Blatt 12 - Institut für Mathematik - TU Berlin

Technische Universität Berlin Wintersemester 2009/2010
Institut für Mathematik
Prof. Dr. P. Wittbold
Dr. Frank Jochmann
http://www.math.tu-berlin.de/∼wittbold/
12. Übungsblatt zu Differentialgleichungen I
(Stabilität, ω-Limes Menge, Lyapunov-Funktion, Abgabe: bis Fr. 29.01. in den Tutorien)
Übung
1. Aufgabe
Seien F : R N → R N lokal Lipschitz-stetig und x : [0, ∞) → R N eine beschränkte Lösung der
Dgl. x ′ = F(x).
Zeigen Sie, dass die ω-Limes Menge zusammenhängend ist.
Definition: Seien F : D ⊂ RN → RN lokal Lipschitz-stetig und für z ∈ D sei
φ(z, ·) : [0, T + (z)) → D die maximale Lösung des rechtsseitigen AWP x ′ = F(x), x(0) = z.
Eine Menge M ⊂ D heisst Attraktor, wenn M invariant unter dem Fluss φ ist und jeder
Punkt in M innerer Punkt des Einzugsbereiches E(M) von M ist. (Der Einzugsbereich ist die
Menge aller Punkte z ∈ D mit T + (z) = ∞ und dist (φ(z, t), M) t→∞
−→ 0.)
2. Aufgabe
Zeigen Sie, dass der Einzugsbereich E(M) eines Attraktors M ⊂ D offen ist (und somit E(M)
eine offene Umgebung von M ist).
3. Aufgabe
Seien A ∈ R n×n schiefadjungiert, d.h. A ∗ = −A, r > 0 und g ∈ C 1 (R, R) mit g(r 2 ) = 0 und
g(u) > 0 für alle u ∈ (0, ∞) \ {r 2 }.
Bestimmen Sie den Einzugsbereich von
Ist Kr ein Attraktor?
F(x) def
= Ax − g(|x| 2 )x
Kr = {x ∈ R n : |x| = r}.
4. Aufgabe
Suppose that f : R N → R N is a locally Lipschitz-continuous function, such that 0 is an equilibrium
point of the differential equation
x ′ = F(x).
Furthermore, let V : R n → R be a Lyapunov-function for this system with
V (y) → ∞ für |y| → ∞.
1. Show that, for each y ∈ R n , the initial value problem
x ′ = F(x), x(0) = y, t ∈ [0, ∞)
has a unique global solution φ(y, ·) : [0, ∞) → R n .

2. Suppose that, in addition,
Show that, for each y ∈ R n ,
V (0) = 0, V (y) > 0 and ∇V (y) · f(y) < 0 ∀y = 0.
φ(y, t) t→∞
−→ 0.
Tutoriumsaufgaben
1. Aufgabe
Für α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0 betrachten wir das Volterra-Lotka-System
x ′ = F(x) def
x1(α − βx2)
=
.
(δx1 − γ)x2
1. Zeigen Sie, dass dieses System die stationären Punkte (0, 0) und z = (γ/δ, α/β) hat.
2. Untersuchen Sie diese stationären Punkte auf Stabilität.
Hinweis : Betrachten Sie die Lyapunov-Funktion
2. Aufgabe
V (x) def
=
x1
z1
u −1 (δu − γ)du +
x2
z2
u −1 (βu − α)du.
Sei D ⊂ R N offen und f : D → R N lokal Lipschitz stetig. Sei K ⊂ D eine konvexe, kompakte
und positiv invariante Teilmenge unter dem von dem System x ′ = F(x) erzeugten Fluss. Zeigen
Sie, dass K mindestens eine Ruhelage enthält.
3. Aufgabe
Seien
F(x) def
=
Bestimmen Sie den Einzugsbereich von
und zeigen Sie, dass K1 ein Attraktor ist.
x2
+ (1 − |x|
−x1
2 )x.
K1 = {x ∈ R 2 : |x| = 1}
4. Aufgabe
Seien F : D ⊂ R N → R N lokal Lipschitz-stetig und für z ∈ D sei φ(z, ·) : [0, T + (z)) → D die
maximale Lösung des rechtsseitigen AWP x ′ = F(x), x(0) = z.
Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
• Für jede nichtleere, positiv invariante Menge M ⊂ D ist auch M positiv invariant.
• Sei x0 ∈ D stabiler Gleichgewichtspunkt. Dann ist E({x0}) offen.
• Sei x0 ∈ D asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt. Dann ist {x0} ein Attraktor.
• Für jede nichtleere Menge M ⊂ D und alle z ∈ E(M) gilt: ω(z) ⊂ M. Hier ist ω(z) die
ω-Limes Menge.

Hausaufgaben
1. Aufgabe 7 Punkte
Seien
F(x) def
x2
= + |x|
−x1
2
π
sin x
|x|
falls x ∈ R N \ {0} und F(0) def
= 0.
• Zeigen Sie, dass F auf R N stetig differenzierbar ist.
• Untersuchen Sie die Nulllösung von x ′ = F(x) auf Stabilität.
• Untersuchen Sie die Nulllösung von x ′ = F(x) auf asymptotische Stabilität.
2. Aufgabe 8 Punkte
Für α ∈ R sei
F(x) def
=
.
x1x2
α(x1 − 1) 3 (x2 − 1) 3
1. Untersuchen Sie den stationären Punkt y = (0, 1) des Systems x ′ = F(x) auf Stabilität in
Abhängigkeit von α.
2. Untersuchen Sie den stationären Punkt z = (1, 0) auf Stabilität in Abhängigkeit von α im
Fall α = 0.
Hinweis zu (2): Betrachten Sie die Lyapunov-Funktion
Vα(x) def
= α
x1
u
1
−1 (u − 1) 3 x2
du +
0
u(1 − u) −3 du.
3. Aufgabe 5 Punkte
Bestimmen Sie zu gegebenem α ∈ R die ω-Limesmenge für die Lösung des Anfangswertproblems
wobei
x ′ = Aαx, x(0) = (1, 0)
Aα
def
=
−α 1
.
−2 −α