4. Lagrange-Formalismus

y(x)
Abbildung 4.7: Die durchhängende Kette im Schwerefeld.
4.11 Weitere Anwendungen der Variationsrechnung
Das Hamilton’sche Extremalprinzip Gl. (4.15) ist nur eine physikalische Anwendung
einer allgemeinen mathematischen Methode, der Variationsrechnung.
Bei der Variationsrechnung geht es darum, eine Funktion
y(x) = (y1(x) . . . yN(x))
zu finden, die ein bestimmtes Funktional
I[y] =
x1
x0
dx F(y, y ′ , x)
unter Berücksichtigung bestimmter Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen)
ds
gr(y, y ′ ) = 0, (r = 1 . . . R)
minimiert. Aus den vorhergehenden Betrachtungen wissen wir, dass hierfür
das Funktional
I ∗
x1
[y] = dx F(y, y ′ , x) −
λrgr(y, y ′
) ≡
x1
dx F ∗ (y, y ′ , x)
x0
r
minimal sein muss. Die dazugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen lauten
mit (x ↔ t, y ↔ q, y ′ ↔ ˙q) wie immer
d ∂F
dx
∗
∂y ′ i
− ∂F∗
∂yi
Beispiel: Durchhängende Kette
= 0 , (i = 1 . . . N). (4.40)
Wir betrachten eine durchängende Kette mit der festen Gesamtlänge L.
Die Kette sei fest aufgehängt und wird im Schwerefeld eine Form y(x) annehmen,
die die potentielle Energie,
V =
x1
xo
dx gµ y(x) 1 + (y ′ ) 2 (4.41)
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dx
x0
dy
minimiert. Hierbei ist µ die Masse der Kette pro Längeneinheit. Gl. (4.41)
erhalten wir aus
V =
x1
xo
ds gµ, ds 2 = dx 2 + dy 2 = dx 2 (1 + dy
2
).
dx
Die Nebenbedingung der festen Länge ist durch
L =
x1
xo
ds =
x1
xo
dx 1 + (y ′ ) 2
gegeben. Im folgenden werden wir o.B.d.A. die Einheiten gµ = 1 verwenden.
Wir müssen also das Funktional
minimieren.
I ∗ [y] =
x1
x0
Verallgemeinerte Energie
dx F ∗ (y, y ′ , x), F ∗ = (y − λ) 1 + (y ′ ) 2
Wir können das Minimum von I ∗ [y] via der Euler-Lagrange-Gleichungen
(4.40) finden oder wir können bemerken, dass das F(y, y ′ , x) = F(y, y ′ ) nicht
von x ↔ t abhängt und somit nach Kap. 4.7 die verallgemeinerte Energie
erhalten ist:
Es gilt also
und damit
für q(t) gilt : L = L(q, ˙q) =⇒ ˙q ∂L
− L erhalten,
∂ ˙q
für y(x) gilt : F ∗ = F ∗ (y, y ′ ′ ∂F∗
) =⇒ y
∂y ′ − F∗ erhalten.
∂F∗ y
= (y − λ)
∂y ′ ′
1 + (y ′ ) 2
(y − λ) (y′ ) 2 + 1 − 1
1 + (y ′ ) 2 − (y − λ)1 + (y ′ ) 2 y − λ
= a, − = a ,
1 + (y ′ ) 2
wobei a eine Konstante ist. Diese Differentialgleichung kann man nach y ′
auflösen und integrieren. Man erhält für die Form der Kette
x
y(x) = λ + a cosh + b ,
a
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