Teil IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum

Teil IV
Elektromagnetische Strahlung im
Vakuum
71

Kapitel 9
Das elektromagnetische Feld im
Vakuum
9.1 Homogene Wellengleichungen
In diesem Kapitel untersuchen wir die Maxwell-Gleichungen
∇ · E = 0; ∇ · B = 0; ∇ × E = − ∂B
∂t ;
∇ × B = ǫ 0µ 0
∂E
∂t . (9.1)
im Vakuum (ρ = 0; j = 0).
Entkopplung von magnetischem und elektrischem Feld Im Vakuum lassen sich
elektrisches Feld E und magnetische Induktion B vollständig entkoppeln. Wir bilden die
zeitliche Ableitung des Induktionsgesetzes ∇ × E = −Ḃ,
−ǫ 0 µ 0
∂ 2 B
∂t 2 =
( ) (
∂
ǫ 0 µ 0 − ∂B ) (
=
∂t ∂t
und daher, zusammen mit ∇ · B = 0,
ǫ 0 µ 0
∂
∂t
∆B = ǫ 0 µ 0
∂ 2 B
∂t 2 .
)
( )
∂E
∇×E = ∇× ǫ 0 µ 0
∂t
= ∇ × (∇ × B)
} {{ }
∇(∇·B)−∆B
Wir erhalten also die homogene Wellengleichung
(
∆ − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 )
B = 0;
1
c 2 = ǫ 0 µ 0 , (9.2)
wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist. Analog verfährt man mit dem E-Feld.
D’Alambert Operator Mit der Abkürzung
□ = ∆ − 1 ∂ 2
(9.3)
c 2 ∂t 2
72

das physikalische Vektorfeld durch den Realteil von (9.22) beschrieben wird. Die komplexe
Schreibweise ist oft (z.B. beim Differenzieren) bequemer als die reelle; sie ist problemlos,
solange nur lineare Operationen durchgeführt werden.
Zeitliche Mittelwerte Häufig ist man an zeitlich gemittelten Größen interessiert, wie
z.B. die im Mittel auftreffenden Energgie elektromagnetischer Strahlung. Für eine Funktion
z(t) definiert man den zeitlichen Mittelwert ¯z als
¯z =
lim
T →∞
1
2T
∫ T
−T
z(t)dt . (9.25)
Bei der Berechnung physikalischer Größen wie etwa der Energiestromdichte treten Produkte
von Vektorfeldern auf. Zeitliche Mittelwerte . . . solcher Produkte kann man in
komplexer Schreibweise wie folgt berechnen: Für zwei Vektorfelder
a(r, t) = a 0 (r) exp(−iωt); b(r, t) = b 0 (r) exp(−iωt) (9.26)
gilt für den zeitlichen Mittelwert des Produktes
(Rea) · (Reb) = 1 2 Re(a · b∗ ) , (9.27)
denn in
(Rea) · (Reb) = 1 4
(
a0 exp(−iωt) + a ∗ 0 exp(iωt) ) ( b 0 exp(−iωt) + b ∗ 0 exp(iωt) )
verschwinden die gemischten Terme mit den Zeitfaktoren exp(±2iωt) nach Zeitmittelung
und es bleibt
(Rea) · (Reb) = 1 4 (a · b∗ + a ∗ · b) = 1 2 Re(a · b∗ ) . (9.28)
Terminologie Monochromatische ebene Wellen sind so wichtig, daß es für alle Größen
feste Begriffe gibt.
Wellenvektor k
Wellenzahl k k = |k|
Kreisfrequenz ω ω = c k
Frequenz ν ν = ω/(2π)
Wellenlänge λ λ = (2π)/k
Schwingungsdauer T T = (2π)/ω
Anhand von (9.22) sieht man, dass die Schwingungsdauer T die zeitliche Periodizität der
Welle bei festgehaltenem Ort r beschreibt,
exp(iω(t + T)) = exp(iωt + 2πi) = exp(iωt); (9.29)
77

analog gibt die Wellenlänge λ die räumliche Periodizität an:
exp(ik(z + λ)) = exp(ikz + 2πi) = exp(ikz) (9.30)
für eine Welle in z-Richtung zu fester Zeit t.
Phasengeschwindigkeit Die Größe
φ = k · r − ωt (9.31)
nennt man die Phase der Welle. Unter der Phasengeschwindigkeit v ph versteht man die
Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpunkt mit vorgegebener fester Phase bewegt. Um
v ph zu bestimmen, betrachten wir wieder eine ebene Welle in z-Richtung und bilden das
totale Differential von φ(z, t):
dφ = kdz − ωdt. (9.32)
Für φ = const. folgt dann:
v ph = dz = ω = c; (9.33)
dt k
die Phasengeschwindigkeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit c.
Beziehung zwischen E und B Feld Ausgehende von der Definition (9.22) für das
Vektorpotential findet man für monochromatische ebene Wellen die Felder, siehe (7.1)
und (7.3):
B = ∇ × A; E = − ∂A − ∇Φ . (9.34)
∂t
Im Vakuum verschwindet das skalare Potential, Φ → 0, für die Coulomb Eichung ∇·A =
0. Die Coulomb Eichung ist für A 0 · k = 0 erfüllt, siehe (9.22). Damit erhalten wir
Mit ω = ck finden wir die einprägsame Beziehung
B = i(k × A); E = iωA . (9.35)
(
B = i k × E )
iω
= 1 c
k
k × E = 1 c ˆn × E , (9.36)
wobei ˆn = k/k die Ausbreitungsrichtung ist.
Energiedichte Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte (reelle Darstellung) ist:
ω F = 1
2T
∫ T
wobei die Energiedichte ω F (mit µ 0 ǫ 0 = 1/c 2 ) durch
−T
ω F dt , (9.37)
ω F = ǫ 0
2 E2 + 1 B 2 = ǫ (
0 E 2 + c 2 B 2) (9.38)
2µ 0 2
78

gegeben ist. Mit A · k = 0 finden wir:
ω F = ǫ 0
4 Re(ω2 A · A ∗ + c 2 k 2 A · A ∗ ) = ǫ 0
2 ω2 |A 0 | 2 = ǫ 0
2 |E 0| 2 , (9.39)
wobei der extra Faktor 1/2 durch die zeitliche Mittelung, siehe (9.27) zustande kommt.
Energiestromdichte Entsprechend zur Zeit-gemittelten Energiedichte (9.39) gilt (mit
ˆn = k/|k| für die Zeit-gemittelte Energiestromdichte ¯S, siehe (8.13),
S = (E × B)/µ 0 = ω |A 0 | 2 k = ωk |E 0 | 2
= k |E 0 | 2
2µ 0 2µ 0 ω 2 2µ 0 ck
= ǫ 0c
2 |E 0| 2 ˆn , (9.40)
wobei wir µ 0 ǫ 0 = 1/c 2 verwendet haben. Vergleicht man (9.39) mit (9.40), so findet man
|S| = c ω F ; (9.41)
die Energie des elektromagnetischen Feldes wird also mit der Lichtgeschwindigkeit c transportiert.
Impulsdichte Die Impulsdichte ⃗π F lässt sich direkt über die Beziehung (8.28) aus dem
Poynting-Vektor S herleiten.
⃗π F = 1 c 2 S = ǫ 0
2c |E 0| 2 ˆn,
c
∣
∣⃗π F
∣ ∣∣ = ωF . (9.42)
Die Beziehung rechter Hand ist mit der relativistischen Energie-Impuls Beziehung
E =
√
m 2 oc 4 + p 2 c 2 , (E = cp) m0 =0
für Ruhemasse-lose Teilchen (Photonen) konsistent.
Ebene Wellen als Approximationen Streng genommen ist eine ebene Welle senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt; jede praktisch realisierbare Welle
ist dagegen begrenzt. Die ebene Welle ist jedoch eine sinnvolle Approximation, wenn die
Ausdehnung der realen Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung groß ist im Vergleich zu
irgendwelchen Hindernissen (z.B. Spalte), durch die sie gestört werden kann.
9.4 Polarisation
Orthogonales Dreibein Wegen der Transversalität und der Orthogonalität von E und
B können wir eine monochromatische ebene Welle der Form (9.22) durch
E = e 1 E 0 exp(i(k · r − ωt)); B = e 2 B 0 exp(i(k · r − ωt)) (9.43)
beschreiben. Da nach (9.36) bilden k, E und B mit B = ˆn×E/c ein orthogonales Dreibein,
also gilt
e i · e j = δ ij ; e i · k = 0 . (9.44)
79

Eine solche Welle nennt man linear polarisiert. Eine zu (9.43) gleichberechtigte, linear
unabhängige ebene Welle zu gleichem Wellenvektor k erhält man, indem man E in e 2 -
Richtung und B in e 1 -Richtung wählt.
Allgemeine Polarisation Der allgemeine Polarisationszustand einer monochromatischen
ebenen Welle ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip, z.B. für das elektrische
Feld,
E = (e 1 E 1 + e 2 E 2 ) exp(i(k · r − ωt)); E l = |E l | exp(iφ l ) , (9.45)
mit E l (l = 1,2) als beliebigen komplexen Zahlen. Gleichung (9.45) beschreibt alle möglichen
Polarisationszustände, welche wir nun diskutieren.
Lineare Polarisation Die elektromagnetische Welle ist linear polarisiert wenn in (9.45)
der Fall ist. Richtung und Betrag von E sind dann durch
gegeben.
θ =
φ 1 = φ 2 (9.46)
( ) E2
√
arctan ; E = E1 2 + E2 2 (9.47)
E 1
Zirkuläre Polarisation Gibt es eine Phasendifferenz von ±π/2 in (9.45),
E 1 = E 2 ; φ 1 − φ 2 = ± π 2 , (9.48)
dann wird das elektrische Feld zu
E = E 0 (e 1 ± ie 2 ) exp(i(k · r − ωt)) . (9.49)
80

In reeller Darstellung
E x = E 0 cos(kz − ωt); E y = ∓E 0 sin(kz − ωt) , (9.50)
wenn k in z-Richtung zeigt. Der Drehsinn ist durch die Wahl des Vorzeichens in (9.49)
festgelegt; man erhält links- bzw. rechts-zirkulare Polarisation.
Elliptische Polarisation Für allgemeine Koeffizienten
E 1 ≠ E 2 ; φ 1 − φ 2 ≠ 0 (9.51)
haben wir elliptische Polarisation. Das elektrische Feld E beschreibt dann für festes z eine
Ellipsenbahn, deren Lage relativ zu e 1 durch φ 1 − φ 2 und deren Hauptachsenverhältnis
durch E 1 /E 2 bestimmt wird.
81

Kapitel 10
Wellenpakete im Vakuum
10.1 Informationsübertragung durch elektromagnetische
Wellen
Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsübertragung.
Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie keine Information
außer ihrer Periode, oder der Frequenz, vermitteln können.
Amplitudenmodulation Man kann monochromatische ebene Wellen jedoch modulieren
und so Information übertragen. Im einfachsten Fall bildet man eine Überlagerung aus
2 monochromatischen Wellen,
Mit
f(t) = f 0 cos(ω 1 t) + f 0 cos(ω 2 t) = f 0
[
cos(ω1 t) + f 0 cos(ω 2 t) ] . (10.1)
ω m = (ω 1 − ω 2 )/2
ω 0 = (ω 1 + ω 2 )/2
ω 1
ω 2
= ω 0 + ω m
= ω 0 − ω m
und cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β kann (10.1) alternativ auch als amplitudenmodulierte
Schwingung dargestellt werden:
f(t) = 2f 0 cos(ω m t) cos(ω 0 t) , (10.2)
Wenn ω 1 ≈ ω 2 gewählt wird, dann ist (10.2) eine fast harmonische Schwingung der Trägerfrequenz
ω 0 deren Amplitude sich mit der Modulationsfrequenz ω m ändert. Man
erhält das Bild einer Schwebung.
82

Kompliziertere Schwingungsformen und damit mehr Möglichkeiten zur Informationsübertragung
ergeben sich durch Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen.
Gruppengeschwindigkeit
Wir betrachten nun die Überlagerung zweier orts- und zeitabhängiger ebener Wellen mit
einer allg. Dispersionsrelation ω = ω(k),
f(x, t) = f 0 cos(k 1 x − ω(k 1 ) t) + f 0 cos(k 2 x − ω(k 2 ) t) . (10.3)
Analog zu (10.2) benutzen wir die Darstellung
mit
und
f(x, t) = 2f 0 cos(k m x − ω m t) cos(k 0 t − ω 0 t) , (10.4)
ω m = ω(k 1) − ω(k 2 )
; ω 0 = ω(k 1) + ω(k 2 )
2
2
k m = k 1 − k 2
; k 0 = k 1 + k 2
2
2
Für k 1 ≈ k 2 bewegt sich das Maximum k m x − ω m t = 0 der Einhüllenden mit der Gruppengeschwindigkeit
v g fort,
.
v g
≡ x t
= ω m
k m
= ω(k 1) − ω(k 2 )
k 1 − k 2
≈ ∂ω(k)
∂k
∣ . (10.5)
k=k0
Die Gruppengeschwindigkeit ist somit auch die Geschwindigkeit der Informationsübertragung.
Im Vakuum fällt für Licht die Gruppengeschwindigkeit v g = ω ′ (k) mit der Phasengeschwindigkeit
v ph = ω/k, siehe (9.33), zusammen, dank der linearen Dispersionsrelation
ω(k) = ck. Wenn sich Licht in Materie ausbreitet gilt i.Allg. v g < c = v ph .
83

10.2 Fourier-Reihen und Fourier-Integrale
Die überlagerung elektromagnetischer Wellen läßt sich systematisch mit dem jeweiligen
Fourierspektrum beschreiben. Wir wiederholen daher hier die grundlegenden Begriffen
und betrachten eine periodische Funktion,
f(t); f(t) = f(t + T) . (10.6)
Alternativ können wir jede Funktion auf dem Intervall t ∈ [0, T] periodisch forsetzen, so
daß (10.6) erfüllt ist.
Fourier-Reihen Jede periodische Funktion läßt sich nun in eine Fourier-Reihe
f(t) =
∞∑
n=−∞
f n exp(−iω n t) ω n = nω ω = 2π
T . (10.7)
entwickeln.
• Man nennt ω = 2π/T die Grundfrequenz. Es gilt f(t) = f(t + T), da
exp(−iω n (t + T)) = exp(−iω n t) exp(−i(2nπ/T)T) = exp(−iω n t)
für jeden Koeffizienten.
• Die Fourier-Reihe (10.7) konvergiert gleichmäßig (und damit auch punktweise),
wenn f(t) periodisch mit der Periode T und stückweise glatt (beliebig oft differenzierbar)
ist.
• Die (schwächere) Forderung der Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfüllt für
periodische, in [0, T] stetige Funktionen f(t).
• Die ebenen Wellen exp(iω n t)/ √ T bilden ein vollständiges orthonormales Funktionensystem
auf dem Intervall [0, T], siehe weiter unten. Die Fourier-Reihe (10.7) ist
damit nichts anderes als eine Entwicklung nach den Basisfunktionen exp(−iω n t)/ √ T.
Funktionenräume Für zwei Funktionen f(t) und g(t) auf [−T/2, T/2] können wir das
Skalarprodukt
(f, g) ≡
∫ T/2
−T/2
f ∗ (t)g(t) dt (10.8)
definieren, als direkte Verallgemeinerung des üblichen Skalarproduktes ∑ j x ∗ jy j zweier
komplexer Vektoren x = (x 1 , x 2 , . . .) und y = (y 1 , y 2 , . . .). Insbesondere sind die Basisfunktionen
e n (t) = exp(−iωnt) √ , ω n = 2πn
(10.9)
T T
im Intervall [−T/2, T/2] orthonormiert bezüglich des des Skalarproduktes (10.8).
84

Orthogonalitätsrelationen Um die Orthogonalitätsrelation
(e m , e n ) = 1 T
∫ T/2
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = δ mn (10.10)
zu beweisen, brauchen wir nur die Fälle m = n und m ≠ n zu unterscheiden,
und
1
T
∫ T/2
1
T
∫ T/2
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = 1 T
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = 1 T
für m ≠ n.
=
=
∫ T/2
−T/2
dt = 1 (m = n) ,
1
iω n (m − n) exp(iω(m − n)t)∣ ∣ ∣
t=T/2
1
iω n T(m − n)
[ (
exp i 2π
T (m − n)T 2
2i
iω n T(m − n) sin ( π(m − n) ) = 0
t=−T/2 dt
Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten f n in (10.7) sind durch
)
(
− exp −i 2π )]
T (m − n)T 2
f n
= 1 T
∫ T
0
f(t) exp(iω n t) dt = 1 T
∫ T/2
−T/2
f(t) exp(iω n t) dt (10.11)
gegeben, wobei wir die Periodizität von f(t) verwendet haben. Für den Beweis verwenden
wir die Orthogonalitätsrelation (10.10) und finden
1
√
T
(e m , f) =
1 T
= 1 T
= ∑ n
∫ T/2
−T/2
exp(iω m t)f(t) dt
∑
∫ T/2
f n exp(iω m t) exp(−iω n t) dt
n −T/2
f n (e m , e n )
} {{ }
δ m,n
= f m .
Die Fourier-Reihe ist schlussendlich nichts anderes als die Entwicklung nach einer speziellen
Menge vollständiger Basis-Funktionen. In anderen Zusammenhängen ist es günstiger
andere Basis-Funktionen zu verwenden, wie z.B. Legendre Funktionen oder die Kugelflächenfunktionen.
Fourier-Integrale Wir betrachten nun Funktionen f(t) welche nicht periodisch sind.
Formell können wir dazu in der Dastellung (10.7) für die Fourier-Reihe, zusammen mit
(10.11) für die Koeffizienten, die Periodie T divergieren lassen.
Für den Grenzübergang T → ∞ betrachten wir mit ∆ω = 2π/T den Abstand benachbarter
Frequenzen ω n ,
f(t) = ∑ n
∆ω
∆ω f n exp(−iω n t) =
∞∑
n=−∞
˜f(ω n ) exp(−iω n t) ∆ω (10.12)
85

mit
˜f(ω n ) =
lim
T →∞
( )
fn
∆ω
( T
= lim n)
T →∞ 2π f
Also kann man (10.12) als Riemann-Summe des Fourier-Integrals
. (10.13)
f(t) =
∫ ∞
−∞
˜f(ω) exp(−iωt) dω (10.14)
auffassen. Für die Umkehrung von (10.14) zeigt der Vergleich von (10.11) und (10.13):
˜f(ω) = 1 ∫ ∞
f(t) exp(iωt) dt
2π
. (10.15)
−∞
˜f(ω) heißt die Fourier-Transformierte zu f(t). Sie existiert und (10.14) konvergiert im
quadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen f(t), für die
∫ ∞
|f(t)| 2 dt < ∞; (10.16)
−∞
˜f(ω) dann auch quadratintegrabel ist.
f(t)
~
f( ω)
−T/2
−T/2
t
ω
Rechteckimpuls - Unschärferelation Wir berechnen nun die Fourier-Transformierte
für den Rechteckimpuls
Dann wird
f(t) = 1 für − T 2 ≤ t ≤ T ; f(t) = 0 sonst . (10.17)
2
˜f(ω) = 1
2π
∫ T/2
−T/2
exp(iωt) dt = 1
πω
exp(iωt)
2i
∣ T/2
−T/2
Die Breite ∆ω von ˜f(ω) schätzt man aus obiger Figur ab zu:
∆ω ≈ 2π
T
= sin(ωT/2)
πω
. (10.18)
oder ∆ω∆t ≈ 2π. (10.19)
Je schmaler (breiter) das Signal f(t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Frequenzspektrum,
das man benötigt.
Die Unschärferelation (10.19) ist nicht an das Beispiel (10.17) gebunden, sondern ist
ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.
Die Unschärferelation (10.19) wird sich in der Quantenmechnik (mit einem Faktor
verziert) als ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation wiederfinden.
86

Bemerkung Jede andere Variable kann eine Fourier-Transformation verwendet werden,
z.B. Funktionen f(x) des Ortes.
Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form
mit
f(t) = 1 √
2π
∫ ∞
−∞
˜f(ω) = 1 √
2π
∫ ∞
benutzt. Die Koeffizienten ˜f(ω) sind entsprechend zu reskalieren.
10.3 δ-Distribution
−∞
˜f(ω) exp(−iωt) dω (10.20)
f(t) exp(iωt) dt (10.21)
Distributionen Die Fourier-Transformation (10.14), (10.15) führt auf das folgende mathematische
Problem: Setzt man (10.15) in (10.14) ein, so muss (nach Vertauschung der
Integrationsreihenfolge)
f(t) = 1 ∫ ∞ ∫ ∞
f(t ′ ) exp(−iω(t − t ′ )) dω dt ′ =
2π −∞ −∞
∫ ∞
−∞
f(t ′ )δ(t − t ′ ) dt ′ (10.22)
mit
δ(t − t ′ ) = 1 ∫ ∞
exp(−iω(t − t ′ )) dω (10.23)
2π −∞
für beliebige quadratintegrable Funktionen f(t) gelten. Die hier eingeführte Größe δ(t−t ′ )
ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche streng
genommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung mit der Integration
in (10.22) erklärt ist.
x
x
87

Darstellungen der Delta-Funktion Die δ-Distribution (als deren Definition wir im
folgenden (10.22) betrachten wollen), kann durch jede Folge stetiger Funktionen δ n , für
die
∫ ∞
lim
n→∞ −∞
f(t ′ )δ n (t − t ′ ) dt ′ = f(t) (10.24)
gilt, dargestellt werden. Beispiele:
• Rechteck
δ n (t) = n für |t| < 1
2n ; δ n(t) = 0 sonst. (10.25)
• Gauß-Funktion („Glockenkurve“)
• Die Darstellung
δ n (t) = 1 sin(nt)
π t
führt direckt auf die Schreibweise (10.23).
δ n (t) = n exp(−πt 2 n 2 ). (10.26)
= 1 ∫ n
exp(iωt) dω (10.27)
2π −n
Vorsicht: Die Gleichungen (10.24) - (10.27) sind so zu verstehen, dass die t ′ -Integration
vor der Limes-Bildung n → ∞ auszuführen ist!
Rechenregeln für die Delta-Funktion Wie man sich leicht selber überzeugen kann
gelten die Beziehungen
1.) δ(t) = δ(−t),
88

2.) δ(at) = δ(t)/|a| und
3.) δ(t 2 − a 2 ) = [ δ(t + a) + δ(t − a) ] / (2|a|); a ≠ 0 .
89