Klausur Mathematik für Biologen

Institut für Mathematische Stochastik Dresden, den 15. 2. 2001
Dr. W. Kuhlisch
Klausur Mathematik für Biologen
1. Die Entwicklung einer Population vom Umfang ak in der k-ten Generation werde
durch die folgende Gleichung beschrieben:
ak+1 = 1, 8 · ak − 0, 0001 · a 2 k ,
a0 = 500 .
Wie groß sind die Populationen der zweiten und dritten Generation? Untersuchen
Sie das Monotonieverhalten der Folge (ak) und geben Sie den Grenzwert der Folge
an.
2. Die Gompertz-Wachstumsfunktion
y = f(x) = e 1−0,5(x−1)
, x ≥ 1,
beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Populationsgröße. Welche der folgenden
Aussagen sind richtig? (Begründen Sie Ihre Entscheidung.)
(a) f(x) ist monoton wachsend für alle x ≥ 1.
(b) Die Funktion besitzt ein Minimum mit ymin < 1.
(c) Die Wachstumsfunktion f(x) besitzt keinen Grenzwert limx→∞ f(x).
(d) (Zusatzaufgabe:) Für x = 2, 44 hat sich die Populationsgröße im Vergleich zu
ihrem Anfangswert verdoppelt.
3. Lösen Sie die folgende Differentialgleichung mit der Methode Trennung der Veränderlichen:
e 3y · y ′ = x 2 + 2x
4. Gegeben seien folgende Matrizen:
⎛
a
⎜
A = ⎝ 1
1
−2
−1
1
⎞
3
⎟
1 ⎠
0
⎛
1
⎜ 0
B = ⎜
⎝ 6
0
0
2
5
0
⎞
3
0
⎟
0 ⎠
1
mit a, b ∈ R.
C =
(a) Berechnen Sie (sofern möglich): A+BC, AB , AC , CC T , det(A) und det(B).
1
⎛
⎜
⎝
b
1
0
⎞
⎟
⎠

(b) Für welche Parameter a, b hat das Gleichungssystem Ax = C genau eine
Lösung?
(c) Ist das Gleichungssystem CC T x = 0 eindeutig lösbar?
5. Die folgende Tabelle enthält die Anteile (Einheiten) von Eiweiß, Fett und Kohlen-
hydraten in jeweils 1 kg Futter für drei verschiedene Futtermittel F1, F2, F3.
Eiweiß Fett Kohlenhydrate
F1 2 3 1
F2 1 1 1
F3 3 1 2
Stellen Sie eine Futtermischung zusammen, die 80 Einheiten Eiweiß, 60 Einheiten
Fett und 70 Einheiten Kohlenhydrate enthält.
6. In einem Spiel würfeln zwei Spieler je einmal mit einem Würfel. Der erste Spieler
gewinnt, wenn das Produkt der Augenzahlen eine ungerade Zahl ergibt. Der zweite
Spieler gewinnt, wenn die Summe der Augenzahlen durch drei teilbar ist. Welcher
Spieler hat die größeren Gewinnchancen?
7. (Zusatzaufgabe:) Die Staumauer einer Talsperre ist so konstruiert worden, daß
die Wahrscheinlichkeit einer Überflutung in einem Jahr p = 10 −3 beträgt. Die
Talsperre soll n = 100 Jahre betrieben werden. Es wird angenommen, daß die
Überflutungsereignisse unabhängig voneinander auftreten. Wie groß ist die Wahr-
scheinlichkeit, daß in den 100 Jahren
(a) genau einmal eine Überflutung stattfindet,
(b) keine Überflutung geschieht,
(c) mindestens einmal eine Überflutung auftritt?
8. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz!
(a)
(b)
∞
k=0
2
∞
x 3k
k=0
(k 2 + 1) 0, 4 2k

Lösungen:
1. (ak) monoton wachsend, limk→∞ ak = 8000.
a2 = 1499, a3 = 2473.
2. siehe Übungsheft
3. y = 1
3 ln(x3 + 3x 2 + C)
4. det(A) = 4 − a =⇒ det(A) = 0 ⇐⇒ a = 4, LGS hat (unabhängig von b) eine
eindeutige ⎛ Lösung ⎞
ab − 2
⎜ ⎟
AC = ⎝ b − 1 ⎠ , CC
b + 1
T ⎛
b
⎜
= ⎝
2 b
b
1
⎞
0
⎟
0 ⎠ ,
0 0 0
det(CC T ) = 0 ⇐⇒ LGS hat keine eindeutige Lösung
5. x1 = 0; x2 = 50; x3 = 10
6. P (A) = 9
12
, P (B) = 36 36
7. P (X100 = 1) = 0, 0906
P (X100 = 0) = 0, 905
P (X100 ≥ 1) = 0, 0952
8. (a) 1
1−x 3 für |x| < 1
(b) Quotientenkriterium =⇒ Reihe konvergent.
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