Kanalcodierung - Friedrichs, Bernd

6.5 Spektraltransformation auf Galoisfeldern 189
Beispiel 6.7. F5 mit n = 4 (Rechnen modulo 5, also −1 = 4). Als primitives
Element wird z = 3 verwendet: z2 =4,z3 =2,z4 =1=z0 .Für die Transformationsmatrizen
gilt:
⎛
⎜
TIDFT = − ⎜
⎝
1 1 1 1
1 2 4 3
1 4 1 4
1 3 4 2
⎞
⎟
⎠ , TDFT =
Entsprechend (6.5.2) und (6.5.3) gilt:
⎛
1
⎜
TIDFT · TDFT = ⎜ 0
⎝ 0
0
1
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 1
, T 2 ⎛
⎜
DFT = − ⎜
⎝
Betrachte folgendes Zahlenbeispiel:
a(x) =1+2x +3x 3 ↔ (1, 2, 0, 3) = a
◦ |
•
A(x) =1+3x + x 2 +4x 3 ↔ (1, 3, 1, 4) = A
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1
1 3 4 2
1 4 1 4
1 2 4 3
⎞
⎟
⎠ .
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
⎞
⎟
⎠ .
i Register Ai
0 1 2 0 3 1
1 1 1 0 1 3
2 1 3 0 2 1
3 1 4 0 4 4
1 3 4 2
Faktoren
Die Darstellung rechts zeigt die jeweilige Belegung des Schieberegisters.
Satz 6.8. Die zyklische Faltung geht durch Fourier-Transformation in die
komponentenweise Multiplikation über. Zur genaueren Formulierung werden
die Zeit-Frequenz-Paare a(x)◦—•A(x), b(x)◦—•B(x), c(x)◦—•C(x) betrachtet.
Dann gilt:
c(x) =Rxn−1[a(x)b(x)] ⇐⇒ Ci = AiBi,
C(x) =Rxn (6.5.7)
−1[A(x)B(x)] ⇐⇒ ci = −aibi.
Speziell gilt für die zyklische Verschiebung:
c(x) =Rx n −1[xa(x)] ⇐⇒ Ci = z i Ai,
C(x) =Rx n −1[xA(x)] ⇐⇒ ci = z −i ai.
(6.5.8)
Die Polynom-Multiplikation modulo x n − 1 in (6.5.7) entspricht natürlich
der zyklischen Faltung der Polynomkoeffizienten:
c(x) =Rxn n−1
−1[a(x)b(x)] ⇐⇒ ci = aµbRn[i−µ]. (6.5.9)
µ=0