Kanalcodierung - Friedrichs, Bernd

12 1. Einführung: Codes und Kanäle
wäre. Für den Decoder ist es besser, über den Sendewert gar keine Information
zu haben als eine Information, die in der Hälfte aller Fälle falsch ist. Der BSEC
ist der einfachste Fall eines diskreten Kanals mit Soft-Decision mit
⎧
⎨ 1 − pe − qe
⎫
für y = x ⎬
P (y|x) = qe
⎩
für y =?
sonst
.
⎭
(1.3.10)
pe
Natürlich gilt hierbei Py|x(0|x)+Py|x(?|x)+Py|x(1|x) =1für x ∈Ain = {0, 1}.
Für qe = 0 wird der BSEC zum BSC und für pe = 0 wird der BSEC zum reinen
Auslöschungskanal (BEC, Binary Erasure Channel). Ein weiteres sehr wichtiges
DMC-Modell ist:
Definition 1.3. Als AWGN-Kanal (Additive White Gaussian Noise) wird ein
Kanal mit binärem Input bezeichnet, bei dem weißes normalverteiltes (Gaußsches)
Rauschen ν additiv überlagert wird:
y = x + ν.
Dabei sind x und ν statistisch unabhängig. Mit Ec wird die Energie pro Codebit
und mit N0 wird die einseitige Rauschleistungsdichte bezeichnet. Für die
Alphabete gilt Ain = {− √ Ec, + √ Ec} und Aout = R und die Übergangswahr-
scheinlichkeiten haben die Form von Verteilungsdichten:
fy|x(η|ξ) = 1
√ exp
πN0
−
(η − ξ)2
N0
. (1.3.11)
Also ist y bei gegebenem x normalverteilt mit dem Erwartungswert x = ξ
und der Varianz σ 2 = N0/2, die der Varianz des Rauschens entspricht. Wenn
der AWGN mit binärer Modulation (ASK, Amplitude Shift Keying) betrieben
wird und im Demodulator binär quantisiert wird, so ergibt sich wieder ein BSC
mit der Bit-Fehlerwahrscheinlichkeit
Dabei ist
pe = Py|x(y 0 | x = − Ec)
=
+∞
0
1
√ exp
πN0
− (η + √ Ec) 2
N0
dη
2Ec
= Q . (1.3.12)
N0
Q(α) = 1
√ 2π
∞
α
e −η2 /2 1
dη =
2 erfc
α√2
(1.3.13)
= P (ν >α N0/2) (1.3.14)