WS08/09 Prof. Wittbold Nachklausur mit Lösung (ana3ws08n

Nun können wir das Wegintegral berechnen und es ergibt sich
∂G
1
F =
0
0
F (γ1(t)) ·
π
2
γ1(t) dt +
π
2
0
F (γ2(t)) ·
γ2(t) dt +
1
0
F (γ3(t)) ·
π
2
γ3(t) dt +
1
1
= t dt + (t + sin t + cos t + cos t sin t) dt + t − 1 −
0
0
0
π
dt
2
π 2
+ t −
0
π
− cos t − sin t cos t dt
2
1
= 2t − 1 − π
2
π 2
dt + 2t −
0
π
+ sin t dt = −
2 π
+ 1.
2
• Mit dem Satz von Stokes:
Berechne also das Oberflächenintegral
G rot F · η dσ:
Zunächst ist
⎛ ⎞
∂F2 ⎛ ⎞
− ∂z −1
⎜ ∂F3 ⎟
rot F = ∇ × F = ⎝ − ⎠ = ⎝−1⎠
.
−1
∂F3
∂y
∂F1
∂z ∂x
∂F2 ∂F1
∂x − ∂y
Parametrisiere das Flächenstück G = Φ(K) mittels
Dann ist
⎛ ⎞
r
Φ(r, ϕ) = ⎝ ϕ ⎠ , (r, ϕ) ∈ K = [0, 1] × [0,
sin(ϕ)
π
2 ].
η = ∂Φ
∂r
∂Φ
×
∂ϕ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0
⎝0⎠
× ⎝ 1 ⎠ =
0 cos ϕ
⎛ ⎞
0
⎝−
cos ϕ⎠
1
0
F (γ4(t)) ·
γ4(t) dt
und es folgt nach dem Satz von Stokes
F d(x, y, z) = rot F · η dσ = (rot F )(Φ(r, ϕ)) · η d(r, ϕ)
∂G
G
K
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 π −1 0
1 π
2
2
= ⎝−1⎠
· ⎝−
cos ϕ⎠
dϕ dr = cos ϕ − 1 dϕ dr = 1 −
0 0 −1 1
0 0
π
2 .