1 Zur Lagrange-Multiplikatoren - TUM M7/Analysis
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y<br />
g = 0<br />
f = 0<br />
f = -1<br />
Wir zeichnen sukzessive die Höhenlinien (=Niveaulinien) zu einem noch kleineren Funktionswert<br />
von f ein und hören genau dann auf, wenn eine Verkleinerung keinen Schnittpunkt<br />
mehr mit der blauen Kurve hat. Diese Stelle ist nun also unsere Minimalstelle<br />
von f, eingeschränkt auf der blauen Kurve. Wenn wir jetzt die Tatsache berücksichtigen,<br />
dass Gradienten an einer Stelle stets senkrecht auf Höhenlinien der Funktionen stehen<br />
(siehe Skript S. 148f.), erhält man folgende Zeichnung, in der tatsächlich die Gradienten<br />
zueinander parallel sind.<br />
y<br />
g = 0<br />
x<br />
f = 0<br />
f = -1<br />
f = -2<br />
f = -5<br />
Man könnte jetzt einwenden, dass die Höhenlinien bei Verkleinerung der Funktionswerte<br />
von f nicht absteigend vorkommen. Es könnte auch sein, dass die Höhenlinie des Funktionswertes<br />
-1 zwischen den Höhenlinien des Funktionswertes 0 liegt:<br />
y<br />
g = 0<br />
x<br />
f = 0<br />
f = -1<br />
In diesem Fall besitzt aber f (aus Stetigkeitsgründen!) ein lokales Minimum an den grünen<br />
Schnittpunkten, weil die Funktionswerte unmittelbar überhalb und unterhalb der Niveaulinie<br />
f = −1 wieder zunehmen. Man beachte, dass dieses lokale Minimum auch ohne<br />
Nebenbedingung auftritt.<br />
Der Gradient von f ist demzufolge an den grünen Stellen der Nullvektor und die Gleichung<br />
f = 0<br />
∇f(grüne Stelle) + λg(grüne Stelle) = 0<br />
ist für λ = 0 erfüllt – völlig unabhängig davon, in welche Richtung ∇g(grüne Stelle) zeigt.<br />
x