Lösungsskizzen zum 12. ¨Ubungsblatt - Institut für Mathematik - TU ...

Technische Universität Berlin – Fakultät II – Institut für Mathematik
Lineare Algebra und Differentialgleichungen für Ingenieure WS 02/03
http://www.math.TU-Berlin.de/HM/LADG/Aktuell/main.html
Doz.: Dr. G. Penn-Karras; Ass.: A. Choumilina / O. König
1. Aufgabe
Lösungsskizzen zum 12. Übungsblatt
(Partielle Differentialgleichungen)
Tutoriumsvorschläge
Lineare partielle Differentialgleichungen (PDG) 1.Orgnung in n Variablen haben
die Gestalt
mit x ∈ G ⊆ R n .
a1(x)ux1 + a2(x)ux2 + · · · + an(x)uxn + c(x)u + d(x) = 0
Die Rumpf-DGL heißt der Sonderfall c = d = 0, und das entsprechende charakteristische
DGL-System ist
˙x = a(x), a := (a1, . . . , an) T .
Seine Lösungen heißen Charakteristiken der DGL.
Lösungsmethode zur Lösung einer Rumpf-DGL.
➀ Aus dem charakteristischen DGL-System möglichst einfache Phasen-
DGL aufstellen.
➁ Eine allgemeine Lösung der Phasen-DGL bestimmen und nach den freien
Konstanten auflösen:
➂ Die allgemeine Lösung
c1 = φ1(x1, . . . , xn), . . . , cn−1 = φn−1(x1, . . . , xn).
u = F (φ1(x1, . . . , xn), . . . , φn−1(x1, . . . , xn))
mit einer beliebiegen C 1 -Funktion F in n − 1 Variablen definieren.
a) ➀ ˙t = 1, ˙x = a(x) =⇒ dx
dt = a(x).
➁ dx
a(x) = t + c =⇒ c = dx
a(x) − t.
dx
➂ u(x, t) = F a(x) − t ist die allgemeine Lösung.
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Lösungsmethode zur Lösung einer linearen PDG 1. Ordnung
aux + buy + cu + d = 0.
➀ Die zugehörige Rumpf-DGL lösen.
➁ Die Lösung der Phasen-DGL als neue Variable ξ = ξ(x, y) annehmen.
Für die zweite neue Variable η eine möglichst einfache Funktion η(x, y)
angeben, so dass ξxηy − ηxξy = 0 ist (C 1 -umkehrbare Koordinatentransformation).
➂ Die nach der Substitution für U(ξ, η) = u(x, y) vereinfachte PDG der
Form
(aηx + bηy)Uη + cU + d = 0
lösen.
b) ➀ ˙x = x 2 , ˙y = 1
y
dy 1
=⇒ dx = x2y =⇒ y2 + 2
x = const .
➁ Die Substitution ξ = y2 + 2
x , η = x für U(ξ, η) = u(x, y) führt auf die PDG
η2Uη + αU = 0.
➂ Uη = − α
η2 U =⇒ U(ξ, η) = c(ξ)e − α
η2 dη = c(ξ)e α
tion bekommen wir u(x, y) = c(y2 + 2
α
x )e x .
Lösung einer quasilinearen PDG 1. Ordnung
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy + c(x, y, u) = 0
η , und mit der Rücksubstitu-
in impliziter Form f (x, y, u(x, y)) = const (es entspricht der linearen PDG in 3
Variablen a(x, y, u)fx + b(x, y, u)fy − c(x, y, u)fu = 0).
➀ Aus dem charakteristischen DGL-System
˙x = a(x, y, u), ˙y = b(x, y, u), ˙u = −c(x, y, u)
möglichst einfache Phasen-DGL aufstellen.
➁ Eine allgemeine Lösung der Phasen-DGL bestimmen und nach den freien
Konstanten auflösen:
c1 = φ1(x, y, u), c2 = φ2(x, y, u).
➂ Die implizite Lösung ist f (x, y, u(x, y)) = const mit f(x, y, u) :=
F (φ1(x, y, u), φ2(x, y, u)), wobei F eine beliebige C 1 -Funktion ist.
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c) ➀ ˙t = 1, ˙x = v, ˙v = 0 =⇒ dx dv
dt = v, dt
➁ x − vt = const, v = const .
= 0.
➂ Die allgemeine implizite Lösung ist damit F (v, x − vt) = const.
2. Aufgabe
Eine lineare PDG 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen x, y und einer
unbekannten Funktion u hat die Gestalt:
A ∂2u ∂x2 + 2B ∂2u ∂x∂y + C ∂2u + a∂u
∂y2 ∂x
+ b∂u + cu = f, (1)
∂y
wobei die Koeffizienten A, B, C, a, b, c und das freie Glied f bekannte Funktionen von x
und y sind.
Die Form der Lösung dieser DGL wird durch das Vorzeichen der Diskriminante δ =
AC − B 2 in einem betrachteten Gebiet bestimmt.
Man unterscheidet die folgenden Formen:
1. δ < 0: Hyperbolischer Typ,
2. δ = 0: Parabolischer Typ,
3. δ > 0: Elliptischer Typ,
4. δ ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ.
Als Charakteristiken der PDG (1) bezeichnet man die Lösungen der charakteristischen
DGL
Az 2 x + 2Bzxzy + Cz 2 y = 0, bzw. dy
dx = B ± √ −δ
.
A
• Falls (1) parabolisch ist, gibt es nur eine Charakteristikenschar z(x, y) = const.
Dann führt die Substitution mit ξ = z(x, y) und einem möglichst einfachen
η = η(x, y), so dass ξxηy − ηxξy = 0 ist, für U(ξ, η) = u(x, y) von (1) zu einer
Normalform der Gestalt
Uηη = G(ξ, η, U, Uξ, Uη).
• Falls (1) hyperbolisch ist, gibt es zwei unabhängige Charakteristikscharen φ(x, y) =
const, ψ(x, y) = const. Die Substitution ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y) führt zur Normalform
der Gestalt
Uξη = G(ξ, η, U, Uξ, Uη).
• Falls (1) elliptisch ist, gibt es keine reellen Charakteristikscharen. Dann erhält
man von einer komplexwertigen Lösung z(x, y) = φ(x, y) + iψ(x, y) mit Hilfe der
Substitution ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y) die Normalform der Gestalt
Uξξ + Uηη = G(ξ, η, U, Uξ, Uη).
Bemerkung: Diese Aussagen zur Klassifizierung und Transformation auf die Normalform
gelten auch für die Gleichungen der allgemeineren Form
A(x, y) ∂2u ∂x2 + 2B(x, y) ∂2u ∂x∂y + C(x, y)∂2 u
∂u ∂u
+ F (x, y, u, , ) = 0.
∂y2 ∂x ∂y
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a) B = −1, A = C = 1, δ = AC − B2 = 0 (parabolische DGL).
dy
dx = −1 =⇒ x + y = const . Substitution ξ = x + y, η = x, U(ξ, η) = u(x, y).
ux = Uξξx + Uηηx = Uξ + Uη,
uy = Uξξy + Uηηy = Uξ,
uxx = Uξξξ 2 x + 2Uξηξxηx + Uηηη 2 x + Uξξxx + Uηηxx =
= Uξξ + 2Uξη + Uηη,
uxy = Uξξξxξy + Uηξξyηx + Uξηξxηy + Uηηηxηy + Uξξxy + Uηηxy =
= Uξξ + Uηξ,
uyy = Uξξξ 2 y + 2Uξηξyηy + Uηηη 2 y + Uξξyy + Uηηyy =
= Uξξ.
Die Substitution ergibt die PDG der Normalform Uηη + Uη = 0, die einfach zu
lösen ist. Sie hat die allgemeine Lösung U(ξ, η) = c1(ξ)e −η + c2(ξ), und nach der
Rücksubstitution bekommen wir u(x, y) = c1(x + y)e −x + c2(x + y), c1, c2 ∈ C 2 .
b) A = y, B = x+y
2 , C = x, δ = xy − x+y
2
x = y). Die charakteristischen DGLn sind dy
dx
2 x−y 2 = − 2 ≤ 0 (hyperbolisch für
= x
y
und dy
dx = 1 =⇒ y2 − x 2 =
const, y − x = const. Mit Substitution ξ = y − x, η = y 2 − x 2 bekommen wir die
Normalform-DGL, die auch relativ einfach zu lösen ist:
ξUξη + Uη = 0.
c) A = 1, B = 1, C = 5, δ = 5 − 1 = 4 > 0 (elliptisch).
dy
dx = 1 ± √ −4 = 1 ± 2i. Für dy
dx = 1 − √ −4 = 1 − 2i haben wir die Lösung
y − (1 − 2i)x = const. Mit den neuen Koordinaten ξ = y − x, η = 2x geht die
Gleichung über in die Normalform 4(Uξξ + Uηη) + Uξ + 2Uη − U = 0.
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