Lagrange-Formalismus und kanonische Quantisierung von Feldern

Kapitel 1
Lagrange-Formalismus und
kanonische Quantisierung
von Feldern
Die Quantenfeldtheorie beschreibt die Quantentheorie von Systemen mit
einer unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Dazu gehören auch relativistische
Teilchen, da im Rahmen der Relativitätstheorie Teilchenerzeugung
und -vernichtung stattfinden kann. In diesem Kapitel wird der Lagrange-
Formalismus für quantisierte Felder eingeführt. Die Behandlung ist komplementär
zur “Relativistischen Quantentheorie”, in der das Konzept des
Teilchens im den Vordergrund gestellt wurde. Die logische Entwicklung der
relativistischen Quantentheorie aus der Vereinigung des Relativitätsprinzips
mit der Quantentheorie soll hier kurz rekapituliert werden.
1.1 Rekapitulation: Relativistische Quantentheorie
Ziel der relativistischen Quantentheorie ist es, eine relativistisch invariante
Theorie zu formulieren, d.h eine Theorie, in der die Beschreibung physikalischer
Systeme nicht von der Wahl von Bezugssystemen abhängt, die durch
eine Lorentz-Transformation (Λ,a) mit x ′ = Λx + a verknüpft sind. Die homogenen
Lorentz-Transformationen Λ beschreiben Drehungen und Boosts,
a beschreibt Raumzeittranslationen.
1

Es seien |ψ〉, |φ〉 Zustände eines physikalischen Systems, und |ψ ′ 〉, |φ ′ 〉 die
entsprechenden Zustände, wenn das System in einem anderen Inertialsystem
beschrieben wird. Die Invarianz unter Lorentz-Transformationen erfordert
dann 〈ψ ′ |φ ′ 〉 = |〈ψ|φ〉| . (1.1)
Daraus folgt, dass jeder Lorentz-Transformation ein unitärer oder antiunitärer
Operator zugeordnet werden kann, der auf dem Hilbert-Raum der
Zustände eines Quantensystems wirkt. Die Abbildung
(Λ,a) ↦→ U(Λ,a) (1.2)
bildet eine Darstellung der Poincaré-Gruppe (homogene Lorentz-Transformationen
und Translationen) bis auf eine Phase. (Für infinitesimale Lorentz-
Transformationen spielen die Phasen keine Rolle, und U(Λ,a) ist unitär.)
Der Begriff des Teilchens ist mit irreduziblen unitären Darstellungen der
Poincaré-Gruppe verknüpft. Diese werden durch zwei Zahlen charakterisiert,
die man mit der Ruhemasse m und dem Spin (bzw. der Helizität für
m = 0) des Teilchens identifiziert. Der Spin ist ganz- oder halbzahlig. Die
Basiszustände des invarianten Unterhilbertraums, auf dem die Darstellung
irreduzibel operiert, werden mit
|p,s;n〉 (1.3)
bezeichnet und sind durch die Angabe der Eigenwerte bezüglich eines vollständigen
Satzes von kommutierenden Observablen gekennzeichnet. Für die
so definierten Einteilchenzustände sind dies: der Viererimpuls p, die z-Komponente
s des Spins bzw. der Helizität und alle sonstigen Eigenschaften
n. (Aufgrund der Massenschalenbedingung p 0 = p 2 + m 2 sind nur drei
Komponenten von p unabhängig.)
Aus den Einteilchenzuständen wird der Fock-Raum für Bosonen und Fermionen
konstruiert. Der Fock-Raum gestattet die Definition von Erzeugungsoperatoren
a † (p,s;n) und Vernichtungsoperatoren a(p,s;n), mit deren Hilfe
die einer Teilchensorte zugeordneten Felder konstruiert werden:
ψα(x) =
s
d 3 p
(2π) 3 2p 0
e −ip·x uα(p,s)a(p,s) + e ip·x vα(p,s)b †
(p,s) ,
(1.4)
mit p 0 = p 2 + m 2 . b † (p,s) bezieht sich auf das Antitielchen, sofern ein
solches erfordert wird. Die Kennzeichnung n für “weitere Eigneschaften”
wird weggelassen, wenn sie für das Verständnis nicht notwendig ist.
2

Damit aus solchen Feldoperatoren Lorentz-invariante Operatoren gebildet
werden können, muss man verlangen, dass sie ein bestimmtes Transformationsverhalten
unter Lorentz-Transformationen besitzen, nämlich
ψ ′ α(x) ≡ U(Λ,a)ψα(x)U(Λ,a) −1 = Dαβ(Λ −1 )ψβ(Λx + a), (1.5)
wobei die D(Λ)αβ eine endlichdimensionale Matrixdarstellung der homogenen
Lorentz-Gruppe bilden. Endlichdimensional bedeutet, dass die Indizes
α,β einen endlichen Wertebereich besitzen, d.h. das Feld besitzt endlich
viele Komponenten. Man beachte, dass in dieser Vorlesung die Summenkonvention
für Indizes beliebigen Typs verwendet wird.
Für die verschiedenen Teilchensorten findet man z.B.:
skalares Feld (Spin 0) → D(Λ) = 1
Spinorfeld (Spin 1
2 ) →
D(Λ) 2 × 2 Matrix bzw.
4 × 4 Matrix für Dirac-Spinor
Vektorfeld (Spin 1) → D(Λ) = Λ 4 × 4 Matirx
Wesentliche Motivation für die Einführung von Feldern ist die Möglichkeit,
aus ihnen Wechselwirkungsterme zu konstruieren, die zu relativistisch invarianten
Theorien führen. Aus der Forderung nach relativistischer Invarianz
ergeben sich weitere Konsequenzen:
• Existenz von Antiteilchen für geladene Teilchen, d.h. Teilchen die sich
mit einer komplexen Transformation unter innerer Symmetrie transformieren.
• Zusammenhang zwischen Spin und Statistik. Teilchen mit ganzzahligem
Spin sind Bosonen, solche mit halbzahligem Spin sind Fermionen.
Die Zeitentwicklung der (bis jetzt freien) Felder ist durch
ψ(t,x) = e iH0t ψ(0,x) e −iH0t . (1.6)
gegeben. Dabei ist H0 der Hamiltonoperator für ein System von nichtwechselwirkenden
(freien) Teilchen:
H0 =
s
d3p (2π) 3
p0 a
2p0 † (p,s)a(p,s) + b †
(p,s)b(p,s) . (1.7)
3

Der Term b † (p,s)b(p,s) ist nur dann anwesend, falls ein Antiteilchen existiert.
Die Bedingung p 0 = p 2 + m 2 impliziert die Bewegungsgleichungen
für die freien Felder. Diese lauten z.B.:
∂ 2 + m 2 φ(x) = 0 Klein-Gordon-Gleichung
(iγ µ ∂µ + m)ψ(x) = 0 Dirac-Gleichung
∂ 2 A µ (x) = 0 Maxwell-Gleichung in
∇ · A = 0, A 0 = 0 der Coulomb-Eichung
Aus Produkten von Feldern können nun Hamilton-Dichten konstruiert werden,
die relativistisch invariante Streuprozesse beschreiben. Die fundamentale
Größe ist der Streuoperator S bzw. die Streumatrix (kurz: S-Matrix).
Für das Übergangsmatrixelement von einem Anfangszustand i in einen Endzustand
f gilt:
Sfi = 〈ψ −
f |ψ+ i
〉 = lim
t f →+∞
t i →−∞
〈φf |U(tf,ti)|φi〉. (1.8)
|ψ + i 〉 und |ψ− f 〉 stellen in- bzw. out-Streuzustände von H = H0 + Hint dar,
während |φi〉 und |φf 〉 Eigenzustände des freien Hamiltonoperators H0 sind.
Man definiert dann den Streuoperator S wie folgt:
∞
−i dt Hint(t) . (1.9)
S ≡ lim U(tf,ti) = T exp
tf →+∞
ti→−∞ Dabei ist U(tf,ti) der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild,
d.h. die Zeitentwicklung der Operatoren ist duch H0 gegeben und
Außerdem ist
Hint(t) = d 3 x ·
−∞
i ∂
∂t U(t,t0) = HintU(t,t0). (1.10)
Produkt von Feldern am selben
Punkt x (lokale Wechselwirkung)
(1.11)
der Wechselwirkungshamiltonoperator ausgedrückt durch Felder im Wechselwirkungsbild.
Die Zeitabhängigkeit und die Bewegungsgleichung dieser
Felder ist per Definition die von freien Feldern.
Die Darstellung durch das Wechselwirkungsbild ist besonders gut für die
Störungsentwicklung des Streuoperators geeignet. Mit Hilfe des Wickschen
4

Theorems gelangt man dann zu den Feynman-Regeln und den Feynmandiagrammen
der jeweiligen Wechselwirkung bzw. des jeweiligen Streuprozesses.
Für die Quantenelektrodynamik erhält man zum Beispiel für die Comptonbzw.
Elektron-Positron-Streuung in niedrigster Ordnung der Störungsentwicklung
folgende Feynmandiagramme:
Compton-Streuung +
Elektron-Positron-
Streuung
Der in der “Relativistischen Quantentheorie” entwickelte Formalismus weist
jedoch einige Unvollständigkeiten auf:
1) Die Wahl einer relativistisch invarianten Hamilton-Dichte führt nicht
immer zu einer invarianten Streumatrix. Es mussten dann nichtkovariante
Terme addiert werden, um eine Nichtkovarianz in den Propagatoren
zu beseitigen. Diese Komplikation tritt schon in der Quantenelektrodynamik
auf. Am Ende nehmen die Feynmanregeln und Propagatoren
jedoch eine einfache Gestalt an. Ein geeigneter Formalismus
sollte direkt auf diese einfache Form führen.
2) Die Selbstwechselwirkung von Teilchen lässt sich auch durch die im
Streuprozess üblichen Annahmen, dass die Wellenpakete für t → ±∞
räumlich getrennt sind, nicht “abschalten”. Eine Konsequenz davon
ist, dass die Teilchenmassen der asymptotischen Zustände nicht mit
den Massen der durch H0 bestimmten Zustände übereinstimmen. Dieser
Effekt kann mit den bisher diskutierten Methoden noch nicht konsistent
berechnet werden. Ein extremer Fall tritt in der starken Wechselwirkung
auf, wo die Anregung der freien Felder (Quarks und Gluonen)
nie als asymptotische Zustände für t → ±∞ eines Streuprozesses
auftreten.
5
+

3) Die Berechnung von Steuamplituden in höheren Ordnungen der Störungstheorie
führt zu divergierenden Integralen. Offenbar fehlt eine
korrekte Interpretation der in der Stöarungsreihe auftretenden und
durch Feynman-Diagramme visualisierten Ausdrücke in höheren Ordnungen
(Schleifendiagramme).
Die Behandlung dieser Komplikationen vereinfacht sich, wenn man den Feldaspekt
gegenüber dem Teilchenaspekt in den Vordergrund rückt, die Felder
im Lagrange-Formalismus behandelt und den Pfadintegralbegriff einführt.
Der Grund dafür ist, dass die relativistische Invarianz im Lagrange-Formalismus
immer manifest sichtbar ist. Die Konstruktion des Hamilton-Operators
ist jedoch weiterhin wichtig, da der Streuoperator über H definiert wird.
1.2 Lagrange-Formalismus für Felder, kanonische
Quantisierung
Zunächst sollen einige Erkenntnisse aus der klassischen Mechanik rekapituliert
werden. Dazu wird ein physikalisches System mit generalisierten Koordinaten
qn, n = 1,... ,N, und Lagrange-Funktion L(qn, ˙qn) betrachtet. Wir
beschränken uns hier auf Systeme, deren Lagrange-Funktion nicht explizit
zeitabhängig ist.
Es gilt:
• Für gegebene Anfangwerte qn(t0), ˙qn(t0) erhält man qn(t) aus den
Euler-Lagrange-Gleichungen:
d ∂L
dt ∂ ˙qn
− ∂L
∂qn
= 0. (1.12)
• Die Euler-Lagrange-Gleichungen (Bewegungsgleichungen) erhält man
aus dem Prinzip der kleinsten (genauer: extremalen) Wirkung. Die
Wirkung lautet:
t2
S [qn] ≡ dt L(qn, ˙qn), (1.13)
t1
wobei qn(t1), qn(t2) die Anfangs- bzw. Endpunkte der Bewegung sind.
Die Wirkung S ist ein Funktional der qn, d.h. eine Abbildung, die den
Funktionen qn(t) eine Zahl (den Wert der Wirkung) zuordnet.
6

Die Bahnkurve qn(t) ist die Kurve, welche die Wirkung S [qn] stationär
macht. Notwendig dafür ist, dass die Variation von S für diese
Funktionen qn(t) verschwindet:
δS[qn] = S [qn + δqn] − S [qn]
!
= 0. (1.14)
Die δqn(t) sind dabei kleine Variationen der Funktionen um qn(t) bei
festen Anfangs- und Endbedingungen qn(t1), qn(t2). Damit folgt (wobei
stets die Summenkonvention für n verwendet wird):
t2 ∂L
δS = dt δqn +
t1 ∂qn
∂L
δ ˙qn
∂ ˙qn
t2 t2
∂L
∂L
= δqn + dt −
∂ ˙qn t1 t1 ∂qn
d
∂L
δqn , (1.15)
dt ∂ ˙qn
mit δ ˙qn(t) = d
dt δqn(t).
Der erste Term in (1.15) verschwindet, da die Variation der qn an den
Rändern verschwindet, d.h. δqn(t1) = δqn(t2) = 0. Damit δS = 0 für
beliebige Variationen δqn, müssen die qn(t) also die Euler-Lagrange-
Gleichungen erfüllen.
• Der Übergang zur Hamilton-Funktion erfolgt durch Einführung der
kanonisch konjugierten Impulse
pn ≡ ∂L
. (1.16)
∂ ˙qn
Die Hamiton-Funktion ist dann durch folgende Legendre-Transformation
definiert:
H(qn,pn) ≡
pn ˙qn − L(qn, ˙qn), (1.17)
n
wobei man die ˙qn = ˙qn(qn,pn) durch Auflösen von (1.16) erhält.
Es kann vorkommen, dass das Gleichungssystem (1.16) entartet ist, so
dass man nicht alle ˙qn bestimmen kann. Dies ist zum Beispiel der Fall,
wenn L nicht von einigen der ˙qn abhängt, etwa
L = L(qn, ˙qn, ˆqi), (1.18)
so dass ˆpi ≡ 0. In diesem Fall verwendet man nur die qn, pn als kanonische
Variablen, d.h.
H(qn,pn, ˆqi) =
pn ˙qn − L(qn, ˙qn, ˆqi). (1.19)
n
7

Dennoch hängt H nicht von den ˙qn ab, denn
∂H
∂ ˙qn
= pn −
pn fest
∂L
= 0 (1.20)
∂ ˙qn
Dieser Fall tritt in der Feldtheorie bei Vektorfeldern und insbesondere
in Eichtheorien auf. Im Folgenden betrachten wir jedoch den einfacheren
Fall, für den (1.16) auflösbar ist.
• Die kanonischen Koordinaten erfüllen
mit der Poisson-Klammer
Außerdem gilt:
{qn,pm} P = δnm
(1.21)
{qn,qm} P = {pn,pm} P = 0 (1.22)
{A,B} P = ∂A
Übergang zur Quantentheorie
∂qn
∂B
∂pn
− ∂A
∂pn
˙qn = {qn,H} P = ∂H
,
∂pn
˙pn = {pn,H} P = − ∂H
.
∂qn
∂B
. (1.23)
∂qn
(1.24)
In der Quantentheorie sind qn, ˙qn, pn Operatoren auf einem Hilbertraum mit
“kanonischen” Vertauschungseigenschaften, die aus der Ersetzung { , } P →
1
i [ , ] hervorgehen, d.h.
[qn,pm] = iδnm, (1.25)
˙qn = 1
i [qn,H] (1.26)
usw. Dabei entspricht (1.26) der Heisenberg-Gleichung für den Operator qn.
Ein quantenmechanisches System kann durch die Angabe der kanonischen
Koordinaten qn und seine Lagrange-Funktion L spezifiziert werden. Aus
diesen erhält man die pn und H gemäß (1.16) und (1.17). Die Zeitentwicklung
wird durch (1.26) bestimmt.
8

Erweiterung auf Felder
Ein generischer Feldoperator sei mit φn(x) bezeichnet, wobei x = (t,x). Wir
stellen uns das Feld zunächst auf einem diskreten “Raumgitter” definiert
vor. An jedem Punkt x bilden die φn,x(t) einen Satz von generalisierten
Koordinaten, die die Amplitude des Felds beschreiben. Die Erweiterung der
Mechanik auf Felder wird also durch die Ersetzungen
qn → φn,x ,
→
,
n
n,x
δnm → δnm δx,y
(1.27)
vorgenommen. Im nächsten Schritt wird x zu einem kontinuierlichen “Index”
gemacht:
Für die Wirkung gilt dann:
S =
=
φn, x(t) → φn(t,x) = φn(x),
→
d 3 x ,
n,x
n
δnm δx,y → δnm δ (3) (x − y) . (1.28)
t2
t1
t2
t1
dt L φn(x), ˙
φn(x)
dt
d 3 x L (φn(x),∂µφn(x)) . (1.29)
In (1.29) wurde verwendet, dass in der lokalen Feldtheorie alle Terme in der
Lagrange-Funktion Produkte von Feldern am selben Ort sind, so dass L als
ein Integral über eine Lagrange-Dichte geschrieben werden kann:
L φn(x), ˙
φn(x) =
d 3
x L φn(x), ˙ φn(x),
∇φn(x) . (1.30)
Die Lagrange-Dichte wird als eine Funktion der Felder und ihrer zeitlichen
und räumlichen Ableitungen aufgefasst. Im Folgenden betrachten wir fast
ausschließlich den Fall t1 = −∞ und t2 = ∞, so dass die Zeit- und Raumintegration
in (1.29) zu d 4 x zusammengefasst werden kann.
9

Euler-Lagrange-Gleichungen und kanonische Vertauschungsrelationen
Die Euler-Lagrange-Gleichungen erhält man wiederum aus dem Wirkungsprinzip:
δS = d 4
∂L
x δφn(x) +
∂φn
∂L
∂(∂µφn) δ(∂µφn(x))
!=
0 (1.31)
Nach Verwendung von δ(∂µφn(x)) = ∂µ(δφn(x)) wird partiell integriert. Damit
die Terme von den Rändern des Zeitintervalls verschwinden, muss man
wie üblich annehmen, dass die Variationen δφn(t,x ) bei t = ∓∞ verschwinden.
Die räumlichen Randterme verschwinden, weil man ohnehin annehmen
muss, dass die Felder im Unendlichen schnell genug verschwinden, d.h.
φn(t,x) → 0 für |x | → ∞, damit die Integration über den ganzen Raum konvergiert.
Mit dem üblichen Argument, dass (1.31) für beliebige Variationen
δφn(x) gelten muss, folgt dann die Euler-Lagrange-Gleichung für Felder
∂µ
∂L
∂(∂µφn)
− ∂L
∂φn
= 0. (1.32)
Man kann nun, analog zum oben behandelten Fall, kanonisch konjugierte
Felder definieren:
Πn(x) ≡ ∂L
.
∂(∂0φn)
(1.33)
Damit gilt für die Hamilton-Funktion
H =
d 3
x Πn(x)∂0φn(x) − d 3 x L (φn(x),∂µφn(x))
≡
n
d 3 x H(x), (1.34)
mit der Hamilton-Dichte
H(x) =
Πn(x)∂0φn(x) − L (φn(x),∂µφn(x)) . (1.35)
n
Beschreiben die Feldvariablen ein quantenmechanisches System, dann soll
die Dynamik wie zuvor durch (1.25) und (1.26) bestimmt werden. Als neuer
Aspekt tritt hinzu, dass auch fermionische Felder betrachtet werden können,
für die es kein klassisches Äquivalent gibt. (In der klassichen Physik sind
10

die Koordinaten beobachtbare Größen, denn sie entsprechen der Bahnkurve.
Bei einer Rotation um 360 ◦ gehen fermionischen Variablen jedoch in
ihr Negatives über.) Für fermionische Felder wird (1.25) durch eine Antivertauschungsrelation
ersetzt. Es gelten also folgende kanonische (Anti-)
Vertauschungsregeln
[φn(t,x),Πm(t,y)] ∓ = iδnm δ (3) (x − y) (1.36)
[φn(t,x),φm(t,y)] ∓ = [Πn(t,x),Πm(t,y)] ∓ = 0. (1.37)
Dabei bezeichnet [ , ] − den Kommutator für Felder, die Bosonen beschreiben
(ganzzahliger Spin) und [ , ] + = { , } den Antikommutator für Fermionen
(halbzahliger Spin).
In dieser Vorlesung betrachten wir immer das Heisenberg-Bild. Da weiter
angenommen wird, dass der Hamilton-Operator nicht explizit zeitabhängig
ist, ist die Zeitentwicklung der Felder (und aller abgeleiteten Operatoren)
durch
ψn(t,x) = e iHt ψn(0,x) e −iHt
(1.38)
gegeben. Felder im Wechselwirkungsbild, bei denen in obiger Gleichung H
durch den ungestörten (freien) Hamilton-Operator H0 zu ersetzen ist, werden
mit dem Index ‘I’ gekennzeichnet. Die Vertauschungsrelationen (1.36),
(1.37) sind mit der Zeitentwicklung verträglich. Falls (1.36) für t = 0 gilt,
dann auch für alle t, denn
[φn(t,x),Πm(t,y)] ∓ = e iHt ψn(0,x)e −iHt ,e iHt Πm(0,y)e −iHt
∓
= e iHt [ψn(0,x),Πm(0,y)] ∓ e −iHt = e iHt iδnm δ (3) (x − y) e −iHt
= iδnm δ (3) (x − y) . (1.39)
Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die aus der “Relativistischen Quantentheorie”
bekannten Theorien als kanonische Systeme aus einer Lagrange-
Dichte abgeleitet werden können.
Exkurs: Funktionalableitung
Implizit wurde oben vom Konzept der Funktionalableitung Gebrauch gemacht.
Sei F ein Funktional
F : f(x) → C
11

z.B. die Wirkung S [φn].
Für gewöhnliche Funktionen F(xi) mehrerer Variablen gilt
wobei die ηi klein sein sollen.
∂xi
= δij, (1.40)
∂xj
F(xi + ηi) = F(xi) + ∂F
ηi + ... (1.41)
∂xi
Funktionale hängen von Funktionen ab, deren Funktionswerte als Variablen
aufgefasst werden, die mit dem kontinuierlichen Index x gekennzeichnet werden.
Die Verallgemeinerung der Differentiation ist dann:
i
δf(x)
= δ(x − y) (1.42)
δf(y)
δF [f]
F [f + η] = F [f] + dy η(y) + ... (1.43)
δf(y)
wobei in (1.42) δ(x − y) durch δ (n) (x − y) zu ersetzen ist, wenn x und y
n Komponenten haben. (Streng betrachtet bezeichnet f(x) in (1.42) das
Funktional F : f → f(x), welches einer Funktion f(z) ihren Funktionswert
an der Stelle x zuordnet.)
Als Beispiel soll das Funktional F [f] ≡ ∞
−∞dx f(x)n betrachtet werden.
Dann gilt:
F [f + η] =
⇒
δF [f]
δf(x)
∞
−∞
= F [f] +
= n f(x)n−1
dx (f(x) + η(x)) n
∞
−∞
dx n f(x) n−1 η(x) + ...
(1.44)
Es gilt die Kettenregel und die Produktregel. Bei der Anwendung der Kettenregel
ist zu beachten, dass die Summation über i für gewönhliche Funtionen
mehrerer Veränderlicher in eine Integration über x übergeht.
Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind dann äquivalent zu den Funktionalgleichungen:
δS [φn]
= 0 (1.45)
δφn(x)
12

1.3 Lagrange-Dichten für Teilchen mit Spin 0, 1
2 , 1
Ausgehend von den Feldern werden in diesem Abschnitt relativistische Theo-
,1 konstruiert.
rien von Teilchen mit Spin 0, 1
2
Dimensionsbehaftete Größen werden in der relativistischen Physik durch
ihre Massendimension charakterisiert. Notation: [X] = Massendimension
von X. Da mit c = 1, = 1, c und dimensionslos sind, lassen sich alle
Einheiten auf die Einheit “Masse” zurückführen. Für einige wichtige Größen
findet man
[m] = [Masse] = 1 (Definition)
[p µ ] = [Impuls] = 1 (c = 1)
[x µ ] = [Länge] = −1 (xp hat Einheit Wirkung, d.h. dimensionslos)
[H] = [Energie] = 1 (c = 1)
[d 3 x] = −3
[L] = [H] = 4 (da H = d 3 x H)
[S] = [Wirkung] = 0. (1.46)
Konstruktionsprinzipien für Lagrange-Dichten
1) (Felder) Man gebe die Felder vor, die die Theorie enthalten soll.
2) (Relativistische Invarianz und Symmetrien) Die Lagrange-Dichte ist
von der Form
L(x) =
gi Oi(x). (1.47)
i
Die Oi sind Produkte von Feldern am selben Punkt (Lokalität), die sich
wie Lorentz-Skalare transformieren: O ′ i (x) = U(Λ,a)Oi(x)U(Λ,a) −1 =
Oi(Λx + a). Damit ist die Wirkung und folglich die Dynamik relativistisch
invariant. Die gi sind Konstanten, deren Massendimension so
gewählt wird, dass [giOi] = 4. Falls die Theorie innere Symmetrien
besitzen soll, muss man fordern, dass die Oi(x) auch unter diesen invariant
sind.
3) (Dynamik) L muss Ableitungen ∂µ der Felder enthalten. Andernfalls
verschwände der dem Feld zugeordnete kanonisch konjugierte Impuls
und die Euler-Lagrange Gleichung ∂L/∂φ = 0 ergäbe keine Zeitentwicklung.
(Die Einführung von Feldern ohne Ableitungen als “Hilfsfelder”
kann jedoch manchmal aus technischen Gründen nützlich sein.)
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4) (Renormierbarkeit) Die Massendimension der Feldprodukte Oi soll
nicht größer als vier sein. Die Bedeutung dieser Forderung wird erst
in späteren Kapiteln klar werden. Auch ist sie nicht fundamental und
kann in “Effektiven Quantenfeldtheorien” aufgegeben werden. Die Einschränkung
an die Massendimension der Oi kann deshalb vorläufig
auch als eine vereinfachende Annahme betrachtet werden, welche die
Zahl der möglichen Oi limitiert.
5) (Vollständigkeit) Die Lagrange-Dichte sollte alle Terme enthalten, die
mit 2) und 4) verträglich sind.
Schließlich muss man sicherstellen, dass das Spektrum des Hamilton-Operators
nach unten beschränkt ist, damit es einen stabilen Grundzustand gibt.
Die Eigenwerte des Operators P 2 müssen nicht-negativ sein (keine Tachyonen)
und auf die relativistische Energie-Impulsbeziehung p 0 = m 2 + p 2
führen.
1.3.1 Das skalare Feld
Wir betrachten zunächst ein reelles (als Operator hermitesches) Feld φ(x)
ohne innere Indizes. Der einfachste Lorentz-Skalar, welcher Ableitungen
enthält, ist ∂µφ∂ µ φ, so dass
L ⊃ 1
2 ∂µφ∂ µ φ. (1.48)
Der Koeffizient kann im Prinzip beliebig gewählt werden. Die Wahl 1/2
führt nach Einsetzen der Darstellung des freien Felds durch Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren mit den üblichen Normierungskonventionen (siehe
unten) auf den korrekten freien Hamilton-Operator und wird deshalb als
die kanonische Normierung des kinetischen Terms in der Lagrange-Dichte
bezeichnet.
Die Massendimension von ∂µ ist 1. Damit [L] = 4, muss das skalare Feld
[φ] = 1 besitzen.
Die allgemeinste Lagrange-Dichte eines reellen skalaren Felds, die den Bedingungen
2) - 4) genügt, lautet dann
L = 1
2 ∂µφ∂ µ φ − V (φ) (1.49)
14

mit dem “Potential”
V (φ) = 1
2 m2 φ 2 + λ3
3! φ3 + λ4
4! φ4 . (1.50)
Die Konstanten m und λ3 haben Massendimension 1, λ4 ist dimensionslos.
Die Bezeichnung m und die Normierung kommt daher, dass m sich als die
Masse des durch die freie Theorie beschriebenen Spin-0 Teilchens herausstellt.
Ein konstanter, feldunabhängiger Term λ0 zu V (φ) kann weggelassen
werden, da er keinen Beitrag zu den Bewegungsgleichungen liefert. Ein linearer
Term λ1φ kann durch die Feldredefinition φ ′ = −λ1/m 2 +φ beseitigt
werden und muss deshalb ebenfalls nicht berücksichtigt werden. Solche Feldredefinitionen
sind erlaubt, da sie nur einer anderen Wahl von Koordinaten
zur Beschreibung des Systems entsprechen. Sie sind oft nützlich, um die
Lagrange-Dichte in eine einfachere Gestalt zu bringen.
Das kanonisch konjugierte Feld ist
und die Euler-Lagrange-Gleichung führt auf
Das freie Feld
Π = ∂L
∂(∂0φ) = ˙ φ, (1.51)
(∂ 2 + m 2 )φ + λ3
2 φ2 + λ4
3! φ3 = 0. (1.52)
Eine Theorie bezeichnet man als “frei” (d.h. keine Wechselwirkungen), wenn
die Lagrange-Dichte nur Terme enthält, die höchstens bilinear bzw. quadratisch
in den Feldern sind. Für das skalare Feld bedeutet dies λ3 = λ4 = 0.
Freie Theorien sind exakt lösbar, weil die Feldgleichungen linear sind. Das
freie skalare Feld genügt der Klein-Gordon-Gleichung, vgl. (1.52).
Die Lösung der Theorie ergibt sich aus der Entwicklung des Felds in der
Form
φ(x) =
e −ipx a(p) + e ipx a †
(p) . (1.53)
d 3 p
(2π) 3 2p 0
Man beachte, dass der Operator a(p) zeitunabhängig ist, so dass die Zeitentwicklung
durch die Exponentialfunktionen festgelegt ist. Dass es sich
tatsächlich um eine Lösung der Theorie handelt, folgt daraus, dass dieser Ansatz
die Klein-Gordon-Gleichung löst, falls p 2 = m 2 (d.h. p 0 = m 2 + p 2 ),
15

und dass die kanonischen Vertauschungsregeln für φ und Π erfüllt werden,
wenn a(p) und a † (p) gerade den kanonischen Vertauschungsregeln für
Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren
[a(p),a(p ′ )] = [a † (p),a † (p ′ )] = 0,
[a(p),a † (p ′ )] = 2p 0 (2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) (1.54)
genügen. Diese erzeugen dann bekanntlich die Zustände eines Fock-Raums
von nicht-wechselwirkenden identischen Spin-0 Teilchen der Masse m.
Zur Verifikation der kanonischen Vertauschungsregeln der Felder berechnet
man aus (1.53) und (1.54) den Feldkommutator
[φ(x),φ(y)] = ∆(x − y) ≡
Daraus folgt
d 3 p
(2π) 3 2p 0
e −ip(x−y) − e ip(x−y)
. (1.55)
[φ(t,x),φ(t,y)] = ∆(x − y)| x 0 =y 0 = 0, (1.56)
[φ(t,x),Π(t,y)] = ∂
∂y 0∆(x − y))| x 0 =y 0
d
= i
3p (2π) 32p = i
[Π(t,x),Π(t,y)] = ∂
∂x0
=
p0 e 0 ip(x−y) + e −ip(x−y)
d3p (2π) 3 eip(x−y) = iδ (3) (x − y) , (1.57)
∂
∂y 0∆(x − y)| x 0 =y 0
d 3 p
(2π) 3 2p 0
p 0 2
e ip(x−y) − e −ip(x−y)
= 0, (1.58)
wobei im zweiten Exponential die Substitution p → −p durchgeführt werden
muss.
Der Hamilton-Operator der (freien) Theorie ist
H0 = d 3
x Π(x) ˙
φ(x) − L0(x)
16

=
d 3 x 1
2
∂φ 2 ∂t
2 + ∇φ + m 2 φ 2
. (1.59)
Einsetzen von (1.53) ergibt unter Verwendung der Vertauschungsrelationen
(1.54) den Ausdruck
H0 =
d 3 p
(2π) 3 2p 0 p0 a † (p)a(p), (1.60)
welcher erwartungsgemäß den Energieoperator eines freien Vielteilchensystems
darstellt. Die aus der relativistischen Quantentheorie bekannten Resultate
für das skalare Feld bzw. das neutrale Spin-0 Teilchen folgen also aus
dem Lagrange-Formalismus.
Das komplexe skalare Feld
Man kann dieses auf zwei reelle Felder zurückführen, indem man es in seinen
Real- und Imaginärteil aufspaltet,
φ(x) = 1 √ 2 (φ1(x) + iφ2(x)) , (1.61)
und φ1 und φ2 als die kanonischen Variablen betrachtet. Die Hamilton-
Dichte ist dann durch
H = Π1 ˙ φ1 + Π2 ˙ φ2 − L (1.62)
gegeben. Üblicher und einfacher ist es jedoch, φ und φ † als die zwei unabhängigen
Koordinaten aufzufassen. Aus (1.61) und (1.62) erhält man
H = Π ˙ φ + Π † ˙ φ † − L. (1.63)
Die Lagrange-Dichte muss reell sein, damit der Hamilton-Operator hermitesch
ist. Die allgemeinste Lagrange-Dichte lautet deshalb
L = ∂µφ † ∂ µ φ − V (φ,φ † ), (1.64)
wobei das Potential reell sein muss. Der Koeffizient vor dem Ableitungsterm
entspricht mit (1.61) der kanonischen Normierung. Das Potential lautet im
Allgemeinen
V (φ,φ † ) = m 2 φ † φ + λ
4 (φ† φ) 2
17

+ nφ 2 + λ31φ 3 + λ32φ 2 φ † + λ41φ 4 + λ42φ 3 φ †
+ h.c. . (1.65)
Die Konstanten m, λ müssen reell sein, die übrigen können auch komplexe
Werte annehmen. Drückt man dieses Potential durch die reellen Felder φ1,2
aus, erkennt man, dass die Theorie zwei Spin-0 Teilchen mit verschiedenen
Massen und verschiedenen Wechselwirkungen beschreibt. Die zugehörigen
reellen Felder sind Linearkombinationen von φ1 und φ2.
Das komplexe skalare Feld im eigentlichen Sinne ist dann nützlich, wenn man
zusätzlich fordert, dass die Lagrange-Dichte unter einer inneren Symmetrie,
nämlich der U(1)-Symmetrie φ(x) → e iα φ(x) (α reell) invariant ist. Dann
muss V eine Funktion von φ † φ sein und nur die Terme in der ersten Zeile
von (1.65) sind zugelassen. Die Lagrange-Dichte beschreibt dann zwei Spin-0
Teilchen mit gleichen Massen (gleich m in der freien Theorie, λ = 0), die als
Teilchen und Antiteilchen betrachtet werden können.
Die freie Theorie (λ = 0) mit der Feldgleichung (∂ 2 + m 2 )φ = 0 kann durch
den Ansatz
φ(x) =
d 3 p
(2π) 3 2p 0
e −ipx a(p) + e ipx b †
(p)
(1.66)
gelöst werden. Da der Feldoperator nicht hermitesch sein muss, enthält der
Ansatz den Vernichtungs- und Erzeugungsoperator von zwei verschiedenen
Objekten (Teilchen und Antiteilchen). Man kann sich davon überzeugen,
dass die kanonischen Vertauschungsrelationen für die Felder erfüllt sind,
wobei jetzt Π = ˙ φ † , wenn die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren die
kanonischen Relationen erfüllen. Die Tatsache, dass nur φ † φ im Potential
auftritt, führt dazu, dass Teilchen und Antiteilchen nur in Paaren erzeugt
und vernichtet werden. Schreibt man dem Teilchen eine Ladung und dem
Antiteilchen die entgegengesetzte Ladung zu, folgt, dass die Ladung erhalten
ist. Dies zusammen mit der gleichen Masse der beiden Objekte rechtfertigt
gerade die Interpretation als Teilchen und Antiteilchen.
Für den freien Hamiltonoperator H0 erhält man
H0 = d 3
∂φ †
∂φ
x
+ ∇φ †
∂t ∂t
∇φ
=
+ m 2 φ †
φ
d3p (2π) 3
p0 a
2p0 † (p)a(p) + b †
(p)b(p) . (1.67)
Damit werden im Lagrange-Formalismus die aus der relativistischen Quantentheorie
bekannten Resultate für das freie, komplexe skalare Feld reproduziert.
18

1.3.2 Das Dirac-Spinorfeld
Ein Dirac-Spinor wird aus einem linkshändigen und einem rechtshändigen
Spinor zusammengesetzt und ist deshalb ein vierkomponentiges Objekt ψα,
welches unter Lorentz-Transformationen gemäß
ψ ′ α (x) = U(Λ,a)ψα(x)U(Λ,a) −1 = D(Λ −1 )αβψβ(Λx + a) (1.68)
transformiert, wobei D(Λ) die vierdimensionale Darstellung ist, die aus der
direkten Summe der linkshändigen und rechtshändigen zweidimensionalen
Spinordarstellungen der Lorentz-Gruppe gebildet wird. Mit der Definition
¯ψ ≡ ψ † γ 0 folgt, dass ¯ ψψ ein Skalar und ¯ ψγ µ ψ ein Vierervektor ist (siehe
“Relativistische Quantentheorie”).
Der einfachste Lorentz-Skalar, welcher Ableitungen enthält, ist ¯ ψγ µ ∂µψ, so
dass
L ⊃ a ¯ ψ ∂ ψ (1.69)
mit der Konvention ∂ ≡ γ µ ∂µ. Der Koeffizient wird wieder so gewählt, dass
die Darstellung des freien Felds durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
mit den üblichen Normierungskonventionen auf den korrekten freien
Hamiltonoperator führt. Daraus folgt a = i. Das Spinorfeld hat deshalb
die Massendimension [ψ] = 3/2. Den Term ¯ ψγ5γ µ ∂µψ mit γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
kann man dagegen nicht zur Lagrange-Dichte hinzufügen, denn dann ergäbe
entweder der linkshändige oder der rechtshändige Anteil des Spinors einen
negativen Beitrag zur Energiedichte, so dass das Energiespektrum nicht von
unten beschränkt ist.
Man beachte, dass ¯ ψ i∂ ψ kein hermitescher Operator ist. Es gilt jedoch
i
¯ψγ µ
∂µψ − (∂µ
2
¯ ψ)γ µ ψ = ¯ ψ i∂ ψ − i
2 ∂µ
¯ψγ µ
ψ . (1.70)
Da totale Ableitungen für die Wirkung und damit die Dynamik keine Rolle
spielen, kann man statt des hermiteschen Ausdrucks auf der linken Seite
auch den ersten Term auf der rechten Seite verwenden, was der üblichen
Konvention entspricht.
Die allgemeinste Lagrange-Dichte des Dirac-Spinorfelds, die den Bedingungen
2) - 4) genügt, lautet dann
L = ¯ ψ i∂ ψ − a ¯ ψψ − ib ¯ ψγ5ψ. (1.71)
19

Alle möglichen Terme sind bilinear in ψ, d.h. es gibt keine Selbstwechselwirkungen
des Dirac-Spinorfelds mit einer Massendimension kleiner oder gleich
vier. Da ¯ ψψ hermitesch und ¯ ψγ5ψ antihermitesch ist, müssen a und b reelle
Konstanten mit der Massendimension Eins sein. Die zwei neuen Terme
entsprechen der Tatsache, dass man aus einem rechtshändigen und einem
linkshändigen Spinor ψ †
R ψL und ψ †
L ψR bilden kann, so dass der allgemeinste
Skalar die Form (Mψ †
R ψL+c.c) mit komplexem M hat. Durch eine Feldredefinition
kann man jedoch immer b = 0 erreichen. Dazu schreibt man (1.71)
in der äquivalenten Form
L = ¯ ψ i∂ ψ − m cos θ ¯ ψψ + isin θ ¯ ψγ5ψ = ¯ ψ (i∂ − m e iθγ5 )ψ (1.72)
und redefiniert das Feld gemäß
ψ → e −iαγ5 ψ. (1.73)
(Dies entspricht der Multiplikation des rechts- und linkhshändigen Anteils
mit entgegengesetzten Phasen.) Mit {γ5,γ µ } = 0 und (γ5) 2 = 1 folgt,
¯ψγ µ ψ → ¯ ψγ µ ψ, ¯ ψ e iθγ5 ψ → ¯ ψ e i(θ−2α)γ5 ψ. (1.74)
Man wählt also α = θ/2, um die Standardform
L = ¯ ψ i∂ ψ − m ¯ ψψ (1.75)
zu erhalten. Die reelle Konstante m hat die Massendimension 1 und erweist
sich als die Masse des durch das freie Feld erzeugten Spin-1 2 Teilchens. Dass
es sich um ein Spin-1 2 Teilchen handelt, folgt daraus, dass (1.68) für die
Dirac-Darstellung D(Λ) nur dann gelten kann, wenn die U(Λ,a) eine unitäre
Spin-1 2 Darstellung der Poincaré-Gruppe auf dem Fockraum bilden (siehe
“Relativistische Quantentheorie”).
Die Lagrange-Dichte (1.75) ist erster Ordnung in den Ableitungen des Felds.
Diese Eigenschaft ist charakteristisch für fermionische Felder. Damit verknüpft
ist die Feststellung, dass ψ und ψ † nicht wie im Fall des komplexen
skalaren Felds als unabhängige kanonische Koordinaten betrachtet werden
dürfen. Vielmehr gilt
Πα = ∂L
∂(∂0ψα) = i( ¯ ψγ 0 )α = iψ † α, (1.76)
20

d.h. das adjungierte Feld ist das kanonisch konjugierte Feld. Im Gegensatz
zu bosonischen Feldern enthält das konjugierte Feld nicht die Zeitableitung
des Felds. Der Hamilton-Operator lautet dann
H = d 3
x Πα ˙
ψα − L
= d 3 x ¯
1
ψ(x)
i γi∇ i
+ m ψ(x). (1.77)
Die Lagrange-Dichte (1.75) führt also auf den aus der relativistischen Quantentheorie
bekannten Hamilton-Operator für das Dirac-Feld. (Man beachte,
dass iγ µ ∂µ = iγ0∂0 − iγi∂i = iγ0 ∂
∂t + iγi∇i , da ∂ µ = ∂
∂t , −∇i .) Ebenso
führt die Euler-Lagrange-Gleichung auf die Dirac-Gleichung:
∂µ
∂L
∂(∂µψ) = i∂µ( ¯ ψγ µ ) = ∂L
∂ψ = −m ¯ ψ. (1.78)
Man multipliziere diese Gleichung mit γ 0 von rechts, verwende (γ 0 ) 2 = 1
und γ 0 γ µ γ 0 = (γ µ ) † , und adjungiere, um
zu erhalten.
s=± 1
2
d 3 p
(2π) 3 2p 0
(i∂ − m)ψ = 0 (1.79)
Die freie Theorie (1.75) kann exakt gelöst werden. Dazu wird das Feld in die
Form
ψα(x) =
e −ipx uα(p,s)a(p,s) + e ipx vα(p,s)b †
(p,s)
(1.80)
entwickelt. Dies liefert eine Lösung der Dirac-Gleichung, wenn p 2 = m 2 und
(p − m)u(p,s) = 0, (p + m)v(p,s) = 0. (1.81)
Für jede dieser Gleichungen gibt es zwei linear unabhängige Lösungen (durch
s gekennzeichnet), deren explizite Form wie in der relativistischen Quantentheorie
gewählt werden kann. Die Existenz von genau zwei unabhängigen
Lösungen impliziert die im Ansatz vorweg genommene Summation über
zwei Terme, s = ± 1
2 . Weiter muss man zeigen, dass die kanonischen Vertauschungsregeln
für ψα und Πβ erfüllt sind, wenn die Vernichtungs- und
Erzeugungsoperatoren a(p,s), b(p,s), ... die üblichen Vertauschungsrelationen
erfüllen. Dies soll hier nicht explizit durchgeführt werden (siehe “Relativistische
Quantentheorie”). Es sei jedoch hervorgehoben, dass man an dieser
21

Stelle Antivertauschungsrelationen fordern muss, um sicher zu stellen, dass
die Felder bei raumartigen Abständen (anti)vertauschen.
Explizit findet man die Antivertauschungsrelationen
{ψα(x),ψβ(y)} = 0
ψα(x),
(1.82)
¯ ψβ(y) = (i ∂ + m)αβ∆(x − y)
=
(p + m)e −ip(x−y) − (− p + m)e ip(x−y)
. (1.83)
d 3 p
(2π) 3 2p 0
Damit gilt für x 0 = y 0 :
ψα(t,x), ¯ ψβ(t,y)
=
d3p (2π) 32p0 e+ip(x−y) p 0 γ 0 − p · γ + m + p 0 γ 0 + p · γ − m
= (γ 0 )αβ δ (3) (x − y) . (1.84)
Die kanonischen Vertauschungsrelationen sind also für Πα = iψ † α erfüllt.
Die Lagrange-Dichte (1.75) ist invariant unter den Phasentransformationen
ψ → eiαψ. Analog zum komplexen skalaren Feld folgt daraus, dass der Dirac-
Spinor eine geladenes Spin-1 2 Teilchen mit Masse m und das dazugehörige
entgegengesetzt geladene Antiteilchen mit gleicher Masse beschreibt.
Wechselwirkungen
Mit der Einschränkung, dass die Feldprodukte in der Lagrange-Dichte die
Massendimension vier nicht überschreiten sollen, lassen sich Wechselwirkungsterme
für Dirac-Felder nur zusammen mit anderen Feldtypen konstruieren.
Zum Beispiel sind in einer Theorie von einem Dirac- und einem reellen,
skalaren Feld die einzig möglichen Wechselwirkungsterme
Lint = aφ ¯ ψψ + bφ ¯ ψγ5ψ. (1.85)
Der zweite Term enthält γ5, und ist deshalb kein Lorentz-Skalar, sondern
ein Pseudoskalar:
U(Λ,a) ¯ ψγ5ψ U(Λ,a) −1 = detΛ · ( ¯ ψγ5ψ)(Λx + a) (1.86)
Solche Terme verletzen die Paritätssymmetrie (Lorentz-Transformationen
mit Determinante −1). Sie sind jedoch erlaubt, wenn man die Forderung
nach Lorentz-Invarianz auf die Zusammenhangskomponente der Eins einschränkt.
22

Weyl- und Majorana-Feld
Der kanonische kinetische Term für das linkshändige Zweispinorfeld lautet
L ⊃ ψ † i¯σ µ ∂µψ. (1.87)
Die einzigen weiteren Terme der Massendimension ≤ 4 führen auf den
Majorana-Massenterm. Die weitere Diskussion ist ähnlich zu der für das
Dirac-Feld (siehe Übungsaufgabe).
1.3.3 Das massive Vektorfeld
Wir betrachten hier das reelle, massive Vektorfeld A µ (x). Der Grenzfall
m → 0 wird anschließend diskutiert. Die Verallgemeinerung auf komplexe
Vektorfelder verläuft analog zum skalaren Feld.
Der einfachste Lorentz-Skalar, der Ableitungen enthält, ist ∂µA µ . Dieser
Term allein führt jedoch auf eine feldunabhängige, triviale Euler-Lagrange-
Gleichung. In Gegenwart weiterer Terme kann er eliminiert werden. Wie
beim skalaren Feld betrachten wir also zunächst quadratische Terme der
Form ∂A∂A, woraus folgt, dass [A µ ] = 1. Es gibt jedoch drei verschiedene
Möglichkeiten, die Lorentz-Indizes von A und ∂ zu kontrahieren: ∂µA ν ∂µA ν ,
∂µA ν ∂νA µ , ∂µA µ ∂νA ν . Wie in der Elektrodynamik definiert man den Feldstärketensor
Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ. (1.88)
Die allgemeinste Lagrange-Dichte, die quadratisch in A µ ist, lautet dann
L0 = − a
4 FµνF µν + b
2 (∂µA ν )(∂µA ν ) + c
2 (∂µA µ )(∂νA ν )
+ 1
2 m2 A µ Aµ. (1.89)
Um die Bedeutung der dimensionslosen Konstanten a, b und c zu klären,
berechnen wir die kanonisch konjugierten Felder
Πρ =
∂L
∂(∂0Aρ = −a
)
+ b
2
2 F µν δ 0 µ gρν − δ 0 ν gρµ
δ 0 µ gρν∂ ν A µ + g 0ν δ µ ρ ∂µAν
0
+ cδµ δ µ ν
ρ∂νA = aF 0
ρ + b∂ρA 0 + cδ 0 ρ ∂µA µ . (1.90)
23

Die vierdimensionale Darstellung der Lorentz-Gruppe spaltet bezüglich der
dreidimensionalen Rotationen in eine eindimensionale Spin-0 und eine dreidimensionale
Spin-1 Darstellung auf. Das Vektorfeld soll so konstruiert werden,
dass es nur ein Spin-1 Teilchen beschreibt. Man benötigt also eine
Zusatzbedingung, welche die Zahl der kanonischen Variablen von vier auf
drei, entsprechend den drei Spinzuständen eines Spin-1 Objekts, reduziert.
Man fordert deshalb
Π 0 = (b + c)∂ 0 A 0 − c∂ i A i = 0, (1.91)
so dass b = c = 0. Die freie Lagrange-Dichte lautet also
L0 = − 1
4 FµνF µν + 1
2 m2 A µ Aµ. (1.92)
Die Wahl a = 1 entspricht hier der kanonischen Normierung, m ist dann die
Masse des Spin-1 Teilchens. (Das andere Vorzeichen im Vergleich zum skalaren
Feld folgt daraus, dass A µ Aµ = (A 0 ) 2 − A 2 .) Man beachte, dass wegen
Π 0 = 0 nur die Dreierkomponenten A i als kanonische Variablen betrachtet
werden. Das Feld A 0 wird durch die anderen Felder bestimmt und besitzt
keine eigenständige Zeitentwicklung.
Als mögliche Wechselwirkungsterme des Vektorfelds kommen Kombinationen
der Form A 2 ∂A und A 4 in Frage. In der Elektrodynamik (Grenzfall m →
0) sind diese Terme durch die Forderung der Eichsymmetrie ausgeschlossen,
die wiederum notwendig ist, damit der Grenzfall m → 0 durchgeführt
werden kann (siehe unten). Dies erklärt, warum Photonen keine Selbstwechselwirkung
besitzen. Später werden wir allgemeinere, nicht-abelsche Eichsymmetrien
kennen lernen, für die dies nicht mehr der Fall ist. Zusammen
mit einem Dirac-Spinorfeld kann man die Wechselwirkungsterme ¯ ψγ µ ψAµ,
¯ψγ µ γ5ψAµ bilden, von denen der zweite nicht paritätssymmetrisch ist und
deshalb in der Elektrodynamik nicht auftritt. Im Folgenden betrachten wir
Lint = −JµA µ , (1.93)
wobei Jµ ein Vierervektor sein soll, der von anderen Feldern abhängt (Jµ =
−e ¯ ψγ µ ψ entspräche der “massiven” Elektrodynamik), aber nicht von A µ
selbst.
Mit Π 0 = 0 sind die drei kanonisch konjugierten Felder durch
Πi = −Π i = −F i0 = −∂ i A 0 + ∂ 0 A i = ˙ A i + ∇ i A 0 = −E i , (1.94)
24

d.h. durch (minus) die elektrischen Felder gegeben. Die Euler-Lagrange-
Gleichung folgt mit
∂L
∂ (∂νAµ) = F µν und
∂L
∂Aµ
= m 2 A µ − J µ
(1.95)
=⇒ ∂νF νµ + m 2 A µ = J µ . (1.96)
Die freie Theorie (Jµ = 0) kann wieder exakt gelöst werden und führt auf
die aus der relativistischen Quantentheorie bekannten Resultate für das freie
massive Vektorfeld. Durch Anwendung von ∂µ auf (1.96) erhält man die
freien Feldgleichungen
∂ 2 + m 2 A µ = 0, ∂µA µ = 0. (1.97)
Diese können durch den Ansatz
A µ (x) =
λ
d 3 p
(2π) 3 2p 0
e −ipx ε µ (p,λ)a(p,λ) + e ipx ε µ (p,λ) ∗ a † (p,λ)
(1.98)
gelöst werden. Die erste Gleichung in (1.97) verlangt p 2 = m 2 bzw. p 0 =
m 2 + p 2 , die zweite ε µ (p,λ) · pµ = 0. Aufgrund dieser Einschränkung
ergeben sich drei linear unabhängige Lösungen für die Polarisationsvektoren,
die so gewählt werden, dass
λ=0,±1
ε µ (p,λ)ε ν (p,λ) ∗ = −g µν + pµ p ν
,
. (1.99)
m2 Schließlich überzeugt man sich davon, dass die kanonischen Vertauschungsrelationen
für A und Π erfüllt sind, wenn die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
die kanonischen Relationen erfüllen. Man erhält also wie
erwartet die freie Theorie eines massiven Spin-1 Teilchens.
Wir kehren zurück zur wechselwirkenden Theorie und berechnen die Hamilton-Dichte.
Zunächst notieren wir, dass (1.96) für µ = 0 nach A 0 aufgelöst
werden kann:
A 0 = 1
m2 i i0 0
∂ F + J = − 1
m2
∇ · E 0
− J
. (1.100)
Diese Gleichung enthält keine Zeitableitung von A 0 und drückt die Tatsache
aus, dass A 0 durch die übrigen dynamischen Felder der Theorie bestimmt
ist. Die Hamilton-Dichte ist
H = −E i ˙ A i − L. (1.101)
25

Der erste Term resultiert aus Πµ ˙ A µ → −E i ˙ A i , da A 0 nicht als kanonische
Variable gezählt werden darf. Da H als Funktion von A und E betrachtet
wird, muss die Zeitableitung von A eliminiert werden. Aus der Definition
von E und (1.100) erhält man
Außerdem gilt:
˙A i = −E i + 1
m 2 ∇i ∇ · E − J 0
. (1.102)
− 1
4 FµνF µν = − 1
F0iF
4
0i + Fi0F i0 + FijF ij
= 1
2 F i0 F i0 − 1
4 F ij F ij
= 1
2 E 2 − 1
2
= 1
2 E 2 − 1
2
Damit erhält man
H = 1
2 E 2 + 1
2 ∇ × A
−
2
1
− 1
2m 2
∇ · E − J 0 2
∂ i A j ∂ i A j − ∂ i A j ∂ j A i
2 ∇ × A
. (1.103)
m 2 Ei ∇ i ∇ · E − J 0
+ 1
2 m2 A 2
− 1
m 2J0 ∇ · E − J 0
− J · A
= 1
2 E 2 + 1
2 ∇ × A
+
2
1
2m2 2 ∇ · E
+ 1
2 m2A 2
H0
J 0 2
− J · A − 1
m2 J0 ∇ · E
1
+
2m2 . (1.104)
Hint
Im Gegensatz zur Lagrange-Dichte L = L0 + Lint besitzt H keine manifest
kovariante Form. Dies liegt daran, dass A 0 und A, bzw. Π 0 und Π im
kanonischen Formalismus unterschiedlich behandelt werden, was wiederum
eine Konsequenz der Tatsache ist, dass die vierdimensionale Vektordarstellung
der Lorentz-Gruppe bezüglich der dreidimensionalen Rotationen nicht
irreduzibel ist und ohne eine zusätzliche Einschränkung Spin-1 und Spin-0
Zustände beschreibt.
26

Grenzfall m → 0
Der Grenzübergang m → 0 kann nicht einfach durchgeführt werden. Die
singulären Terme in (1.104) lassen sich zu
1
m2
∇ · E 0
− J 2 (1.105)
zusammenfassen. Der Limes m → 0 kann also gebildet werden, wenn man
die zusätzliche Nebenbedingung
∇ · E = J 0
(1.106)
stellt, die gerade dem Gauß-Gesetz der Elektrodynamik entspricht. Aus
(1.100) folgt dann A 0 = 0, d.h. man erhält hier die Elektrodynamik in der
Coulomb-Eichung, wie sie auch in der relativistischen Quantentheorie behandelt
wurde. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung (1.96) folgt weiter ∂µJ µ = 0,
d.h. die Gleichungen sind für m = 0 nur konsistent, wenn der Strom J µ
erhalten ist. Die Hamilton-Dichte ist
H = 1
2 E 2 + 1
2 ∇ × A
+ JµA
2
µ . (1.107)
Wechselwirkende masselose Vektorfelder müssen also an erhaltene Ströme
koppeln. Die Erhaltung des Stroms ist wiederum mit der Eichsymmetrie
verknüpft. In der Tat ist die Hamilton-Dichte invariant unter der Eichtransformation
A µ → A µ +∂ µ χ. Die Eichsymmetrie eliminiert einen weiteren Freiheitsgrad
im Einklang mit der Tatsache, dass ein masseloses Vektorteilchen
nur zwei Polarisationszustände besitzt. Diese Reduktion von Freiheitsgraden
spiegelt sich wiederum in der Nebenbedingung ∇ · E = J 0 wieder.
Die Quantisierung von kanonischen Systemen mit Nebenbedingungen oder
Eichsymmetrien führt zu zusätzlichen Komplikationen, die man, insbesondere
für den allgemeinen nicht-abelschen Fall, am einfachsten im Pfadintegralformalismus
behandelt.
1.3.4 Übergang zum Wechselwirkungsbild
Ausgehend von einer Lagrange-Dichte L lässt sich mit dem bisherigen Verfahren
der Hamilton-Operator H des Quantensystems bestimmen. Dabei
27

wird das Heisenberg-Bild verwendet. Die Zustände des Systems sind zeitunabhängig,
die Feldoperatoren evolvieren gemäß der Heisenberg-Gleichung,
∂
φ(x) = i[H,φ(x)] , (1.108)
∂t
bzw. φ(t,x) = e iHt φ(0,x) e −iHt , (1.109)
weil H keine explizite Zeitabhängigkeit besitzt. Außer für freie Felder, für
welche die Feldgleichung linear ist, kann man die Zeitentwicklung in der
Regel nicht exakt analytisch lösen. Die wechselwirkenden Felder entwickelt
man auch nicht in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Impulseigenzuständen,
denn diese sind zeitunabhängig. Eine solche Entwicklung
des Feldoperators φ(x) ist also nur möglich, wenn seine Zeitabhängigkeit
bekannt ist.
Wenn die Wechselwirkung schwach ist, kann die Dynamik des Systems mit
Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie gelöst werden. Dazu verwendet
man das Wechselwirkungsbild, das wie folgt definiert wird: bei t = 0 spalte
man H = H0 + Hint in einen ungestörten Anteil und eine Störung auf. Zu
diesem Zeitpunkt sollen die Felder im Wechselwirkungsbild mit den Feldern
im Heisenberg-Bild übereinstimmen:
φI (0,x) ≡ φ(0,x). (1.110)
Die Zeitentwicklung der Felder im Wechselwirkungsbild wird jedoch per Defnition
durch H0 (bei t = 0) bestimmt,
φI (t,x) ≡ e iH0t φI (0,x) e −iH0t , (1.111)
woraus insbesondere folgt, dass HI0 = H0 zeitunabhängig ist. Die Zustände
im Wechselwirkungsbild sind mit den zeitunabhängigen Zuständen des Heisenberg-Bilds
durch
|ψI〉(t) = e iH0t e −iHt |ψ〉 (1.112)
verknüpft. Dann sind die Matrixelemente in beiden Bildern gleich:
〈ψI(t)|AI(t)|ψI(t)〉 = 〈ψ|e −iHt e iH0t AI(t)e iH0t e −iHt |ψ〉
= 〈ψ|e −iHt AI(0)e −iHt |ψ〉 = 〈ψ|e −iHt A(0)e −iHt |ψ〉
= 〈ψ|A(t)|ψ〉. (1.113)
Die zeitabhängige Störungstheorie führt die Berechnung der linken Seite auf
die Berechnung von Matrixelementen in den ungestörten Zuständen zurück.
28

In der relativistischen Quantentheorie sind dies die Fock-Zustände von nichtwechselwirkenden
Teilchen. Die Auswertung der einzelnen Terme wird mit
dem in der “Relatvistischen Quantentheorie” abgeleiteten Wick-Theorem
und den Feynman-Regeln vereinfacht.
Die Berechnung von Übergangsmatrixelementen in einer durch L spezifizierten
Theorie in der Störungstheorie geschieht also im Allgemeinen wie
folgt:
1. Man bestimme den Hamilton-Operator H.
2. Man zerlege bei t = 0: H = HI = HI0 + HI int. Da die Felder
im Wechselwirkungsbild mit HI0 evolvieren, genügen sie den freien
Feldgleichungen und können wie freie Felder in der üblichen Weise in
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren entwickelt werden. Präziser
ausgedrückt muss die Aufspaltung in einen freien und einen Wechselwirkungsanteil
genau so vorgenommen werden, damit dies möglich ist,
was dann der Fall ist, wenn HI0 dargestellt durch Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren die Form
HI0 =
alle s
Teilchensorten
d3p (2π) 3
p0 a
2p0 † (p,s)a(p,s) + [evtl. Antiteilchen]
(1.114)
annimmt, was die Interpretation als freien Hamilton-Operator rechtfertigt.
3. Man drücke HI int[φI,ΠI] wieder durch φI und seine Ableitungen aus.
Im Allgemeinen ist die funktionale Form von ˙ φI = ˙ φI(φI,ΠI) nicht
gleich der von ˙ φ = ˙ φ(φ,Π), da
˙φI = i[HI0,φI] , aber ˙ φ = i[H,φ]. (1.115)
Der so bestimmte Hamilton-Operator der Wechselwirkung im Wechselwirkungsbild
geht in die grundlegenden Gleichungen für die Störungsentwicklung
ein und bestimmt die Form der “Vertizes” in den Feynman-Regeln
(siehe “Relativistische Quantentheorie”).
Dieses Verfahren wird im Folgenden durch zwei Beispiele erläutert. Damit
ist der Zusammenhang zwischen dem Lagrange-Formalismus und der
in der “Relativistischen Quantentheorie” behandelten Störungstheorie hergestellt.
In dieser Vorlesung wird jedoch ein anderer Zugang verfolgt, in
dem die Störungstheorie über die Pfadintegraldarstellung definiert wird. Die
Einführung des Wechselwirkungsbilds ist in diesem Zugang nicht nötig.
29

Beispiel 1
Es sei
L = 1
2 ∂µφ∂ µ φ + ¯ ψ i∂ ψ − m ¯ ψψ + g φ ¯ ψψ. (1.116)
Mit Πφ = ˙ φ und Πψ = iψ † erhält man
H = 1
Π
2
2 φ + ( ∇φ) 2
+ Πψ(−iγ 0
1
)
i γi∇ i
+ m ψ
H0
− g φΠψ(iγ 0 )ψ . (1.117)
Hint
In diesem Ausdruck werden (bei t = 0) alle Felder durch die im Wechselwirkungsbild
ersetzt. Die Aufspaltung in den freien und wechselwirkenden
Anteil wird tentativ wie angegeben vorgenommen. Dann berechnet man mit
Hilfe der kanonischen Vertauschungsregeln
˙φI(t,x) = i[HI0,φI(t,x)] =
d 3 y 1 2
ΠφI (t,y),φI(t,x)
2
= ΠφI(t,x).
(1.118)
Für das Spinorfeld ist die Definition iψ †
I = ΠψI konsistent mit den Vertauschungsregeln.
Eliminiert man nun ΠφI und ΠψI aus (1.117), erhält man
für H0 die bekannte freie Hamiltondichte für ein reelles skalares und ein
Dirac-Spinorfeld, was die Aufspaltung rechtfertigt. Die Wechselwirkungs-
Hamilton-Dichte ist folglich
HI int = −gφI ¯ ψIψI = −Lint(φI,ψI). (1.119)
Dieser Zusammenhang zwischen der Lagrange-Dichte und der Hamilton-
Dichte der Wechselwirkungsterme gilt häufig aber nicht immer, wie das
nächste Beispiel zeigt.
Beispiel 2 (Massives Vektorfeld)
Ziel ist die Bestimmung des Wechselwirkungs-Hamilton-Operators im Wechselwirkungsbild
für die “massive Elektrdynamik” mit der Lagrange-Dichte
L = − 1
4 FµνF µν + 1
2 m2 A µ Aµ − JµA µ . (1.120)
30

Die Hamilton-Dichte ist durch (1.104) gegeben. Die in dieser Gleichung angedeutete
Aufspaltung in einen freien und einen wechselwirkenden Anteil ist
im Folgenden noch zu rechtfertigen.
Zunächst wird in (1.104)
ersetzt. Das Feld A 0 I
A → AI , E → EI . (1.121)
ist durch die Vorschrift für den Übergang zum Wechselwirkungsbild
nicht festgelegt. Man definiert deshalb
A 0 I
≡ − 1
m 2 ∇ · EI. (1.122)
Aus den kanonischen Vertauschungsregeln für die Felder im Wechselwirkungsbild
folgen die Beziehungen:
˙AI = i H0,
AI
˙EI = i H0,
EI
= − EI + 1
m2
∇ ∇ · EI
, (1.123)
= − ∇ 2 AI
+
∇ ∇ · AI
+ m 2 AI . (1.124)
Um zu (1.124) gelangen, wurde von der Identität ( ∇ × A) 2 = ∇ i A j ∇ i A j −
∇ i A j ∇ j A i Gebrauch gemacht. Die Motivation für die Definition von A 0 I wird
damit klar, denn die erste Gleichung impliziert dann den üblichen Ausdruck
für das elektrische Feld,
EI = − ˙ AI − ∇A 0 I . (1.125)
Eliminiert man nun EI in (1.122) und (1.124), erhält man
∇ 2 A 0 I + ˙AI ∇ · − m 2 A 0 I = 0, (1.126)
∇ 2 AI
−
∇ ∇ · AI
− ¨ AI
− ∇ · A˙ 0
I − m 2 AI
= 0. (1.127)
Diese beiden Gleichungen lassen sich zu
zusammenfassen. Bildet man ∂µ erhält man
∂µA µ
I
∂ 2 A µ
I − ∂µ ∂νA ν I + m 2 A µ
I = 0 (1.128)
= 0 und
∂ 2 + m 2 A µ
I
31
= 0, (1.129)

d.h. die korrekten Bewegungsgleichungen für das freie Feld, das entsprechend
(1.98) in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren entwickelt werden kann.
Damit kann man auch die Vertauschungsrelationen explizit verifizieren. Aus
A µ
I (x),Aν I (y) = (−1)
g µν + ∂µ ∂ ν
m 2
∆(x − y) (1.130)
berechnet man z.B.
A i I(t,x), −E j
I (t,y)
= A i I(t,x), ˙ A j
I (t,y) + ∇jA 0
I(t,y)
ij ∂
= δ
∂y0∆(x − y)| x0 ∂
=y0 −
∂y0 ∇i∇j m2 ∆(x − y)| x0 =y0 ∂
j
∇i
∂x − ∇ 0
m2 ∆(x − y)| x0 =y0 = δ ij iδ (3) (x − y) , (1.131)
wie gefordert und in der Ableitung der Bewegungsgleichungen verwendet.
Man beachte, dass das zu A i kanonisch konjugierte Feld Πi = −E i ist.
Damit ist gezeigt, dass der in (1.104) identifizierte freie Anteil richtig gewählt
worden ist. Der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator ist folglich durch die
übrigen Terme,
HI int =
d 3 x
JµA µ 1
I +
2m2 0
J
2
, (1.132)
gegeben und enthält einen nichtkovarianten Term, obwohl die Wechselwirkung
−JµA µ in der Lagrange-Dichte manifest kovariant ist.
Die Störungsentwicklung ist aus Vertizes und den freien Propagatoren aufgebaut.
Der Propagator des massiven Vektorfelds (siehe Übungsaufgabe “Relativistische
Quantentheorie”),
d4k 〈0|T(Aµ(x1)Aν(x2)) |0〉 = i
(2π) 4 e−ik(x1−x2) −gµν + kµkν
m2 k2 − m2 + iε
− i
m 2 δ(4) (x − y)δ 0 µδ 0 ν . (1.133)
enthält ebenfalls einen nicht-kovarianten Term. Der nichtkovariante Term in
HI int hat genau die richtige Form, um die Nichtkovarianz des Propagators
zu kompensieren.
32

Betrachtet man zum Beispiel die Elektron-Elektron-Streuung in der massiven
Quantenelektrodynamik, für welche J µ = −e ¯ ψγ µ ψ, dann erhält man in
niedrigster Ordnung der Störungsentwicklung folgende Feynman-Diagramme
(sowie einen identischen Satz von Diagrammen, bei denen die Endzustandslinien
vertauscht sind):
=
ieγ µ
ieγ µ
Propagator
des Vektorfelds
+ 2 ·
lokale Wechselwirkung
− i
2m2 e2
ψγ ¯ 0ψ ¯ψγ 0ψ nur konvarianter
Anteil des Propagators
Das Beispiel legt nahe, dass die Regeln so vereinfacht werden können, dass
man sowohl den nichtkovarianten Anteil des Propagators als auch den nichtkovarianten
Wechselwirkungsterm einfach weglässt.
Ein ähnliches Phänomen tritt in der Quantenelektrodynamik in der Coulomb-Eichung
auf. In der “Relativistischen Quantentheorie” hatten wir die
nichtkovariante Coulomb-Wechselwirkung “per Hand” hinzugefügt, um die
Nichtkovarianz des Photonpropagators in der Coulomb-Eichung zu kompensieren.
Im Lagrange-Formalismus ist die relativistische Invarianz garantiert und der
notwendige nichtkovariante Term im Hamiltonoperator folgt automatisch
aus der Konstruktion.
1.4 Symmetrien im Lagrange-Formalismus
Die folgenden Überlegungen sind Verallgemeinerungen der Behandlung von
Symmetrien in der klassischen Lagrange-Mechanik.
33

1.4.1 Noether-Theorem
Die Wirkung eines physikalischen Systems sei durch
S[φn] = d 4 x L (φn,∂µφn) (1.134)
definiert. Unter einer Symmetrie versteht man eine Transformation der Felder,
unter welcher die Wirkung invariant bleibt:
φ ′ n (x) = φn(x) + εFn (φn ′(x),∂µφn ′(x)) + O(ε2 ) (1.135)
S[φ ′ n] = S[φn]. (1.136)
Wir betrachten hier kontinuierliche, infinitesimale Symmetrien, die durch ǫ
parameterisiert werden.
Das Noether-Theorem besagt:
Zu jeder (kontinuierlichen) Symmetrie gehört ein erhaltener
Strom und eine erhaltene Ladung.
Beweis: Die Invarianz der Wirkung impliziert, dass sich L nur um eine totale
Divergenz ändern kann, d.h.
δL = L φ ′ n,∂µφ ′
n − L (φn,∂µφn) ≡ ε∂µK µ (x). (1.137)
Andererseits gilt:
δL = ∂L
δφn +
∂φn
∂L
∂ (∂µφn) δ (∂µφn), (1.138)
mit δφn = εFn und δ (∂µφn) = ε∂µFn. Unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung
∂L ∂L
= ∂µ
(1.139)
∂φn ∂ (∂µφn)
folgt dann aus (1.138):
δL = ε∂µ
∂L
∂ (∂µφn) Fn
. (1.140)
Bildet man nun die Differenz aus (1.137) und (1.140), so folgt, dass
j µ (x) ≡
∂L
∂ (∂µφn) Fn(x) − K µ (x) (1.141)
34

ein erhaltener Strom ist, denn es gilt ∂µj µ (x) = 0.
Man beachte: Die Invarianz der Wirkung gilt nach Voraussetzung für beliebige
Feldkonfigurationen φn(x). Die Erhaltung des Stroms dagegen nur für
solche, die die Bewegungsgleichungen erfüllen, da von den Euler-Lagrange-
Gleichungen Gebrauch gemacht wurde.
Mit dem erhaltenen Strom j µ (x) ist auch eine erhaltene Ladung
Q ≡
verbunden, denn
dQ
dt =
d 3 x ∂ 0 j 0
(x) = −
d 3 x j 0 (x) (1.142)
d 3 x ∇ ·j(x) = 0. (1.143)
Die letzte Gleichheit gilt unter der üblichen Annahme, dass die Randterme
im Unendlichen verschwinden. Eine Subtilität besteht darin, dass das
Integral d 3 x j 0 (x) divergieren kann, so dass Q nicht existiert.
Der Ladungsoperator erzeugt die Symmetrie, d.h. es gilt
δφn = εFn = i[εQ,φn] , (1.144)
falls K0 (x) ≡ 0 und falls Fn nicht von ˙ φn (genauer Πn) abhängt. Man
verifiziert dies mit Hilfe der kanonischen Vertauschungsrelationen. Zunächst
gilt
i[Q,φn ′(y)] =
=
d 3
∂L
x i Fn(x),φn ′(y)
∂ (∂0φn(x))
d 3 x i[Πn(x)Fn(x),φn ′(y)] , (1.145)
wobei Fn(x) ≡ Fn[φm(x)]. Die Zeitargumente sind hier unterdrückt; alle
Größen werden zur selben Zeit t genommen.
Da Fn nicht von Πn abhängt, (anti-)vertauscht Fn mit φn (je nachdem,
ob φn bosonisch oder fermionisch ist, sind auch Πn und Fn bosonisch oder
fermionisch), d.h. es gilt:
[ΠnFn,φn ′] = ΠnFnφn ′ − φn ′ΠnFn
= ±Πnφn ′Fn − φn ′ΠnFn = ± [Πn,φn ′] ∓ Fn . (1.146)
35

Damit vereinfacht sich (1.145) zu
i[Q,φn ′(y)] = ±i d 3 x [Πn(x),φn ′(y)] ∓ Fn(x)
= −i d 3 x [φn ′(y),Πn(x)] ∓ Fn(x)
= δnn ′
Man unterscheidet zwei Klassen von Symmetrien:
• Raumzeit-Symmetrien
d 3 x δ (3) (x − y) Fn(x) = Fn(y). (1.147)
Dabei handelt es sich um die inhomogenen Lorentz-Transformationen
(Poincaré-Transformationen).
• Innere Symmetrien
Dies sind Transformationen der Feldvariablen am gleichen Punkt, d.h.
Transformationen, die einen Index n verändern, der kein Spinor- oder
Lorentz-Index ist.
1.4.2 Poincaré-Transformationen
Jedem Element der Zusammenhangskomponente der Eins der Poincaré-
Gruppe (Λ,a) wird ein unitärer Operator U(Λ,a), der auf dem Hilbert-
Raum der Zustände wirkt, zugeordnet. Für das Transformationsverhalten
eines generischen Feldes φα(x) gilt dann (vgl. “Relativistische Quantentheorie”,
Kap. 3.3.1):
φ ′ α (x) = U (Λ,a) φα(x)U (Λ,a) −1 =
α ′
Dαα ′
−1
Λ φα ′ (Λx + a) , (1.148)
mit Dαα ′ (Λ) einer Matrixdarstellung der homogenen Lorentzgruppe.
Für infinitesimale Poincaré-Transformationen Λ = + w + ..., a = ε + ...
erhält man entsprechend
U (Λ,a) = + iεµP µ − i
2 wµνJ µν + ... . (1.149)
P µ und J µν sind hermitesche Operatoren, die Generatoren der Transformation
Sie erfüllen die Vertauschungsrelationen der Poincaré-Algebra (vgl.
“Relativistische Quantentheorie”, Kap. 3.1.2).
36

Translationen und der Energie-Impuls-Tensor
Wir betrachten zunächst infinitesimale Translationen ǫ µ . Aus (1.148) und
(1.149) folgt
δφα = i[εµP µ ,φα] = εµ∂ µ φα . (1.150)
Den Translationen entsprechen vier unabhängige Symmetrien (µ = 0,1,2,3)
mit F µ α = ∂ µ φα.
Die Lagrange-Dichte ist ein Skalar, d.h. L ′ (x) = L (Λx + a), deshalb
δL = εµ∂ µ L = εµ∂ν (g µν L) (1.151)
⇒ K µν = g µν L . (1.152)
Man beachte die Bedeutung der Indizes: der Lorentz-Index ν entspricht dem
Index µ in der Definition von K µ in (1.137) und des Noether-Stroms (1.141).
Der Index µ kennzeichnet hier dagegen die Richtung der Translation. Der
erhaltene Strom ist dann gemäß (1.141)
T µν =
∂L
∂ (∂νφα) ∂µ φα − g µν L . (1.153)
Dies ist der kanonische Energie-Impuls-Tensor. Die Ladungsoperatoren sind
somit durch
ˆP µ
= d 3 x T µ0
= d 3
∂L
x
∂ (∂0φα) ∂µ φα − g µ0
L (1.154)
gegeben. Der Vergleich von (1.150) mit (1.144) legt nahe, dass ˆ P µ = P µ ,
d.h. dass (1.154) die Generatoren der Translation durch die Feldoperatoren
ausdrückt. Um dies zu zeigen, betrachten wir die Fälle µ = 0 und µ = i
getrennt.
µ = 0 : Der Ladungsoperator ist
ˆP 0
= d 3 x
Πα ˙
φα − L = H = P 0 , (1.155)
d.h. P 0 ist in der Tat der Energieoperator und erzeugt Zeittranslationen
gemäß der Heisenberg-Gleichung
˙φα = i[H,φα] . (1.156)
37

µ = i : In diesem Fall ist K i0 = 0 und F i n = ∂ i φα unabhängig von Πα.
Dann gilt (1.144), so dass
[ ˆ P i ,φα] = 1
i ∂i φα. (1.157)
Der Vergleich mit (1.150) ergibt ˆ P i = P i , d.h. ˆ P i erzeugt Trans-
lationen und liefert den Impulsoperator
P i
= d 3 x T i0
= d 3 ∂L
x
∂ (∂0φα) ∂iφα
= −
d 3 x Π α ∇ i φα . (1.158)
Der kanonische Energie-Impuls-Tensor ist nicht symmetrisch, da die Indizes
µ,ν in der Ableitung eine asymmetrische Rolle spielen.
Konstruktion des symmetrischen Energie-Impuls-Tensors
Die Symmetrie des Energie-Impuls-Tensors ist jedoch notwendig, weil er als
Quelle des relativistischen Gravitationsfeldes, beschrieben durch den symmetrischen
metrischen Tensor gµν, auftritt. Die Feldgleichung für den metrischen
Tensor (die Einstein-Gleichung) lautet
Rµν − 1
2 gµνR = −8πGNTµν
(1.159)
wobei Rµν und R von gµν abhängende Objekte sind, von denen hier nur
von Bedeutung ist, dass der Ricci-Tensor Rµν symmetrisch ist. Die linke
Seite von (1.159) ist also symmetrisch in µ ↔ ν. Somit muss auch Tµν, der
Energie-Impuls-Tensor der “Materiefelder”, symmetrisch sein.
Ausgangspunkt der folgenden Konstruktion ist die Feststellung, dass der
erhaltene Noether-Strom nicht eindeutig ist. Man kann immer die Divergenz
eines antisymmetrischen Tensors hinzufügen und
j ν → j ′ν (x) ≡ j ν (x) + ∂ρk νρ (x) mit k νρ (x) = −k ρν (x), (1.160)
ersetzen. Der neu definierte Strom ist weiterhin erhalten, denn
∂νj ′ν (x) = ∂νj ν (x) + ∂ν∂ρk νρ = ∂νj ν (x) = 0. (1.161)
38

Für den Fall des Energie-Impuls-Tensors definieren wir also
θ µν (x) ≡ T µν (x) + ∂ρK µνρ (x) (1.162)
und bestimmen K µνρ so, dass θ µν symmetrisch ist.
Zur Konstruktion des symmetrischen Energie-Impuls-Tensors benötigen wir
das Transformationsverhalten des Feldes unter homogenen Lorentz-Transformationen
φ ′ α(x) = U(Λ)φα(x)U(Λ) −1 = Dαα ′(Λ−1 )φα ′(Λx), (1.163)
i
− mit U (Λ) = e 2 wµνJµν
φ ′
α(x) =
. Für infinitesimale Transformationen
+ i
2 wµνΣ µν
+ ... φα ′(x + wx + ...). (1.164)
Da D(Λ) eine Matrixdarstellung der Lorentzgruppe bildet, gilt
i
−
Λ → D(Λ) ≡ e 2wµνΣµν αα ′
und D(Λ −1 ) = D(Λ) −1 . (1.165)
Hier bilden die antisymmetrischen Matrizen Σ µν die Erzeugenden der Matrixdarstellung.
Für die wichtigsten Darstellungen
Σ µν = 0 für D (0,0) (skalares Feld)
Σ µν =
σ µν für D (0, 1
2)
¯σ µν für D ( 1
2 ,0)
Σ µν = i
4 [γµ ,γ µ ] =
(Σ µν )αα ′ = iδ µ α δν α ′ − δν α δµ
α ′
σ µν 0
0 ¯σ µν
für D 1 1 ( , 2 2)
Wir erhalten also für homogene Lorentz-Transformationen
(Dirac-Feld) (1.166)
(Vektorfeld)
δφα = iwµν [J µν ,φα]
= i
2 wµν · (i(x µ ∂ ν − x ν ∂ µ ) + Σ µν ) αα ′ φα ′ . (1.167)
Die erste Identität folgt aus der ersten Gleichheit in (1.163), die zweite
erhält man aus der Entwicklung von (1.164) in w unter der Verwendung der
39

Antisymmetrie wµν = −wνµ. Für die Variation der Ableitungen eines Felds
gilt folglich:
δ (∂ρφα) = ∂ρ (δφα) = i
2 wµν
+ i δ µ ρ ∂ν − δ ν ρ ∂µ φα
(i(x µ ∂ ν − x ν ∂ µ ) + Σ µν ) αα ′ ∂ρφα ′
. (1.168)
Die Lagrange-Dichte L(x) ist unter Lorentz-Transformationen nicht invariant,
sondern transformiert wie ein skalares Feld (Σ µν = 0). An der Stelle
x = 0 ist die Lagrange-Dichte jedoch invariant, da x = 0 bei einer homogenen
Lorentz-Transformation in sich selbst überführt wird. Folglich gilt
für die Transformationen
δL = 0 (1.169)
δφα = i
2 wµν (Σ µν ) αα ′ φα ′, (1.170)
δ (∂ρφα) = i
2 wµν
(Σ µν ) αα ′ ∂ρφα ′ + iδ µ ρ ∂ν − δ ν ρ ∂µ
φα . (1.171)
Die zweite Gleichung drückt aus, dass die Transformation der Ableitung des
Felds einen Term erbt, der mit dem Spin des Felds φα zusammenhängt und
einen zusätzlichen Term, der einem Vektorfeld entspricht [vgl. (1.166)], wie
es sein sollte. So ist z.B. für ein skalares Feld φ (Σ µν = 0) die Ableitung ∂ρφ
ein Vektorfeld, und muss entsprechend transformieren.
Aus (1.169) und (1.170) folgt dann
0 = δL = ∂L
= wµν
= wµν
i
2
∂φα
∂L
∂φα
− 1 ∂L
2 ∂ (∂ρφα)
i
2 ∂ρ
δφα + ∂L
δ (∂ρφα)
∂ (∂ρφα)
(Σ µν i
) αα ′ φα ′ +
2
∂L
δ µ ρ ∂ ν − δ ν ρ ∂ µ φα
∂L
∂ (∂ρφα) (Σµν ) αα ′ φα ′
∂ (∂ρφα) (Σµν ) αα ′ ∂ρφα ′
− 1
2 (T νµ − T µν
) , (1.172)
wobei beim Übergang zur letzten Zeile die Euler-Lagrange-Gleichung verwendet
wurde, um
∂L
∂L
durch ∂ρ
∂φα ∂ (∂ρφα)
40

zu ersetzen. Dies liefert einen Ausdruck für den antisymmetrischen Anteil
des kanonischen Energieimpulstensors, d.h. der Ausdruck
T µν − 1
2 (T µν − T νµ ) = T µν
i ∂L
+ ∂ρ
2 ∂ (∂ρφα) (Σµν ) αα ′ φα ′
(1.173)
ist symmetrisch unter der Vertauschung µ ↔ ν. Der Ausdruck in den Klammern
ist aber noch nicht das gesuchte K µνρ , da er nicht antisymmetrisch in
ν ↔ ρ ist. Wir addieren deshalb einen Term innerhalb der Klammer, welcher
symmetrisch in µ ↔ ν ist und die Klammer in ν ↔ ρ antisymmetrisiert. Das
führt zum gesuchten Belinfante-Energie-Impuls-Tensor
θ µν ≡ T µν + i
2 ∂ρ
∂L
∂ (∂ρφα) (Σµν ) αα ′ φα ′
− ∂L
∂ (∂νφα) (Σµρ ) αα ′ φα ′ −
∂L
mit den gewünschten Eigenschaften:
θ µν = θ νµ
∂ (∂µφα) (Σνρ ) αα ′ φα ′
, (1.174)
(1.175)
∂νθ µν = 0. (1.176)
Der Belinfante-Tensor kann auch verwendet werden, um die boost- und Rotationsgeneratoren
explizit zu konstruieren. Sei
Dann ist M µνρ erhalten, denn
M µνρ ≡ x µ θ νρ − x ν θ µρ . (1.177)
∂ρM µνρ = δρ µ θ νρ + x µ ∂ρθ νρ − δρ ν θ µρ + x µ ∂ρθ µρ = θ νµ − θ µν = 0. (1.178)
Folglich sind J µν = d 3 xM µν0 (x) sind erhaltene Ladungen.
Man verifiziert nun, dass die so konstruierten Operatoren tatsächlich die
Vertauschungsregeln der Poincaré-Algebra (“Relativistische Quantentheorie”,
Kap. 3.1) erfüllen:
[P µ ,P ν ] = 0,
[P µ ,J ρσ ] = i(g µρ P σ − g µσ P ρ ) , (1.179)
[J µν ,J ρσ ] = i(g νρ J µσ + g µσ J νρ − g µρ J νσ − g νσ J µρ ).
41

Dies soll hier nicht ausgeführt werden. Als Beispiel betrachten wir
0 0i
P ,J = H,J 0i = 1
dJ0i ∂J0i
− = −
i dt ∂t
1 ∂J
i
0i
∂t
= − 1
d
i
3 x ∂
∂t M0i0 (x) = − 1
d
i
3 x ∂ i0 i 00
tθ − x θ
∂t
= − 1
i
d 3 x θ i0 (x) = iP i . (1.180)
Im zweiten Schritt wurde hier zunächst die Heisenberg-Gleichung verwendet
und anschließend ausgenutzt, dass J 0i eine erhaltene Ladung ist, so dass
d
dt J0i = 0.
Damit haben wir alle mit der Raumzeitsymmetrie assoziierten erhaltenen
Noether-Ladungen konstruiert.
1.4.3 Innere Symmetrien
Die Poincaré-Symmetrie wirkt auf das Raumzeitargument von Feldern φα
(x → Λx + a) und auf den Index α, welcher mit dem Spin zusammenhängt
(Spinor-, Vektorindex, etc.). Innere Symmetrien hängen dagegen mit weiteren
charakterisierenden Eigenschaften und abstrakten, inneren Freiheitsgraden
von Teilchen zusammen (vgl. “Relativistische Quantentheorie” Kap.
3.2.4). Bei Feldern wirken innere Symmetrien auf einen zusätzlichen Index,
mit dem eine Gruppe von Feldern zusammengefasst wird, gerade weil sie
durch eine Symmetrietransformation ineinander überführt werden. Es wird
immer angenommen, dass die irreduziblen Darstellungen der inneren Symmetrie
auf dem Hilbert-Raum endlichdimensional sind, da in der Natur nur
dieser Fall bekannt ist.
Wir gehen im Folgenden von einer Lie-Gruppe G mit Elementen g aus. Diesen
Elementen wird jeweils eine unitäre Darstellung U(g) auf dem Hilbert-
Raum zugeordnet. Nahe der Eins können die Operatoren U(g) in der Form
U(g) = e iεi ˆ T i
= + iε i ˆ T i + ... (1.181)
geschrieben werden. Für eine D-dimensionale Lie-Gruppe gibt es D hermitesche
Generatoren ˆ T i , die die Vertauschungsrelationen
ˆT i
, Tˆ j
= if ijk Tˆ k
42
(1.182)

der zugehörigen Lie-Algebra erfüllen. Die Strukturkonstanten fijk folgen
allein aus dem abstrakten Gruppenverknüpfungsgesetz. Sie sind deshalb unabhängig
von der gewählten Darstellung U(g). Z.B. gilt für die SU(2) Gruppe
fijk = ǫijk unabhängig davon, ob es sich um eine Spin-1 2 , Spin-1, etc.
Darstellung handelt.
Auf den Einteilchenzuständen |p,s;n〉 wirkt eine Symmetrietransformation
als
U(g)|p,s;n〉 =
D(g)nn ′|p,s;n′ 〉. (1.183)
n ′
Man beachte, dass U(g) ein unitärer Operator ist, während D(g) eine endlich-dimensionale
unitäre Matrix ist, da nach Voraussetzung der Wertebereich
der Kennzeichnung n endlich ist. Die D(g) bilden also eine Matrixdarstellung
der Gruppe.
Beispiele:
• Der Nukleonzustand
|N〉 =
|p〉
|n〉
(1.184)
vereinigt Proton- und Neutronzustände zu einem Dublett (d.h. dem
Zustandsraum einer zweidimensionalen Darstellung) der SU(2)-Isospinsymmetrie.
(Genauer: U(2) = SU(2) × U(1). Der U(1) Faktor entspricht
der Baryonzahl.)
• Für die Klassifikation des Hadronspektrums ist es nützlich, die up-,
down- und strange-Quarkzustände zu einem Triplett
⎛ ⎞
|u〉
|q〉 = ⎝ |d〉 ⎠ (1.185)
|s〉
der SU(3)-Flavoursymmetrie zusammenzufassen.
Für das Transformationsverhalten von Feldern unter inneren Symmetrien
gilt der Zusammenhang
φ ′ n(x) = U(g)φn(x)U(g) −1 = D(g −1 )nn ′φn ′(x). (1.186)
Der Index n bezeichnet einen inneren Index zuzüglich zum Lorentz-Index α,
der hier unterdrückt wird. Die Darstellungsmatrix wird wieder in der Form
D(g) = e iεiT i
, (1.187)
43

geschrieben, wobei jetzt T i eine hermitesche Matrix ist, deren Dimension
mit der Dimension der Darstellung übereinstimmt. Die Variation des Felds
bei einer infinitesimalen Transformation ist
Daraus folgen die Noether-Ströme
und die erhaltenen Ladungen
Q i
=
δφn = −iε i T i nn ′φn ′ . (1.188)
∂L
[j i ] µ (x) = −i
∂ (∂µφn(x)) T i nn
d 3 x [j i ] 0 (x) = −i
′φn ′(x) (1.189)
d 3 x Πn(x)T i nn ′φn ′(x). (1.190)
Wir zeigen nun, dass die Ladungsoperatoren die Vertauschungsrelationen
der Lie-Algebra von G erfüllen:
Q i ,Q j = if ijk Q k . (1.191)
Beweis: Unter Verwendung der kanonischen Vertauschungsregeln und von
(1.190) erhält man
i j
Q ,Q = (−i)T j
nn ′
d 3 x Q i ,Πnφn ′
Beispiel 1
= (−i)T j
nn ′
= (−i)T j
nn ′
= i
= f ijk
d 3 x ΠnT k nn ′φn ′
d 3 x i
Πn Q ,φn ′
i
+ Q ,Πn φn ′
d 3 x i i
Πn −Tn ′ mφm + TmnΠm φn ′
d 3 j i i j
x Πn T T − T T
nn ′ φn ′
= if ijk Q k . (1.192)
Die einfachste innere Symmetrie ist die Invarianz unter Phasentransformationen
(U(1)-Symmetrie). Dazu betrachten wir die schon früher erwähnte
Invarianz von
L0 = ¯ ψ (i∂ − m)ψ (1.193)
44

unter der Transformation ψ → e −i(−e)ε ψ bzw. der infinitesimalen Transformation
δψ = −i(−e)εψ. Die Konstante −e ist hier willkürlich eingefügt und
könnte die elektrische Ladung des Felds bedeuten. In diesem Fall gibt es nur
einen Generator T = · (−e) und die Algebra ist trivial. Für die erhaltenen
Ströme und die erhaltenen Ladungen folgt:
j µ (x) = (−e) ¯ ψγ µ ψ(x), (1.194)
Q = (−e)
d 3 x ¯ ψγ 0 ψ (1.195)
Der Zusammenhang dieser Symmetrie mit der Erhaltung der elektrischen
Ladung wird deutlich, wenn man Q für das freie Dirac-Feld durch die Erzeugungs-
und Vernichtungsoperatoren darstellt. Der Ausdruck (vgl. “Relativistische
Quantentheorie”)
Q =
s
d3p (2π) 32p0
−ea † (p,s)a(p,s) + eb †
(p,s)b(p,s)
(1.196)
ergibt die Anzahl von Teilchen mit der Ladung (−e) plus die Anzahl der,
wie ersichtlich, entgegengesetzt geladenen Antiteilchen.
Beispiel 2
Gegeben sei die Lagrange-Dichte
L =
∂µφ † n∂ µ φn − m 2 φ †
nφn + Lint
n
n
φ † nφn
, n = 1... N. (1.197)
Diese ist offensichtlich invariant unter Transformationen φ ′ n =
für unitäre N × N-Matrizen U (U(N)-Symmetrie).
Jede U(N) Matrix kann in der Form e iεi T i
n
Unn ′φn ′,
dargestellt werden, wobei i =
1,... ,N 2 . Die Dimension N 2 der U(N)-Gruppe ergibt sich daraus, dass
U † = U −1 N 2 Gleichungen liefert, die N 2 der 2N 2 reellen Parameter ei-
ner allgemeinen, komplexen N ×N Matrix festlegen. Die erhaltenen Ströme
lauten mit δφn = −iεiT i nn ′φn ′, δφ† n = +iεiT i †
nn ′φ n ′:
[j i ] µ
(x) = (−i)
. (1.198)
∂ µ φ † nT i nn ′φn ′ − ∂µ φnT i nn ′φ†
n ′
Das Minuszeichen in (1.198) folgt aus der Transformation von φ † mit U −1 .
Man erhält also N 2 erhaltene Ströme.
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