang mit<br />
Mengen.<br />
Das Verständnis elementarer Begriffe<br />
entsteht aus dem Handeln mit Mengen und<br />
der Reflektion dieser Handlungen.<br />
Mengenhandlungen können spielerisch<br />
stattfinden. Das Nachdenken über Mengen<br />
gehört zur Entwicklung von Spielstrategien.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
12
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Handlungen mit Mengen<br />
• Bilden von Mengen<br />
- auswählen<br />
• Auffassen von Mengen<br />
- erfassen und benennen<br />
• Zerlegen von Mengen<br />
- sortieren und aufteilen<br />
• Vereinigen von Mengen<br />
- zusammenfassen<br />
• Vergleichen von Mengen<br />
- Beziehungen zwischen Anzahlen erfassen<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
13
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Stück-für-Stück-Zuordnung<br />
falsch<br />
richtig<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
14
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Stück-für-Stück-Zuordnung<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Stück-für-Stück-Zuordnung<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Eins-zu-Eins-Zuordnung als Grundlage des<br />
Zählens<br />
1 1 1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
17
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Wissen zum korrekten Zahlgebrauch<br />
• Prinzip der stabilen Ordnung<br />
Die Reihe der Zahlwörter liegt in einer<br />
festgelegten und jederzeit <strong>wie</strong>derholbaren<br />
Ordnung vor.<br />
• Prinzip der eindeutigen Zuordnung<br />
Jedem Element der zu zählenden Menge<br />
wird genau ein Zahlwort zugeordnet.<br />
• Prinzip der Anzahlbestimmung<br />
Das letzte Zahlwort beim Auszählen einer<br />
Menge gibt die Mächtigkeit dieser Menge<br />
an.<br />
• Prinzip der Abstraktion von qualitativen<br />
Eigenschaften<br />
Es können alle Objekte gezählt werden,<br />
solange diese unterscheidbar <strong>sind</strong>.<br />
• Prinzip der Abstraktion von räumlichen<br />
Anordnungen<br />
Die Anzahleigenschaft einer Menge ändert<br />
sich nicht, wenn deren räumliche<br />
Anordnung geändert wird.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Ordinaler Zahlaspekt<br />
• Position von links / von vorn<br />
• Position von rechts / von hinten<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
3. von links/von vorn<br />
2. von rechts/von hinten<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• zweibeinig, vierbeinig<br />
• einstöckig, zweistöckig, siebenstöckig<br />
• Dreirad, Einrad, Zweirad<br />
• <strong>drei</strong>blättrig, vierblättrig<br />
• Dreieck, Viereck<br />
• Zwillinge, Drillinge<br />
• Elfmeter<br />
• Fünfer<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Zahlen in der Sprache<br />
Flexibler Umgang mit Zahlnamen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• Bilden von zwei gleichmächtigen, bereits<br />
bekannten Mengen<br />
• Erkennen von deren Gleichmächtigkeit<br />
• Benennen mit dem Zahlwort<br />
• Hinzufügen eines weiteren Elementes zu<br />
einer der beiden Mengen<br />
• Erkennen der Ungleichmächtigkeit<br />
• Erkennen der Notwendigkeit eines neuen<br />
Zahlwortes<br />
• Einführen des neuen Zahlwortes<br />
• Erfassen und Benennen des Unterschiedes<br />
beider Anzahlen<br />
Die neue Zahl muss durch den Vergleich<br />
der benannten Anzahl in Beziehung zu<br />
allen vorangehenden Zahlen gesetzt<br />
werden.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Entwicklung des kardinalen und des<br />
relationalen Zahlaspektes aus dem Vergleich<br />
21
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Mathematik lernen heißt<br />
• unterscheiden lernen<br />
genaues Betrachten, Erfassen von<br />
Eigenschaften, Erkennen von<br />
Gemeinsamkeiten und Unterschieden,<br />
Verallgemeinern und Schlussfolgern<br />
• beschreiben lernen<br />
Zuordnen von Eigenschaften und Begriffen,<br />
von Begriffen auf Eigenschaften schließen,<br />
Sprachinhalte/Bedeutungen erfassen<br />
• argumentieren lernen<br />
Wissen anwenden, Entscheidungen<br />
begründen, Beziehungen herstellen<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
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<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Lernschritte beim Umgang mit Mengen<br />
• Kind lernt, ein einzelnes Element aus der<br />
Gesamtheit der Menge abzugrenzen –<br />
differenzieren.<br />
• Kind erfasst das Element als Einheit, als<br />
Teil das Ganzen, das es unabhängig von<br />
seinen qualitativen Eigenschaften ist –<br />
abstrahieren.<br />
• Kind lernt, Zahlnamen für Klassen<br />
gleichmächtiger Mengen zu gebrauchen –<br />
klassifizieren, verallgemeinern.<br />
• Kind erfasst Mächtigkeitsunterschiede<br />
zwischen Mengen und kann diese als<br />
Anzahl benennen.<br />
• Kind erfasst Mengenbeziehungen als<br />
umkehrbare Relationen – schlussfolgern.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
23
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Lernziele beim Umgang mit Mengen<br />
• quantitative Situationen erfassen<br />
Tino hat 7 Kirschen, Robert hat 4 Kirschen<br />
gepflückt.<br />
Tino hat mehr Kirschen als Robert<br />
gepflückt.<br />
Tino hat 3 Kirschen mehr als Robert<br />
gepflückt. Robert hat 3 Kirschen weniger als<br />
Tino.<br />
7 Kirschen <strong>sind</strong> 3 Kirschen mehr als<br />
4 Kirschen.<br />
• quantitative Fragen lösen<br />
Was können die beiden machen, damit sie<br />
gleich <strong>viel</strong>e Kirschen haben?<br />
Robert kann sich noch 3 Kirschen pflücken,<br />
dann hat er ebenso <strong>viel</strong>e Kirschen <strong>wie</strong> Tino.<br />
oder<br />
Wenn Tino 3 Kirschen aufisst, haben beide<br />
gleich <strong>viel</strong>e Kirschen.<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
24
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
• Mengen bilden, auffassen, zerlegen,<br />
vereinigen, vergleichen<br />
auswählen, sortieren, aufräumen<br />
Merkmale raten, Oberbegriffe raten<br />
Spiele zum Erfassen von (strukturierten)<br />
Anzahlen<br />
Zuordnungsspiele (z. B. Anzahlmemory;<br />
mathe 2000; speed)<br />
Gruppenbildung / Zerlegungsspiele (Bälle in<br />
Netze verteilen, Kinder in Zimmern<br />
verstecken etc.)<br />
• Zahlverständnis<br />
Geschichten mit Zahlen<br />
Umgang mit Alter, Geschwisteranzahl,<br />
Hausnummer, Spielgeld, Uhren, Kalendern,<br />
Thermometer<br />
beim Planen von Festen und Bauprojekte<br />
in Zweierreihen aufstellen<br />
• Längen, Breiten, Höhen, Temperatur<br />
nach Größe sortieren, messen, zuordnen,<br />
bauen<br />
Umgang mit Messwerkzeugen (Messlatten,<br />
Waagen etc.)<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Mathematische Lernanlässe müssen<br />
spielerisch sein<br />
25
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
„Wann fängt die Mathematik an? Wenn<br />
ein Kind ein Dreieck von einem Quadrat,<br />
zwei von <strong>drei</strong>, <strong>drei</strong> von vier<br />
unterscheiden kann? Oder: wenn,<br />
während die Mutter geradeaus geht, das<br />
Kind um eine Buschanlage herumläuft,<br />
um am Ende die Mutter zu überraschen?<br />
Es hängt davon ab, <strong>wie</strong> bewusst es<br />
geschieht.“<br />
(Freudenthal 1981, 100)<br />
www.ztr-rechenschwaeche.de<br />
26
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Bauersfeld, Heinrich; O´Brien, Thomas: Mathe mit<br />
geschlossenen Augen. Zahlen und Formen erfühlen und<br />
erfassen. Eine Kartei. Mühlheim an der Ruhr, 2002<br />
Dahl, Kristin; Lepp, Mati: Wollen wir Mathe spielen?<br />
Hamburg 2000<br />
Müller, Gerhard N.; Wittmann, Erich Ch.: Das Kleine<br />
Zahlenbuch Band 1/2. Seelze-Velber 2002<br />
Müller, Gerhard N.; Wittmann, Erich Ch.: Spielen und<br />
Überlegen – Die Denkschule Band 1/2. Leipzig 1997<br />
Peucker, Sabine; Weißhaupt, Steffi: FEZ – Ein Programm zur<br />
Förderung mathematischen Vorwissens im<br />
Vorschulalter. In: Zeitschrift für Heilpädagogik, Heft 8,<br />
2005, S. 300-305<br />
Reggio Children (Hg.): Schuh und Meter. Wie Kinder im<br />
Kindergarten lernen. Die Kinder und das Maß. Weinheim<br />
2002<br />
Schassmann, Margret: Kinder brauchen Zahlen.<br />
Mathematisches Denken pflegen und entwickeln.<br />
Fachreferat, als pdf-Datei über<br />
http://rechenschwaeche.at/vertiefendes/gastschmassmann.htm<br />
Schinköthe, Horst (neu herausgegeben von Steeg, Friedrich<br />
H.): Mengen und Längen. Lehrbuch der elementaren<br />
Grundlagen mathematischen Denkens. Volxheim/Halle<br />
2000<br />
Spiegel H.; Selter, Christoph: Kinder & Mathematik. Was<br />
Erwachsene wissen sollten. Seelze-Velber 2003<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Empfohlene Literatur für die Kita-Arbeit<br />
27
<strong>ZTR</strong><br />
Potsdam<br />
Barth, K.: Früherkennung und Prävention schulischer<br />
Lernstörungen im Übergangsbereich Kindergarten –<br />
Grundschule. In: Lenart; Holzer; Schaupp (Hg.):<br />
Rechenschwäche – Rechenstörung – Dyskalkulie:<br />
Erkennung, Prävention, Förderung. Graz 2003, S. 52-67<br />
Freudenthal, H.: Kinder und Mathematik. In: Grundschule 13,<br />
1981, Heft 3, S. 100-102<br />
Fritz, A.; Ricken, G.; Schmidt, S. (Hg.): Rechenschwäche.<br />
Lernwege, Sch<strong>wie</strong>rigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie.<br />
Weinheim, Basel, Berlin 2003<br />
Gaidoschik, M.: Rechenschwäche – Dyskalkulie. Eine<br />
unterrichtspraktische Einführung für Lehrer und Eltern. Wien<br />
2002<br />
Gerster, H.D.: Sch<strong>wie</strong>rigkeiten bei der Entwicklung arithmetischer<br />
Konzepte im Zahlenraum bis 100. In: Fritz et al. (2003), S.<br />
201-221<br />
Gerster, H.D.: Helfen „basale Trainings“? Hilft die<br />
Neuropsychologie? In: Kopf und Zahl. Journal des Vereins<br />
für Lerntherapie und Dyskalkulie e.V., 4. Ausgabe, 2005, S.<br />
10-11<br />
Gerster, H.D.; Schultz, R.: Sch<strong>wie</strong>rigkeiten beim Erwerb<br />
mathematischer Konzepte im Anfangsunterricht. Bericht zum<br />
Forschungsprojekt Rechenschwäche – Erkennen, Beheben,<br />
Vorbeugen. Freiburg 1998, zu beziehen über www.phfreiburg.de<br />
Jansen, P.: Basiskurs Mathematik. Aktionsforschung zur<br />
Prävention und Überwindung von Rechenschwäche.<br />
Heinsberg 2005<br />
Stern. E.: Die Entwicklung des mathematischen Verständnisses<br />
im Kindesalter. Lengerich 1998<br />
Dr. Jörg Kwapis<br />
Frühzeitiger Umgang mit Mengen<br />
Verwendete und weiterführende Literatur<br />
28
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