Funktionalanalysis I Lösungen der Hausaufgaben des 4 ...

Technische Universität Berlin SS 2004
Institut für Mathematik
Prof. Dr. A. Unterreiter, Dr. Frank Jochmann
Funktionalanalysis I
Lösungen der Hausaufgaben des 4. Übungsblattes
Aufgabe 5 i)→ii):
Sei (xnk )k∈IN
k→∞
TF mit xnk −→ x in X.
Für jedes ε > 0 gibt es dann ein k0 ∈ IN mit |xnk − x|X < ε,
d.h. xnk ∈ B(x, ε, | · |X) für alle k > k0.
ii)→i):
Definiere die nk rekursiv wie folgt: Wähle n1 ∈ IN mit xn1 ∈ B(x, 1, | · |X).
Sei nk bereits definiert.
Nach Vorauss. gibt es unendlich viele n ∈ IN mit xn ∈ B(x, 1/(k +1), |·|X) . Wähle nun nk+1 ∈ IN
mit nk+1 > nk und xnk+1 ∈ B(x, 1/(k + 1), | · |X).
Nach Konstruktion gilt somit nk+1 > nk und xnk ∈ B(x, 1/k, | · |X).
k→∞
−→ x in X.
Daher ist (xnk )k∈IN eine TF mit xnk
Aufgabe 6 a) fn : [0, 1] → IR, fn(x) = 1
n sin(nx) erfüllt |f ′ n (x)| = | cos(nx)| ≤ 1. Mit MWS folgt
somit
|f(x) − f(y)| ≤ |x − y| für alle n ∈ IN und x, y ∈ [0, 1].
Daraus folgt die gleichgradige Stetigkeit. Ausserdem
d.h. fn
b) Für xn
fnL ∞ ([0,1]) ≤ n −1 n→∞
−→ 0,
n→∞
−→ 0 bzgl. · L ∞ ([0,1]), was dann auch für jede Teilfolge gilt.
def
= π/n gilt |fn(xn) − fn(0)| = 2 für alle n ∈ IN, und xn
n→∞
−→ 0, woraus folgt, dass
(fn)n∈IN nicht gleichgradig stetig ist. Wäre (fnk )k∈IN eine gegen ein f ∈ C([0, 1]) bzgl. L ∞ -Norm,
d.h. gleichmässig konvergente Teilfolge, so müsste gelten
−1 = lim fnk (xnk ) = lim f(xnk ) = f(0),
k→∞ k→∞
d.h. f(0) = −1. Anderseits
f(0) = lim fnk (0) = 1,
k→∞
was nicht möglich ist.
b2) Wie in (a) folgt, dass (fn)n∈IN gleichgradig stetig ist. Allerdings
fnL ∞ ([0,1]) ≥ n − n −1 n→∞
−→ ∞,
weshalb es keine gleichmässig konvergente Teilfolge geben kann.

c) Da f0 ∈ C(IR, IR) gleichmässig stetig ist folgt, dass (fn)n∈IN gleichgradig stetig ist. Es gilt für
jede Teilfolge
aber
lim fnk (x) = lim
k→∞ k→∞ f0(x − nk) = 1 für alle x ∈ [0, ∞),
fnk − 1L ∞ ([0,∞)) ≥ 1 für alle k ∈ IN,
weshalb es keine bzgl. L ∞ ([0, ∞))-Norm, d.h. auf [0, ∞) gleichmässig konvergente Teilfolge geben
kann.