implizite Differentiation

Implizite Funktionen
Definition
Eine Darstellung einer Funktion f = f (x) in einer geschlossenen
Form g(x,f (x)) ≡ 0
heißt implizite Darstellung der Funktion f und f heißt dann
implizite Funktion.
Beispiel
a) Kreisgleichung x 2 + y 2 = 1: Mit y = f (x) folgt
ga(x,f (x)) := x 2 + (f (x)) 2 − 1 ≡ 0.
b) Umkehrfunktion zu y = x 2013 + x: Mit x = f −1 (y) folgt
Implizite Funktionen
g b(y,f −1 (y)) := (f −1 (y)) 2013 + f −1 (y) − y ≡ 0
⇔ g b(x,f (x)) = (f (x)) 2013 + f (x) − x ≡ 0.
sebastian.franz@tu-dresden.de Mathematik I
Beispiel (Punktauswertungen in z.B. x = 0)
a) ga(0,f (0)) = 02 + (f (0)) 2 − 1 = 0 ⇒ f (0) = ±1
b) gb(0,f (0)) = (f (0)) 2013
+ f (0) − 0 = f (0) (f (0)) 2012
+ 1 = 0
≥1
⇒ f (0) = 0
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Implizite Funktionen
Beispiel (1. Ableitung)
a) ga(x,f (x)) ≡ 0 ⇒ (x 2 + f (x) 2 − 1) ′ ≡ 0 ⇔ 2x + 2f (x)f ′ (x) ≡ 0
Annahme: f (x) = 0, |f ′ (x)| < ∞ impliziert x = 0: Widerspruch!
Also f ′ (x) = − x
f (x) und f ′ (0) = 0
b) gb(x,f (x)) ≡ 0 ⇒ (f (x) 2013 + f (x) − x) ′ ≡ 0
⇔ f ′ (x)(2013f (x) 2012 + 1) ≡ 1
≥1
Also f ′ (x) =
Implizite Funktionen
Beispiel (2. Ableitung)
1
1+2013f (x) 2012 und f ′ (0) = 1
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a) f ′ (x) = − x
f (x) ⇒ f ′′ (x) = − f (x)−xf ′ (x)
f (x) 2
b) f ′ (x) =
1
1+2013f (x) 2012 ⇒
f ′′ (x) = −2012 · 2013
und f ′′ (0) = ∓1
(f (x)) 2011f ′ (x)
(1+2013(f (x)) 2012 ) 2 und f ′′ (0) = 0
Beispiel (Taylorentwicklung in x0 = 0)
T (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ x 2
(0)
a) Ta(x) = 1 −
b) Tb(x) = x
x 2
2 bzw. Ta(x) = −1 +
2
x 2
2
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3.1.5 Kurvendiskussion von f : D → R
sebastian.franz@tu-dresden.de Mathematik I
3.1.5 Kurvendiskussion von f : D → R
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