Teil IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum

mit
˜f(ω n ) =
lim
T →∞
( )
fn
∆ω
( T
= lim n)
T →∞ 2π f
Also kann man (10.12) als Riemann-Summe des Fourier-Integrals
. (10.13)
f(t) =
∫ ∞
−∞
˜f(ω) exp(−iωt) dω (10.14)
auffassen. Für die Umkehrung von (10.14) zeigt der Vergleich von (10.11) und (10.13):
˜f(ω) = 1 ∫ ∞
f(t) exp(iωt) dt
2π
. (10.15)
−∞
˜f(ω) heißt die Fourier-Transformierte zu f(t). Sie existiert und (10.14) konvergiert im
quadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen f(t), für die
∫ ∞
|f(t)| 2 dt < ∞; (10.16)
−∞
˜f(ω) dann auch quadratintegrabel ist.
f(t)
~
f( ω)
−T/2
−T/2
t
ω
Rechteckimpuls - Unschärferelation Wir berechnen nun die Fourier-Transformierte
für den Rechteckimpuls
Dann wird
f(t) = 1 für − T 2 ≤ t ≤ T ; f(t) = 0 sonst . (10.17)
2
˜f(ω) = 1
2π
∫ T/2
−T/2
exp(iωt) dt = 1
πω
exp(iωt)
2i
∣ T/2
−T/2
Die Breite ∆ω von ˜f(ω) schätzt man aus obiger Figur ab zu:
∆ω ≈ 2π
T
= sin(ωT/2)
πω
. (10.18)
oder ∆ω∆t ≈ 2π. (10.19)
Je schmaler (breiter) das Signal f(t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Frequenzspektrum,
das man benötigt.
Die Unschärferelation (10.19) ist nicht an das Beispiel (10.17) gebunden, sondern ist
ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.
Die Unschärferelation (10.19) wird sich in der Quantenmechnik (mit einem Faktor
verziert) als ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation wiederfinden.
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