Lösung Aufgabe 02/2: Zwischengitterplätze in kubischen Gittern fcc ...

Lösung Aufgabe 02/2: Zwischengitterplätze in kubischen Gittern
fcc-Gitter
P. Frübing, 30. 10. 08
Oktaedrisch koordinierte Zwischengitterplätze (ZGP) befinden sich in der Mitte der Kanten und
im Zentrum der Elementarzelle (EZ).
Damit gibt es 12 × 1
4 + 1 = 4 Oktaederlücken pro EZ.
Der maximal mögliche Radius r eines (kugelförmigen) Atoms auf einem ZGP in Einheiten des
Gitteratomradius R bei dichter Kugelpackung ist gegeben durch
R + 2r + R ≤ a; mit a = 4R
√ 2 ⇒ r
R ≤ √ 2 − 1 = 0.414
das heißt:
r < 0.414R: auf den Würfelkanten (bzw. auf einer 4-zähligen Achse durch das Zentrum der EZ)
ist noch “Luft”.
r > 0.414R: ein Atom auf einem ZGP deformiert (dehnt) das Wirtsgitter.
Tetraedrisch koordinierte Zwischengitterplätze (ZGP) befinden sich in den Zentren der 8 Würfeloktanden,
also an den Positionen (1/4, 1/4, 1/4) usw. Tetraederlücken werden aufgespannt durch
jeweils ein Eckatom und drei Atome in benachbarten Flächenzentren.
Damit gibt es 8 Oktaederlücken pro EZ.
Der maximal mögliche Radius r eines (kugelförmigen) Atoms auf einem ZGP in Einheiten des
Gitteratomradius R ist formal gegeben durch
R + 2r + 2r + R ≤ √ 3a; mit a = 4R
√ 2 ⇒ r
R ≤
√
3
√2 − 1
= 0.725
2
Allerdings sind bei diesem Radienverhältnis die Atome auf ZGP aus ihrer tetraedrischen Umgebung
heraus zueinander in Richtung der Würfeldiagonalen verschoben. Damit sie exakt in
tetraedrischer Umgebung bleiben, dürfen sie auf der Würfeldiagonalen das Eckatom höchstens
berühren, d. h.
R + r ≤ 1√
4R
3a; mit a = √2 ⇒
4
r
R ≤
√
3
√ − 1 = 0.225
2
1

cc-Gitter
Verzerrt-oktaedrisch koordinierte ZGP befinden sich in den Flächenzentren und in den Kantenmitten.
Es gibt also 6 × 1
1
2 + 12 × 4 = 6 verzerrte Oktaederlücken pro EZ.
Der maximal mögliche Radius r eines (kugelförmigen) Atoms auf einem ZGP in einer Kantenmitte
oder in einem Flächenzentrum in Einheiten des Gitteratomradius R ist gegeben durch
jedoch ist in jeweils senkrechter Richtung
R + 2r + R ≤ a; mit a = 4R
√ ⇒
3 r 2
≤ √ − 1 = 0.155
R 3
4r ≤ a; mit a = 4R
√ ⇒
3 r 1
≤ √ = 0.577
R 3
d. h. bei dichter Packung ist hier mehr “Luft”.
Obwohl die Volumenpackungsdichte des bcc-Gitters geringer ist als die des fcc-Gitters passen nur
relativ kleine Teilchen auf Zwischengitterplätze, weil der Zwischengitterplatz ungünstig verteilt
ist.
Verzerrt-tetraedrische ZGP befinden sich auf den Würfelflächen.
Es gibt 6 × 4 × 1
2 = 12 verzerrte Tetraederlücken pro EZ.
Verzerrte Tetraederlücken werden aufgespannt von jeweils zwei Eckatomen und zwei Atomen in
den Zentren benachbarter EZ. Das Zentrum der Tetraederlücke hat damit jeweils den Abstand
a/4 von der Würfelkante.
Der maximal mögliche Radius r eines (kugelförmigen) Atoms auf einem ZGP in Einheiten des
Gitteratomradius R ist gegeben durch
√
5
√ − 1 = 0.291
3
R + r ≤ 1
2
a√
4R
5; mit a = √3 ⇒
2
r
R ≤
Dabei ist 1
√
a
2 2 5 die halbe Diagonale einer halben Würfelfläche mit den Kanten a und a/2, in der
die Tetraederlücke (im Abstand a/4 von der Würfelkante a) liegt.
Abbildungen aus Lux-Steiner, Hohl, Aufgabensammlung zur Festkörperphysik, Berlin, Heidelberg (Springer) 1994, S. 18/19
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