3. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Algebraische Strukturen“

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Stefan E. Schmidt, Mike Behrisch SS 2008
3. Übungsblatt zur Vorlesung
” Algebraische Strukturen“
Aufgabe 1 (a)(i) ist schriftlich zu lösen und zu Beginn der Übung abzugeben.
Aufgabe 1 Sei = (P, ≤) eine vollständiger -Halbverband. Man betrachte den formalen
Kontext = (P, P × P, |=). Für ein Paar (a, b) ∈ P × P der Merkmalsmenge schreibe man
a −→ b und interpretiere es als (abstrakte) Implikation mit Prämisse a und Konklusion b. Die
Inzidenzrelation des Kontextes ist durch das sogenannte Respektieren gegeben: Ein Element
t ∈ P respektiert eine abstrakte Implikation 1 a −→ b ∈ P × P , symbolisch t |= a −→ b, genau
dann, wenn
a ≤ t =⇒ b ≤ t
gilt. Die Ableitungsoperatoren des Kontextes werden mit
und
Imp : P(P ) −→ P(P × P )
X ↦−→ Imp X := {a −→ b | ∀ x ∈ X : x |= a −→ b}
Mod : P(P × P ) −→ P(P )
L ↦−→ Mod L := {t ∈ P | ∀ a −→ b ∈ L : t |= a −→ b}
bezeichnet. Die Umfänge von heißen implikationendefinierte Teilmengen (von P) und die
Inhalte nennt man Implikationentheorien.
Zeigen Sie:
(a) Die Inhalte von sind genau alle Hüllensysteme in , d. h.
(i) jede implikationendefinierte Teilmenge Mod L mit L ⊆ P × P ist ein Hüllensystem in
(vgl. Aufgabe 2, 2. Übung) und
(ii) jedes Hüllensystem H ⊆ P ist implikationendefiniert vermöge
H = Mod L mit L := {x −→ cH(x) | x ∈ P }.
(b) Folgern Sie daraus: Das System aller Hüllensysteme in bildet ein Hüllensystem in (P(P ), ⊆).
(c) Definition: Sei = (P, ≤) ein vollständiger -Halbverband. Eine Relation L ⊆ P × P heißt Armstrongrelation,
wenn sie
(i) eine Quasiordnung (synonym: Präordnung) auf P ist, d. h. reflexiv und transitiv ist.
(ii) augmentativ ist, d. h. für bliebige x, y, z ∈ P gilt:
(iii) rechts- -verträglich ist, d. h. für x ∈ P ist
x −→ y ∈ L und x ≤ z =⇒ z −→ y ∈ L
x L := L[{x}] ∈ L[{x}],
wobei L[{x}] := {y ∈ P | x −→ y ≡ (x, y) ∈ L} die Menge aller Konklusionen in L mit Prämisse x ist.
Alternativ heißt das
∀ x ∈ P : x −→ x L ∈ L.
1 synonym: t ist Modell von a −→ b

Sei jetzt ein vollständiger Verband. Zeigen Sie: Jede Implikationentheorie Imp H mit
H ⊆ P ist eine Armstrongrelation auf P .
(d) Sei weiterhin ein vollständiger Verband und L ⊆ P × P eine Armstrongrelation. Zeigen
Sie:
(i)
ist ein Hüllenoperator in .
(ii) Für x ∈ P ist L[{x L }] = L[{x}].
(iii) Mod L = {x L | x ∈ P }.
(iv) L ⊇ Imp Mod L = Imp{x L | x ∈ P }.
· L : P −→ P
x ↦−→ x L = {y ∈ P | x −→ y ≡ (x, y) ∈ L}
(v) Folgern Sie daraus, daß L eine Implikationentheorie ist.
Damit ist bewiesen, daß Implikationentheorien und Armstrongrelationen dasselbe sind.
Aufgabe 2 Sei A eine Menge. Folgern Sie mit Aufgabe 1 (a), daß die Menge aller
(a) reflexiven,
(b) symmetrischen und
(c) transitiven
Relationen auf A jeweils ein Hüllensystem in = (P(A×A), ⊆) bildet. Folgern Sie mit Aufgabe
1 (b) und Aufgabe 2, 2. Übung, daß dann auch die Mengen aller
(d) Quasiordnungen (reflexiv, transitiv),
(e) Toleranzrelationen (reflexiv, symmetrisch),
(f) symmetrisch und transitiven Relationen und
(g) Äquivalenzrelationen
auf A Hüllensysteme in sind.
Aufgabe 3 Sei = 〈V, +, 0〉 ein Vektorraum über dem Körper . Bestimmen Sie das Hüllensystem
Mod(L)
der Implikationenmenge
L = {Ø −→ {0}} ∪ {{u, v} −→ u + v | u, v ∈ V } ⊆ P(V ) × P(V ).
Hierbei ist u + v = {u + kv | k ∈ }.
Aufgabe 4 Nach Wunsch Besprechung ausgewählter Aufgaben der vorangegangenen Übungsblätter.