Teil IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum

Orthogonalitätsrelationen Um die Orthogonalitätsrelation
(e m , e n ) = 1 T
∫ T/2
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = δ mn (10.10)
zu beweisen, brauchen wir nur die Fälle m = n und m ≠ n zu unterscheiden,
und
1
T
∫ T/2
1
T
∫ T/2
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = 1 T
−T/2
exp(iω(m − n)t) dt = 1 T
für m ≠ n.
=
=
∫ T/2
−T/2
dt = 1 (m = n) ,
1
iω n (m − n) exp(iω(m − n)t)∣ ∣ ∣
t=T/2
1
iω n T(m − n)
[ (
exp i 2π
T (m − n)T 2
2i
iω n T(m − n) sin ( π(m − n) ) = 0
t=−T/2 dt
Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten f n in (10.7) sind durch
)
(
− exp −i 2π )]
T (m − n)T 2
f n
= 1 T
∫ T
0
f(t) exp(iω n t) dt = 1 T
∫ T/2
−T/2
f(t) exp(iω n t) dt (10.11)
gegeben, wobei wir die Periodizität von f(t) verwendet haben. Für den Beweis verwenden
wir die Orthogonalitätsrelation (10.10) und finden
1
√
T
(e m , f) =
1 T
= 1 T
= ∑ n
∫ T/2
−T/2
exp(iω m t)f(t) dt
∑
∫ T/2
f n exp(iω m t) exp(−iω n t) dt
n −T/2
f n (e m , e n )
} {{ }
δ m,n
= f m .
Die Fourier-Reihe ist schlussendlich nichts anderes als die Entwicklung nach einer speziellen
Menge vollständiger Basis-Funktionen. In anderen Zusammenhängen ist es günstiger
andere Basis-Funktionen zu verwenden, wie z.B. Legendre Funktionen oder die Kugelflächenfunktionen.
Fourier-Integrale Wir betrachten nun Funktionen f(t) welche nicht periodisch sind.
Formell können wir dazu in der Dastellung (10.7) für die Fourier-Reihe, zusammen mit
(10.11) für die Koeffizienten, die Periodie T divergieren lassen.
Für den Grenzübergang T → ∞ betrachten wir mit ∆ω = 2π/T den Abstand benachbarter
Frequenzen ω n ,
f(t) = ∑ n
∆ω
∆ω f n exp(−iω n t) =
∞∑
n=−∞
˜f(ω n ) exp(−iω n t) ∆ω (10.12)
85