Teil IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum

Bemerkung Jede andere Variable kann eine Fourier-Transformation verwendet werden,
z.B. Funktionen f(x) des Ortes.
Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form
mit
f(t) = 1 √
2π
∫ ∞
−∞
˜f(ω) = 1 √
2π
∫ ∞
benutzt. Die Koeffizienten ˜f(ω) sind entsprechend zu reskalieren.
10.3 δ-Distribution
−∞
˜f(ω) exp(−iωt) dω (10.20)
f(t) exp(iωt) dt (10.21)
Distributionen Die Fourier-Transformation (10.14), (10.15) führt auf das folgende mathematische
Problem: Setzt man (10.15) in (10.14) ein, so muss (nach Vertauschung der
Integrationsreihenfolge)
f(t) = 1 ∫ ∞ ∫ ∞
f(t ′ ) exp(−iω(t − t ′ )) dω dt ′ =
2π −∞ −∞
∫ ∞
−∞
f(t ′ )δ(t − t ′ ) dt ′ (10.22)
mit
δ(t − t ′ ) = 1 ∫ ∞
exp(−iω(t − t ′ )) dω (10.23)
2π −∞
für beliebige quadratintegrable Funktionen f(t) gelten. Die hier eingeführte Größe δ(t−t ′ )
ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche streng
genommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung mit der Integration
in (10.22) erklärt ist.
x
x
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