Parabeln und quadratische Gleichungen - Friedrich-Schiller ...

Parabeln und quadratische
Gleichungen
Materialien zum entdeckenden Lernen
mit dem ClassPad 300
ein Forschungsprojekt
zum Rechnereinsatz im Mathematikunterricht
von H. Rehlich
gefördert von CASIO

Parabeln und quadratische Gleichungen
Version 1.0
Materialien zum entdeckenden Lernen
mit dem ClassPad 300
Autor: H. Rehlich Friedrich-Schiller-Universität Jena,
Fakultät für Mathematik und Informatik, Abteilung Didaktik
http://www.minet.uni-jena.de/~schmitzm/midida/start.php
gefördert von CASIO
www.casio-europe.com/
2

Überblick
Was Sie hier finden
Dies ist eine Handreichung zur Unterrichtsgestaltung für die neunte Jahrgangsstufe zum Thema
"Parabeln und quadratische Gleichungen". Die Arbeitsblätter und zugehörigen Informationen
sind so weit ausgearbeitet, dass sie direkt im Unterricht eingesetzt werden können.
Das Konzept der Unterrichtseinheit
Das zugrunde liegende Konzept sieht hohe entdeckende Eigenanteile der Schüler bei der
Erarbeitung des Themas vor. Der Unterrichtende "moderiert" dabei einen zum Teil
projektartigen Unterricht. Die inhaltliche Auswahl orientiert sich an den für diese Jahrgangsstufe
üblichen Standards und sieht sinnvolle Ergänzungen zur Vertiefung vor. An vielen Stellen kann
der Taschencomputer z.B. zur Organisation von Beispielmaterial eingesetzt werden. In diesem
Material erkennen die Schüler Muster und gelangen über einfache elementare Tätigkeiten und
Hypothesenbildungen auf genetischem Weg zu neuen Fertigkeiten und neuem Wissen über
relevante Zusammenhänge. Die Arbeitsblätter sind so gestaltet, dass sie zum größten Teil aber
auch ohne Hilfe eines Computers sinnvoll bearbeitet werden können.
Der Rahmen
Das Material wurde für ein Forschungsprojekt entwickelt. Dabei geht es vor allem darum,
Informationen darüber zu sammeln, in welchem Maße und in welchen Zusammenhängen der
Einsatz eines Taschencomputers von Lehrern und Schülern als nützlich oder eher als hinderlich
empfunden wird.
Unsere Bitte
Die Handreichung enthält kurze Lehrer- und Schülerfragebögen. Man kann wohl sagen, dass in
der Gesellschaft der Stellenwert der Computer-Orientierung im Mathematikunterricht zur Zeit
ausgehandelt wird und am Ende dieses Prozesses durchaus verbindliche Vorgaben an das
Bildungssystem formuliert sein können. An dieser Diskussion nehmen verschiedene
Interessengruppen teil. Wir halten es für außerordentlich wichtig, vor allem die Erfahrungen
unmittelbar Betroffener, also von Lehrern und Schülern, in besonderem Maße in diese
Diskussion einzubringen, um Fehlentwicklungen - wie damals in der Mengenlehre - vermeiden
zu helfen.
Unsere Gegenleistung
Das Material ist nur ein Teil einer umfassenderen Handreichung. Diese erscheint im Frühjahr
2005. Dort werden auch Aspekte der synthetischen Geometrie und quadratische
Wachstumsprozesse integriert sein. Daneben werden vermehrt Übungen und auch Klausuren für
die Schüler eingebunden. Für die Zurücksendung der Fragebögen schicken wir Ihnen ein
Exemplar.
Juni 2004
H. Rehlich
3

Inhalt
1. Einleitung 6
Ob und in welchem Umfang man einen Taschencomputer im eigenen Unterricht einsetzt, ist eine didaktische
Entscheidung, die eine Bewusstmachung und kritische Abwägung für- und gegensprechender Argumente
erfordert. Das hinterlegte Konzept wird kurz beschrieben.
2. Kurzübersicht 7
Tabellarische Einordnung der einzelnen Schülerarbeitsblätter in zweierlei Hinsicht: nach Inhalten
(lehrplanbezogen) und in ein Kompetenzmodell (aus der Entwicklung der Bildungsstandards).
2.1 Fachinhalte
2.2 Kompetenzen
3. Detaillierte Informationen zu den Arbeitsblättern (A) 8
Beschreibung konzeptioneller Vorstellungen zum Einsatz der Arbeitsblätter. Der didaktische Rahmen wird
umrissen.
3.1 Formen und Formeln (Grundlagen) 8
Bemerkungen zu den Inhalten der Arbeitsblätter dieser Gruppe und den angestrebten Lernfortschritten der
Schüler hinsichtlich wichtiger Grundlagen.
3.1.1 Gleichungen erzeugen Bilder (A1) 8
3.1.2 Zahlen justieren Parabeln, Teil I und II (A2/A3) 9
3.1.3 Blicke durch verschiedene Brillen (A4) 9
3.1.4 Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber (A5) 9
3.2 Vertiefungen 9
Die Arbeitsblätter dieser Gruppe dienen u. a. der Vernetzung des Themas mit Elementen der diskreten
Mathematik und Anwendungen. Die Ziele werden beschrieben.
3.2.1 Wachsende Muster, Muster des Wachstums (A6) 10
3.2.2 Einzäunungsprobleme (A7) 10
3.2.3 Analyse des Spieles „Froschhüpfen“ (A8) 10
3.3 Die Arbeitsblätter 11-23
4

4. Hilfen für die Unterrichtsvorbereitung 24
Kurze Sachanalysen und Hinweise für verschiedene mögliche Herangehensweisen an die Aufgaben der
Arbeitsblätter durch die Schüler. Man findet auch inhaltlich weiterführende Informationen und Ergebnisse
zum Vergleichen.
4.1 Formen und Formeln (Grundlagen) 24
4.1.1 Gleichungen erzeugen Bilder (H1) 25
4.1.2 Zahlen justieren Parabeln, Teil I und II (H2/H3) 27
4.1.3 Blicke durch verschiedene Brillen (H4) 30
4.1.4 Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber (H5) 31
4.2 Vertiefungen 32
4.2.1 Wachsende Muster, Muster des Wachstums (H6) 33
4.2.2 Einzäunungsprobleme (H7) 35
4.2.3Analyse des Spieles „Froschhüpfen“ (H8) 37
5. Fragebögen 39
5.1 Lehrerfragebogen 40
5.2 Schülerfragebogen 42
5

1. Einleitung
Es gibt viele Fürsprecher für den Computereinsatz im Mathematikunterricht. Man findet sie bei
Lehrern, Mathematikdidaktikern, Eltern, in Kultusministerien, Verlagen und bei der Presse.
Unter anderem findet man Stellungnahmen folgender Art:
(1) Durch den Computer können wir uns, befreit vom Ballast der „stumpfsinnigen
Rechentechnik“, auf wesentliche mathematische Inhalte und Verfahren konzentrieren.
(2) Computerorientierter Mathematikunterricht ermöglicht den Schülern in besonderem Maße
mehr Selbständigkeit bei der Erschließung neuer Bereiche.
(3) Es müssen verstärkt Materialien zum Computereinsatz an Schulen entwickelt werden.
Zu diesen und ähnlichen Stellungnahmen werden mögliche Einwände angedeutet:
Zu (1): MENNINGER schrieb einmal „von den Zahlen geht ein Zauber aus“, und in der Tat
rechnen viele kleine Kinder sehr gerne. Das Maschinenrechnen kann zu einer Verkümmerung
des Zahlensinns führen. Man denkt nicht mehr, sondern akzeptiert das ausgeworfene Ergebnis.
Vielfältiges Kopf- und Handrechnen kann zur Entdeckung elementarer „Rechenkniffe“ führen,
die man als propädeutische elementare Zahlentheorie einstufen kann. Auch das Variieren von
Termen kann eine höchst phantasievolle Tätigkeit sein, die darauf zielt, neue tiefere Einblicke in
einen mathematischen Gegenstandsbereich zu erhalten. Termumformung so verstanden, ist keine
„Einbahnstraße“ zur Vereinfachung, sondern eine Möglichkeit, einen Gegenstand aus
verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten und neue Aspekte zu entdecken.
Das Spektrum sinnvoller elementarer mathematischer Beschäftigungen ist so groß, dass sich alle
wesentlichen Bildungsziele des Schulunterrichts ebenso gut mit wie ohne Computereinsatz
ansteuern lassen.
Zu (2): Selbständiges und entdeckendes Lernen ist nicht an ein bestimmtes Medium gebunden.
Darüber hinaus muss man bedenken, dass allein die Bedienung eines Computers vom Nutzer
verlangt, den mehr oder minder rigiden syntaktischen Vorgaben des Gerätes zu genügen und das
ist eindeutig eine Gängelung und Fremdbestimmung.
Zu (3): Fazit: Der Computereinsatz sollte kein „Selbstzweck“ sein. Man kann ihn aber dort
einsetzen, wo er selbständigen Lernprozessen der Schüler förderlich sein kann (und dies
vielleicht sogar in besonderem Maße) und auch, weil der Mensch die Abwechslung liebt. Dieser
Ansatz wird hier verfolgt. Dabei beziehen wir uns – exemplarisch und wegen seiner
ergonomischen Oberfläche - auf den Class-Pad von Casio.
In Abschnitt 4 findet man Arbeitsblätter für die neunte Jahrgangsstufe zum Thema „Parabeln und
quadratische Gleichungen“. Das Konzept in Kürze:
A Die Arbeitsblätter sollen hohe Anteile entdeckenden Lernens bei der Erarbeitung
wesentlicher Grundlagen und bei ihrer Vernetzung untereinander und mit Vorwissen
ermöglichen.
B Es gibt vielfältige Möglichkeiten, den Taschencomputer zur Organisation von
Anschauungsmaterial, zur Ideenfindung oder Analyse von Vermutungen einzusetzen. Auf
diese Möglichkeiten wird auf den Arbeitsblättern hingewiesen.
C Die Ziele der Stunden und deren Verlauf sollen für die Schüler transparent sein. Aus
diesem Grunde enthalten die Arbeitsblätter Informationen darüber. Der Einsatz des
Taschencomputers soll den Schülern freigestellt und kein Zwang sein. Beide „Stilmittel“
sollen selbstverantwortliches Lernen im Gegensatz zu einer eher rezeptiven Haltung
unterstützen.
6

2. Kurzübersicht
2.1 Fachinhalte
Die folgende tabellarische Übersicht zeigt Bezüge zu wichtigen Themenbereichen.
Grafische Darstellung von Gleichungslösungen (allgemein, mit
vielen Wiederholungsmöglichkeiten grundlegender Inhalte)
Einfluss der Parameter auf Graphen quadratischer Funktionen und
Rückschlüsse von der Form auf die Parameter.
Zusammenhänge spezieller Darstellungsformen quadratischer
Funktionen mit Form- und Lage der Parabel im Koordinatensystem
Lösungsmethoden für spezielle quadratische Gleichungen und ihre
geometrische Deutung.
Aufgabenblatt
1 2 3 4 5 6 7 8
x
x x
x x
x x x
Allgemeine Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen x
Anwendung, Modellierung x
Arithmetik quadratischen Wachstums
Mathematik und Spiele
2.2 Kompetenzen
Wir orientieren uns an dem von der Kommission zur Erarbeitung von Bildungsstandards
erarbeiteten Kompetenzmodell und ordnen die Arbeitsblätter nach ihren Hauptaspekten zu.
mathematisch
argumentieren
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8)
kommunizieren
(4, 7, 8)
Probleme mathematisch
lösen
(6, 7, 8)
Auseinandersetzung
mit mathematischen
Inhalten
mit symbolischen, formalen
und technischen Elementen
der Mathematik umgehen
(1, 2, 3, 4, 5, 7)
modellieren
(7)
mathematische
Darstellungen
verwenden
(1, 2, 3, 4, 5)
x
x
x
7

3. Detaillierte Informationen zu den Arbeitsblättern
Alle Arbeitsblätter sind auf Eigenaktivitäten der Schüler angelegt. Es gibt spielerisch
probierende Phasen, in denen Material in Form von Tabellen oder Beobachtungen organisiert
und zusammengestellt wird. Dieses Material wird nach auffälligen Mustern durchforstet und das
führt in der Regel zu Vermutungen, Begründungen und ggf. Widerlegungen. Erst nach diesen
genetischen Phasen soll ggf. eine Systematisierung und Algorithmisierung von Wissen und
Können stattfinden. Der Taschencomputer kann bei diesem „Lerndesign“ in vielfältiger Weise so
eingesetzt werden, dass er entdeckende Lernvorgänge unterstützt und durch die mit seinem
Einsatz verbundene Abwechslung Aufmerksamkeit und Motivation bei den Schülern erzeugt.
Die Arbeitsblätter sind nicht eigens für den Rechnereinsatz, also medienorientiert konzipiert. Sie
orientieren sich vielmehr am mathematischen Inhalt und bestimmten Vorstellungen vom Lernen.
Wenn der Rechner hierbei nützlich sein kann, wird darauf hingewiesen und es werden
Vorschläge zum Einsatz beschrieben. Für einige Arbeitsblätter ist er notwendig (dann ist er
abgebildet), bei einigen kann er eingesetzt werden (dann findet man nur Icons für die nützlichen
Funktionen), und bei einem Arbeitsblatt kann er nicht sinnvoll verwendet werden. Vieles kann
bei hinreichender Muße und Motivation auch mit „Papier und Bleistift“ bearbeitet werden. Im
Kapitel 4 findet man inhaltliche und methodische Informationen zu den Arbeitsblättern und
möglichen Unterrichtsabläufen.
3.1 Formen und Formeln (Grundlagen)
In den Arbeitsblättern dieser Gruppe geht es um die Entwicklung von Vernetzungen zwischen
algebraischer Form und geometrischer Darstellung bei quadratischen Gleichungen. Dazu wird
die Klasse der betrachteten Objekte zunächst nicht auf Funktionsgleichungen eingeschränkt.
Indem die Schüler zwischen beiden Repräsentationen hin- und herschalten, wird ein sinnvoller
reflexiver Umgang mit Gleichungen geschult. Punkte im Koordinatensystem werden als
Visualisierungen von Lösungstupeln begriffen. Die Beschäftigung ist zunächst spielerisch
beobachtend, dann gezielt explorativ und soll schließlich zur eigenen Entwicklung tragfähiger
Konzepte und Fertigkeiten führen. Dazu gehören die Fähigkeit, Funktionsgraphen passende
Funktionsgleichungen zuzuordnen, aus gegebenen Funktionsgleichungen Aussagen über Form
und Lage ihrer Graphen abzuleiten und quadratische Gleichungen sinnvoll, d.h. passend zu ihrer
speziellen Darstellungsform, lösen zu können. Viele Themen bieten Stoff für zwei
Unterrichtsstunden und zwei Arbeitsblätter.
3.1.1 Gleichungen erzeugen Bilder A1
Mit Hilfe des Taschencomputers werden Gleichungen und ihre graphischen Darstellungen
im Koordinatensystem betrachtet und klassifiziert. Für ausgewählte Fälle wird eine
Analyse vorgenommen. Frühere Lerninhalte, wie z.B. der Satz des Pythagoras, werden
beiläufig, als Teil des „Rahmenprogramms“, im Zusammenhang mit Kreisgleichungen
wiederholt. Die Auswahl der Gleichungen fördert durch unterschiedliche Schwierigkeitsgrade
die innere Differenzierung. Man findet auch einige „Kuriositäten“ (z. B. ein Kreuz
als Visualisierung einer Lösungsmenge), die zum Nachdenken und Analysieren anregen.
Als für die weitere Arbeit wichtiger „Nebeneffekt“ wird der Umgang mit dem
Taschencomputer eingeübt.
8

3.1.2 Zahlen justieren Parabeln, Teil I und II A2/3
In Teil I werden mit Hilfe eines Funktionsplotters zunächst gezielt Beobachtungen an
Serien quadratischer Gleichungen und ihrer Graphen vorgenommen. Zusammenhänge
zwischen Eigenschaften der Graphen und ihren algebraischen Darstellungen werden
festgehalten und durch eine Umkehrung „vom Graphen zur Funktionsgleichung“
abgesichert und vertieft. Dabei werden auch faktorisierte Formen der Funktionsgleichung
betrachtet und auf ihren Informationsgehalt für die Gestalt und Lage des Funktionsgraphen
hin untersucht.
In Teil II wird wieder über eine Serie von Änderungen an Funktionsgleichungen
Verständnis für die Scheitelpunktform erzeugt. Diese wird schließlich benutzt, um zu
vorgegebenen Graphen Funktionsgleichungen zu bestimmen. Daneben spielen – als
Kontrast – aber auch wieder faktorisierte Formen eine Rolle.
3.1.3 Blicke durch verschiedene Brillen A4
Zunächst wird durch ein einfaches Beispiel aus einem ganz anderen, sehr elementaren
Bereich die Generalisierung der Einsicht, dass die spezielle Strukturierung einer Gleichung
auf besondere Formaspekte des beschriebenen Objekts weist, erleichtert. Die Schüler
bilden passende Paare aus Gleichungen und speziellen Aufteilungen einer einfachen
Fläche. Danach werden durch den Übergang auf quadratische Funktionen und ihrer
Darstellung Ergebnisse der vorangegangenen Unterrichtsstunden gefestigt. Normalform,
faktorisierte Form und Scheitelpunktform werden nebeneinander gestellt und verglichen.
Damit wird, neben dem Blick auf die Graphen, schon der gezielte Umgang mit
Termumformungen trainiert.
3.1.4 Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber A5
Durch den Wechsel von spielerischem Experimentieren mit einem CAS und Nachdenken
über Lösungsstrategien „per Hand“ soll die nötige Motivation für die in Teilen
selbständige Entwicklung von Lösungsalgorithmen erzeugt und aufrecht erhalten werden.
Das CAS wird dabei sowohl für die Lösung spezieller Gleichungen als auch für die
Ausgabe von allgemeinen Lösungsformeln eingesetzt. Diese werden durch gezielte,
zunehmend auf komplexere Zusammenhänge bezogene Nachfragen nachvollzogen und
verstanden. In den zu veranschlagenden zwei Unterrichtsstunden soll der umsichtige
verstehende Umgang mit Gleichungen (was auch das Ausnutzen günstiger
Strukturvorgaben beinhaltet) entwickelt bzw. gefestigt werden.
3.2 Vertiefungen
Die Bearbeitung der Arbeitsblätter dieses Abschnitts soll den Schülern einige der vielfältigen
Bezüge des Themas zu anderen mathematischen Gegenstandsbereichen und Anwendungen
zeigen. Dabei ist nicht an das Erlernen standardisierter mathematischer Lösungsverfahren für
bestimmte Aufgabenklassen gedacht. Vielmehr sollen die bisher vorhandenen Einsichten und
Fertigkeiten „unter einem anderen Blickwinkel“ ausgeweitet und generalisiert werden. Dabei
werden auch wichtige Grundfertigkeiten (im Dienste einer darüber hinaus gehenden,
interessanten andersartigen Fragestellung, eingeübt). Die Arbeitsblätter sind so angelegt, dass
innerhalb des jeweiligen Themas aber auch generalisierende Einsichten gefördert werden. Das
Spektrum umfasst Elemente der diskreten Mathematik und der Optimierung.
9

3.2.1 Wachsende Muster, Muster des Wachstums A6
Eine bekannte wachsende Konfiguration zur Einsicht in die Verhältnisse bei der
Summenbildung von Anfangsstücken der Folge der ungeraden Zahlen (1 + 3 + 5 + … =
Quadratzahl) bildet den Ausgangspunkt zur Untersuchung der Arithmetik quadratischen
Wachstums. Dabei spielen Differenzenfolgen und rekursive und explizite Darstellungen
für Zusammenhänge in einem weiteren geometrisch vorgegebenen Wachstumsmuster eine
tragende Rolle. Die gestellte Aufgabe lässt sich in vielfacher Weise bearbeiten. Je nach
gewünschtem Offenheitsgrad oder Unterrichtsablauf kann mit einem oder zwei Blättern
gearbeitet werden.
3.2.2 Einzäunungsprobleme A7
Bei dieser Aufgabe geht es um ein Einzäunungsproblem, dessen mathematische Beschreibung
mit einer quadratischen Gleichung möglich ist. Über die Symmetrieeigenschaft der
Parabel oder die Scheitelpunktform kann leicht das Maximum der Zielfunktion bestimmt
werden. Diese Bearbeitungsmöglichkeit steht aber keineswegs im Zentrum der Lehrabsichten.
Es ist auch nicht daran gedacht, formalisierende Begrifflichkeiten wie
„Zielfunktion“ und „Randbedingung“ einzuführen und an einem Beispiel diese
Optimierungsmethode lehrerzentriert zu „vermitteln“. Vielmehr geht es darum, einen
Bogen von naiv experimentierenden Herangehensweisen über systematisches Probieren
und Musteranalysen zu spannen, an dessen Ende eine Reflexion über ökonomischere
Herangehensweisen stehen sollte. Die Vorgaben sind dabei so angelegt, dass frei von
Vorwissen und einschlägigen Begrifflichkeiten sinnvoll und selbständig an dem Problem
gearbeitet werden kann. In den zugehörigen Informationen zum Unterricht sind einige
Beispiele für verschiedene zielführende Aktivitäten (auch nicht standardisierte Denkwege)
beschrieben. Man kann zu verschiedenen Generalisierungen von Lösungswegstrukturen
gelangen. Für diesen Aspekt kann abschließend ein Lehrervortrag sinnvoll sein.
3.2.3 Analyse des Spiels „Froschhüpfen“ A8
Zunächst wird für eine Serie von Spielvorgaben jeweils die kleinste Anzahl von Zügen
ermittelt, um das Spielziel zu erreichen. Die sich so ergebende Tabelle wird auf auffällige
Muster hin untersucht. Dabei können die Schüler entdecken, dass – analog zu den
Ergebnissen bei den wachsenden Konfigurationen – wieder formgleiche Strukturen
auftreten. Bei der Analyse können sowohl rekursive, als auch explizite Zusammenhänge
auffallen und zur Vorhersage der Lösungen für sehr große Spielfelder herangezogen
werden. In diesem Zusammenhang werden ggf. neue nützliche Einsatzmöglichkeiten von
Mathematiksoftware kennen- und verwenden gelernt. Für das Ausgangsspiel existieren
verschiedene Verallgemeinerungsmöglichkeiten, so dass die erprobten Analyseverfahren
gefestigt und verinnerlicht werden können.
3.3 Die Arbeitsblätter
10

Gleichungen erzeugen Bilder
Ziele: Am Computer werden Bilderserien erzeugt und betrachtet. Dabei
werden Zusammenhänge von Gleichungen und den grafischen
Darstellungen ihrer Lösungsmengen deutlich.
Arbeitsmittel: Taschencomputer, Zeichenblatt
A11
Ablauf: Nach der Betrachtung einiger Serien von „Geichungsbildern“ werden diese in
sinnvolle Gruppen geteilt. Für einige Bilder werden Erklärungen gesucht.
Aufgaben:
1. Für die Gleichung 2x + y = 4 gibt es unendlich viele Zahlenpaare
(x, y), die diese Gleichung erfüllen; z.B. (0, 4), (1, 2), (-1000, 2004)
usw. Wenn man diese Gleichung im Fenster „Conics Equation“
eingibt und danach auf das Feld klickt, wird jedes Paar (x,y)
das diese Gleichung löst, im Grafikfenster als Punkt markiert. Das
nebenstehende Bild zeigt das Ergebnis dieser Aktion. Man kann
sich danach Lösungspaare der Gleichung anzeigen lassen. Dazu
muss auf geklickt werden. Dieses Feld wird sichtbar, wenn
man das untere Fenster aktiviert. Führe das durch. Mit Hilfe der
Cursortasten kann man sich dann Punkteserien anzeigen lassen.
2. Gib für jede der Gleichungen a, b, c, n und t drei Lösungspaare an. Stelle dann die
Lösungsmengen aller Gleichungen auf dem Rechner grafisch dar und skizziere die Graphen.
Man kann einige „Formtypen“ unterscheiden. Achte darauf und sortiere die Gleichungen in
entsprechende „Schubladen“ (diese musst du dir evtl. selbst ausdenken).
a) y = 2x b) 2x – 3 + y = 0 c) x·y + x = 0 d) y = -1
x 1
e) x ·y = 2 f) =
g) x – y = 3 h) y = x
y 2
2
i) x 2 + y 2 = 1 j) x 2 + y 2 = 4 k) x 2 – y 2 = 1 l) y = x 2 -2
m) 0 = x 2 + x - y n) y 2 + y = x 2 + x o) (x-1) 2 + (y-2) 2 = 3 p) x = 3
q) 2x 2 + y 2 = 1 r) (x-1)·y = 3 s) y + x 2 –x + 1 = 0 t) x = y 2
3. Die Graphen von 2c und 2d scheinen identisch zu sein, sind es aber nicht. Unendlich viele
Lösungen einer der beiden Gleichungen zeigt der Rechner gar nicht. Welche?
4. Manche der Bilder sind gar keine Funktionsgraphen, denn es gibt zu den x-Werten mitunter
verschiedene y-Werte. Nenne drei, bei denen das der Fall ist und erkläre, woran das liegt.
Kannst du die entsprechenden Bilder durch mehrere Funktionsgleichungen zusammensetzen?
5. Das Bild zu 2n ist vielleicht besonders merkwürdig. Erkläre es zumindest teilweise.
6. Erkläre die Bilder zu 2i, 2j und 2o.
11

Koordinatensysteme zum Skizzieren der Bilder
Die dünnen Linien markieren das Raster aus ganzen Zahlen.
a) y b)
y
c)
y
d)
x
e) y f) y g) y h)
x
i) y j) y k) y l)
x
m) y n) y o) y p)
x
q) y r) y s) y t)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
A12
x
x
x
x
x
12

Zahlen justieren Parabeln, Teil I
Ziele: Die Gleichungen y = 2·x 2 + 3·x – 4 und y = x 2 – 1,5·x
+ 2 beschreiben quadratische Funktionen. Man hat
jeweils „3-mal unendlich viele Möglichkeiten“
Variationen vorzunehmen (vor x 2 , vor x und bei der
alleinstehenden Zahl). Die Einflüsse dieser Größen auf
den Funktionsgraphen werden durch systematisches
Probieren entschlüsselt.
Arbeitsmittel: Taschencomputer und/oder „Papier und Bleistift“.
A21
Ablauf: An der Funktionsgleichung der Normalparabel im Koordinatensystem y = x 2
werden in zwei Serien gezielt Änderungen vorgenommen. Die Zusammenhänge
zwischen den veränderten Funktionsgleichungen und den zugehörigen neuen
Funktionsgraphen werden beobachtet und beschrieben. Zum Schluss soll nach
Erklärungen für die Zusammenhänge gesucht werden. Bei Vorgängen, die du
dir ohne Hilfen bildlich vorstellen kannst, kann der erste Schritt natürlich
entfallen.
Serie I: y = x 2 + 1 y = x 2 - 1 y = x 2 y = x
± 2 (3, 4, 5, usw.)
Serie II:
2
y = x 2 + 1x y = x 2 - 1x y = x 2 ± 2x (3x, 4x, 5x, usw.)
Aufgaben:
1) Wie wirken sich die Variationen von Serie I und II auf die Lage und die Form des Graphen
aus? Arbeite auch mit eigenen, nicht ganzzahligen Variationen. Notiere deine Erkenntnisse.
Suche auch nach Erklärungen für die Zusammenhänge.
2) Wo liegen die Schnittpunkte mit der x-Achse und welche Gleichungen muss man aufstellen
und lösen, um diese rechnerisch anhand der vorgegebenen Funktionsgleichungen zu
ermitteln?
3) Die Funktionsgleichung y = x 2 + 3x + 2 ist gewissermaßen eine Kombination aus
Funktionsgleichungen der Serie I und der Serie II. Skizziere ihren Graphen „per Hand“ und
überprüfe dein Ergebnis. Wenn du eine Methode entdeckst hast: Prüfe sie an weiteren drei
eigenen Beispielen.
Fortsetzung folgt
13

Zahlen justieren Parabeln, Teil I, (Fortsetzung)
A22
4) Gib zu den Graphen passende Funktionsgleichungen an (die Koordinatensysteme sind jeweils
„ganzzahlig gerastert“) und bestimme die Koordinaten der unbekannten Nullstellen.
f(x) = ?
4
3
2
1
(0, 0)
-3 -2 -1
0
0
-1
1 2(2, 0) 3
5) Untersuche diese Serie:
-2
-3
f(x) = ?
4
3
2
1
? ?
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
(0,-2)
f(x) = ?
4
3
2
1
? ?
0
-3 -2 -1 0
(-2, - -1
-2
1
(0,-1)
2 3
y = (x + 1)·(x - 5) y = (x - 1)·( x- 5) y = (x ± 2)·(x - 5) allgemein: y = (x+a)(x+b)
6) Wenn man die bisher bekannten Zusammenhänge ausnutzt, kann den folgenden
Funktionsgleichungen, auch ohne eine umfangreiche Wertetafel, viel über den zugehörigen
Graphen „angesehen“ werden.
Skizziere die Graphen „per Hand“ so genau wie möglich. Prüfe dann mit dem Rechner nach.
a) y = x 2 – 5 b) y = x 2 + 3x c) y = x 2 – 2x - 3 d) y = (x-1)(x-2)
Denke dir dann selbst eine ähnliche Serie aus und tausche mit deinem Sitznachbarn.
y
y
x
-3
x
14

Zahlen justieren Parabeln, Teil II
A3
Arbeitsmittel: Taschencomputer und/oder „Papier und Bleistift“, ggf.
eine Parabelschablone
Ablauf: Wie in „Variationen I“.
Serie I: y = x 2 y = (x + 1) 2 y = (x - 1) 2 y = (x ± 2) 2 (3, 4, 5, usw.)
Serie II: y = (x + 1) 2 y = (x + 1) 2 + 1 y = (x + 1) 2 - 1 y = (x + 1) 2 ± 2 (3, 4, 5, usw.)
Aufgaben:
1) Wie wirken sich die Variationen in Serie I auf die Lage und die Form des Graphen aus?
Arbeite auch mit eigenen, nicht ganzzahligen Variationen. Erkläre schriftlich einige
Zusammenhänge zwischen dem Funktionsterm und dem Funktionsgraph.
2) Man kann die bisher gewonnen Einsichten ausnutzen, um Funktionsgleichungen aus dem
Bild des Graphen zu erschließen.
a) Gib zu den abgebildeten Graphen in Bild 1 passende Funktionsgleichungen. Einige
Kurvenpunkte mit ganzzahligen Koordinaten sind fett hervorgehoben. Bei
Unsicherheiten: Überprüfe die Richtigkeit deiner Lösung mit dem Computer.
4
3
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(3)
(1)
(2)
1
-1 1
-1
-2
-3
-4
Bild 1
(6)
(4)
(5)
b) Für den Graphen (1) kann man mit Hilfe des Scheitelpunktes schnell y = (x+2) 2 + 2
finden. Man kann aber auch so argumentieren: Lägen die beiden fett hervorgehobenen
Rasterpunkte auf der Höhe y=3 auf der x-Achse, dann würde die Funktionsgleichung y =
(x+1)·(x+3) lauten. Da der Graph aber um drei Einheiten weiter oben liegt, lautet die
Funktionsgleichung y = (x+1)·(x+3) + 3. Finde für zwei weitere Graphen zwei
Vorgehensweisen und weise die Gleichwertigkeit der Lösungen nach.
c) Finde auch für die Graphen in Bild 2 passende Funktionsgleichungen. Versuche diese
jeweils durch zwei getrennte Überlegungen zu ermitteln. Vergleiche die Ergebnisse.
d) Wo schneidet der Graph (10) die x-Achse?
(7)
4
3
2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(8)
(9)
1
-1 1
-1
-2
-3
-4
Bild 2
(10)
(11)
(12)
15

Blicke durch verschiedene Brillen
Ziele: Durch eine Reflexionsphase sollen einige der bisher gewonnenen
Erkenntnisse verdeutlicht und vertieft werden. Dazu wird zunächst
ein Beispiel zur Flächenberechnung betrachtet.
Arbeitsmittel: Nur Schreiber und Papier.
Aufgaben:
1. Entwickle eine Flächeninhaltsformel für die
abgebildete Figur. Diese Formel muss natürlich aus
den drei Variablen a, b und c „zusammengesetzt
sein.
A41
2. Es hängt von der eigenen Sichtweise ab, welche Flächenzerlegung man
bevorzugt (ist deine dabei?).
I
II
III
V
IV VI
Abhängig von dieser Sichtweise kann man zu
unterschiedlich aussehenden Formeln gelangen.
Ordne jeder Zerlegung eine passende Formel zu.
3. Man kann bei allen Formeln die Terme auf der rechten Seite ausmultiplizieren und
zusammenfassen. Man erhält immer (bis auf die Reihenfolge) dasselbe Ergebnis. Zeichne
eine Aufteilung die zu dieser Darstellung passt.
a
a
b
c
b
c
2
i) A = a + a ⋅ c + b ⋅ ( c − a)
ii) A = ( a + c)
⋅(
a + b)
− 2ab
2
iii) A = a + c ⋅ ( a + b)
− ab
2
iv ) A = 2a
+ ( c − a)
⋅ ( b + a)
v) A = 2ac
+ ( b − a)
⋅ ( c − a)
vi) A = a ⋅ ( c + a)
+ b ⋅ ( c − a)
a
a
Fortsetzung folgt
16

Blicke durch verschiedene Brillen (Fortsetzung)
A42
2
2. Die Funktionsgleichungen α) f ( x)
= ( x −1)
− 4 β) f ( x)
= ( x − 3)
⋅(
x + 1)
beschreiben dieselbe quadratische Funktion.
2
γ) f ( x)
= x − 2x
− 3 δ) f ( x)
= x ⋅(
x − 2)
− 3
Ebenso wie in Aufgabe 1 betonen die unterschiedlichen Darstellungen verschiedene Aspekte
der zugehörigen geometrischen Form.
2
1
0
-2
-3
-4
-5
Bild I Bild II Bild III Bild IV
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
2
1
0
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
2
1
0
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
2
1
0
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
a) Bilde passende Paare aus den Bildern und den Funktionsgleichungen. Schreibe kurze
Begründungen für die Zusammenhänge und bilde selbst je zwei weitere Beispiele der
betreffenden Art.
b) Die ersten drei Darstellungsformen der Funktionsgleichung haben besondere Namen:
Scheitelpunktform Normalform faktorisierte Form
2 2
f ( x)
= ( x −1)
− 4
f ( x)
= x − 2x
− 3 f ( x)
= ( x − 3)
⋅(
x + 1)
Die folgenden Funktionsgleichungen beschreiben drei verschiedenen Funktionen.
f ( x)
= ( x + 1)
2 −
1
2
f ( x)
= x − 4x
+ 2
f ( x)
= ( x + 3)
⋅(
x −1)
Welche der vorgelegten Funktionsgleichungen kannst du jeweils in die zwei anderen
„Formtypen“ überführen und welche Übergänge sind besonders einfach?
Welche der drei Formen kann gar nicht für jede quadratische Funktion existieren?
Die Berechnung der Nullstellen ist – je nach der Form der Funktionsgleichung –
unterschiedlich schwierig. Welche Abstufung siehst du hier?
-2
-3
-4
-5
17

Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber
Ziele: Wir üben den Umgang mit einem CA-System und denken darüber
nach, welche Aufgaben man sich abnehmen lassen sollte und welche
nicht. Dabei werden auch Methoden zur Lösung quadratischer
Gleichungen entwickelt.
Arbeitsmittel: Das Computer-Algebra-System (CAS) des Rechners.
A51
Ablauf: Eine Serie von Aufgaben mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad wird mit einem
CAS und „per Hand und Kopf“ bearbeitet. Am Ende werden Formeln entwickelt.
Aufgaben:
1) Vorgegeben sind die folgenden Gleichungen:
i) x 2 = 25 ii) x 2 - 9 = 0 iii) x 2 + 4x = 0 iv) x 2 - 11x = 0
v) (x+3) 2 = 25 vi) (x-1) 2 - a = 0 vii) (x-3)(x-5) = 0 x 2 + 9 = 0
a) Löse die Serie quadratischer Gleichungen mit dem CAS.
Welche hättest du auch „per Hand“ lösen können?
Hinweis:
Die Abbildung rechts zeigt die Eingabe für Aufgabe vi.
„Solve“ heißt „löse“, in der Klammer steht dann die zu
lösende Gleichung und hinter dem Komma die Variable, nach
der aufzulösen ist. Wenn man x durch a ersetzt, wird also
nach a aufgelöst (probiere es einmal).
b) Wenn man die linken Seiten der Gleichungen als Funktionsterme betrachtet, kann man
über einige dieser Funktionen sofort Eigenschaften ablesen und eigentlich schon ohne
Rechnen Lösungen „sehen“. Bei welchen gelingt dir das?
c) Wenn man zwei der vorgegebenen Gleichungen ausmultipliziert und die Terme sortiert,
erhält man für „Handlösungen“ ungünstigere Formen.
Gleichung v) wird dann zu x 2 + 6x -16 = 0 und aus Gleichung f) wird x 2 - 2x -15 = 0.
Das CAS kann mit beiden Gleichungen umgehen. Überzeuge dich davon.
Fortsetzung folgt
18

Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber (Fortsetzung)
A52
2) Die folgenden Gleichungen sind durch leichte Abwandlungen aus Aufgabe 1 entstanden und
sind – bis auf Ausnahmen - viel schwerer zu lösen.
i) x 2 + x = 25 ii) x 2 - 9 = x iii) x 2 + 4x = 1 iv) x 2 - 11x = 12
v) (x+3) 2 = x vi) x 2 - 1 - a = 0 vii) (x-3)(x-5) = 65 viii) x 2 + 9 = x
a) Vergleiche sie mit den Gleichungen aus Aufgabe 1 und beschreibe in Worten, wodurch
die Lösungen „per Hand“ erschwert werden (es gibt Ausnahmen).
b) Versuche selbst einen „Dreh“ zu finden. Löse die Gleichungen, bei denen dir das nicht
gelingt mit Hilfe des CAS.
c) Das CAS-System transformiert vorgegebene Gleichungen intern in die Scheitelpunktform:
Die Gleichung rechts ist mit etwas Überlegung auch „per Hand“ sehr leicht lösbar. Es
kommt also nur darauf an, den Übergang zu beherrschen, dann kann man jede
quadratische Gleichung ohne CAS lösen. Dazu muss man sich nur allgemein überlegen,
welche Zahl rechts in der Klammer stehen muss, damit beim ausmultiplizieren wieder die
„Vorzahl“ von x entsteht (im Beispiel die 4). Der Rest ergibt sich dann fast von selbst.
Benutze dieses Verfahren, um die obigen Gleichungen „per Hand“ zu lösen. Eventuell
musst du erst selbst die so genannte Normalform (sortiert nach Potenzen von x, rechts
„0“) herstellen.
3) Bei welchen der Aufgaben aus 1) und 2) scheint dir der Einsatz eines CAS lohnend und bei
welchen (und aus welchen Gründen) nicht?
4) Löse die folgenden Gleichungen mit dem CAS; du erhältst dann Formeln. Welche der Paare
aus Vorgabe und erhaltener Formel sind geeignet, um alle auf diesem Zettel vorkommenden
quadratischen Gleichungen zu lösen (eventuell nach einer Umformung zur Anpasssung)?
a) ax + b = c b) ax 2 + b = c c) ax 2 + bx = c d) ax 2 = bx, e) x 2 + px + q = 0
Kannst du die Formeln auch ohne technische Hilfsmittel herleiten? Versuche es!
5) Die zu 4e erzeugte Formel findet man auch in Formelsammlungen. Vergleiche sie mit der zu
4c hergeleiteten Formel. Was stellst du fest?
19

Wachsende Muster, Muster des Wachstums
A61
Ziele: Zahlen und Formenmuster werden einander zugeordnet und Zusammenhänge
erkannt.
Arbeitsmittel: Papier, Schreiber, evtl. Taschencomputer
Ablauf: Nach einer Stillarbeitsphase in Gruppen oder allein werden Ideen vorgestellt.
Die drei Bilder stellen im Kern denselben mathematischen Zusammenhang dar.
Bild 1a Bild 1b Bild 1c
Aufgaben:
1. Welchen Zusammenhang siehst du? Werden auch Begründungen sichtbar?
2. Was kommt heraus, wenn man alle ungeraden Zahlen bis 1001 addiert?
3. Bild 2 ist vom selben „Typ“ wie Bild 1b. Entwirf zu Bild 2
auch Darstellungen in der Art von 1a und 1c.
Was kommt hinzu, wenn man die 100. zur 101. Figur
ergänzt und wie viele Streichhölzer benötigt man
insgesamt?
Man kann mit A(n) die Anzahl der nötigen Hölzer für ein
nxn-Quadrat bezeichnen. Gib für A(n) eine Formel an.
Könnte ein Fremder deiner Formel deine Zählmethode
ansehen?
Bild 2
Fortsetzung folgt
20

Wachsende Muster, Muster des Wachstums (Fortsetzung)
A62
5. Die untersuchten Wachstumsmuster haben unter anderem die folgenden rechnerischen
Zusammenhänge sichtbar gemacht:
Für die Summen der ersten tausend Zahlen im Fall a ergibt sich A(1000) = 1000 2 = 1000000
2
und im Fall b ergibt sich A(1000) = 2⋅
1000 + 2⋅1000
(mit Hilfe der zugehörigen Figuren
kann man das auch leicht begründen).
Was ergibt sich bei diesen Vorgaben:
(zu den Summanden soll jeweils immer
dasselbe hinzukommen)
Man kann - nach dem „Versuch und Irrtum Prinzip“ experimentieren
- sich an den bekannten Mustern oben orientieren
- passende Figurenfolgen erfinden und mit diesen arbeiten
- ein CAS zur Ideenfindung einsetzen
Zum letzten Vorschlag:
Man kann auch den Computer „fragen“, was herauskommt, wenn
man z.B. die ersten 11 ungeraden Zahlen addiert. Die dafür nötige
Eingabe und das Ergebnis sind rechts zu sehen. Die Aufforderung
„Summiere 11 Zahlen“ wird durch das große griechische Sigma
11
abgekürzt: ∑
i=
1
Hinter diesem Zeichen steht, von welcher Form die zu addierenden
Zahlen sind, nämlich 2t-1.
Für t = 1 ergibt sich 1, für t = 2 ergibt sich 3 usw.
Was ist wohl das Ergebnis der unteren Eingabe? Denke erst nach
und überprüfe dann dein Ergebnis.
21

Einzäunungsprobleme
Ziele: Für ein Optimierungsproblem werden Lösungsstrategien
erarbeitet. Diese werden auf ihre Verallgemeinerungsfähigkeit
hin untersucht.
Arbeitsmittel: Beliebig, der Computer kann nützlich
sein, aber es geht auch „ohne“.
A7
Ablauf: Zunächst sollen „rein experimentell durch sinnvolles Probieren“
Lösungsvorschläge für ein Problem erarbeitet werden. Durch die Analyse von
rechnerischen und grafischen Zusammenhängen sollen Bezüge zum Thema
„quadratische Gleichungen und Parabeln“ betrachtet und verstanden werden.
Aufgabe:
Ein Bauer hat 200 zusammensteckbare transportable Zaunelemente und
möchte aus diesen ein zweigeteiltes Gehege für seine Schafe und Ziegen
zusammenstellen. Er möchte dem Gehege eine rechteckige Form geben (s.
rechts).
z z
Jedes Zaunelement ist einen Meter breit. Der Bauer hat viele Möglichkeiten, ein Gehege der
gewünschten Art zusammenzustellen, lange schmale oder eher „bauchige“ Rechtecke… Wie
sollte er das Gehege anlegen, wenn er eine möglichst große Weidefläche umbauen möchte?
Man kann - erst einmal Einzelbeispiele betrachten
- systematische Tabellen anlegen
- die Tabellen durch Diagramme grafisch darstellen
- Vermutungen über die beste Rechteckform aufstellen und diese prüfen
- Rechenausdrücke mit Variablen benutzen
x x x
z z
Wenn du das Problem gelöst hast:
Kann man noch mehr Fläche „herausholen“, wenn man sich von der Einschränkung befreit, dass
man nur volle Meter verwenden kann? Man hätte dann 200m Zaun (z.B. Maschendraht) und
kann diesen auf die Länge und die Breite aufteilen, wie man will.
Wie sieht es bei anderen Aufteilungen aus (z.B. drei Abteilungen). Übertrage gewonnene
Erkenntnisse, um Anschlussprobleme (auch selbst ausgedachte) zu lösen.
22

Analyse des Spiels „Froschhüpfen“
A8
Ziele: Das Spiel wird analysiert, um die beste Lösung der vorgegebenen Aufgabe für
alle Spielfeldgrößen herauszufinden.
Arbeitsmittel: Spielfeld, zwei Sorten Spielsteine (z.B. Geldmünzen),
Papier und Bleistift, später evtl. der Computer.
Ablauf: Zuerst wird gespielt und nach den besten Lösungen für die gestellten Aufgaben
gesucht. Diese Phase ist wettbewerbsartig. Danach wird die Folge der besten
Lösungen auf auffällige Zahlenmuster hin untersucht. Mit den gefundenen
Mustern werden Vorhersagen für größere Spielfelder gemacht und überprüft. Für
die gefundenen Muster werden Begründungen gesucht.
Man spielt das Einpersonenspiel Froschhüpfen auf Papierstreifen mit einer ungeraden Anzahl
von Feldern. Ziel des Spiels ist es, durch möglichst wenige Züge die hellen Frösche mit den
dunklen zu vertauschen. Jeder Frosch darf nur vorwärts und rückwärts auf ein freies Nachbarfeld
gezogen werden oder einen anderen Frosch überspringen, falls er dadurch auf einem freien Feld
landet (siehe oben). Man darf bei jedem Zug frei entscheiden, welchen Frosch man bewegt.
Spiel mit 1 Frosch 2 Fröschen 3 Fröschen pro Farbe
Aufgaben:
1) Ermittle für die drei abgebildeten Spielfeldgrößen (also für n = 1 bis n = 3 Fröschen je Farbe)
die kleinsten Anzahlen von Zügen A(n), mit denen eine Vertauschung der Frösche möglich
ist. Stelle diese Anzahlen in einer Tabelle zusammen (und evtl. auch grafisch dar). Suche
nach Mustern in der Tabelle. Gelingt es dir, die nächste Anzahl vorherzusagen und zu
überprüfen?
2) Wie viele Züge wären bei 1001 Feldern, also je n = 500 Fröschen einer Farbe, nötig?
3) Man kann die Minimalzahl der Züge durch eine quadratische Funktion A(n) = a·n 2 + b·n +c
angeben, wobei n für die Anzahl der Frösche einer Farbe steht. Bestimme a, b und c.
(Hinweis: evtl. durch Probieren)
4) Man kann bei Lösungen, die durch reines Probieren gewonnen wurden, natürlich kaum sicher
sein, ob es nicht noch besser geht. Durch die folgende Überlegung kann man aber eine
sichere Untergrenze für die Anzahl der Züge angeben: Man rechnet aus, um wie viele Felder
die Gesamtheit der Frösche am Ende verschoben ist und subtrahiert davon die Anzahl der
Sprünge (bei denen die Frösche ja zwei Schritte zurücklegen). Ermittle so die theoretische
Untergrenze.
5) Erfinde Varianten dieses Spiels.
23

4. Hilfen für die Unterrichtsvorbereitung
In diesem Kapitel findet man zu jedem Arbeitsblatt eine kurze Charakterisierung eines
möglichen äußeren Rahmens der Unterrichtsstunden.
Darüber hinaus werden denkbare Herangehensweisen an die einzelnen Aufgaben durch die
Schüler aufgezeigt. Für umfangreichere Aufgabenstellungen werden die Ergebnisse zum
Vergleichen angegeben und man findet auch kurze Sachanalysen, die das angesprochene Thema
mitunter aus verschiedenen Blickwinkeln beleuchten.
4.1 Formen und Formeln (Grundlagen)
4.1.1 Gleichungen erzeugen Bilder H1
4.1.2 Zahlen justieren Parabeln, Teil I und II H2/3
4.1.3 Blicke durch verschiedene Brillen H4
4.1.4 Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber H5
H
24

Gleichungen erzeugen Bilder
Zur Organisation des Unterrichts
H11
Dauer: 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Die erste Unterrichtsstunde ist dem Experimentieren, Schauen und Sortieren
gewidmet. Nebenbei wird auch der Umgang mit dem Taschencomputer geübt.
Gruppen- oder Partnerarbeit sind geeignete Formen, um Anlass zur zwanglosen
Verbalisierung der Beobachtungen zu geben. Die Rolle des Unterrichtenden
beschränkt sich auf das Beobachten und Ermutigen und ggf. Hilfestellung geben.
Mehr als die Bearbeitung der ersten zwei Aufgaben wird in der ersten Stunde
nicht möglich sein. An deren Ende sollte eine Zusammenstellung der
Klassifizierungsvorschläge der Schüler stehen. Aufgabe 3 und 4 können als
Hausaufgabe gegeben werden.
Die zweite Unterrichtsstunde dient der Analyse ausgewählter Beispiele.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Der Wechsel zwischen graphischer und algebraischer Repräsentation wird vertieft und
Erklärungen werden herausgearbeitet. Dabei geht es nicht darum, eine formal korrekte und
vollständige Erfassung der Kegelschnittformen zu erarbeiten und das deklarative Wissen der
Schüler um einige Sätze zu erweitern. Die Untersuchung und Klassifizierung der ausgewählten
Formen soll lediglich einen zusammenhaltenden Rahmen schaffen, in dem die Schüler
Gelegenheit haben, durch wichtige individuell gefundene „Aha-Erlebnisse“ ihr relationales
Verständnis für mathematische Inhalte weiterzuentwickeln. Dieser Rahmen ist absichtlich weiter
gespannt, als die später vorzunehmende Einengung auf quadratische Funktionen. Die weiteren
aufgeworfenen Fragen dienen exemplarisch für den Aufbau tieferen Verständnisses. Die
Beschäftigung mit diesen Fragen führt einerseits zur Wiederholung wichtiger Begriffe und
Zusammenhänge. Auf der anderen Seite verbessert sie die Grundlage für verständnisorientierten
Unterricht zum Hauptthema der Lerneinheit. Die Schüler sollten Antworten für die Fragen
erarbeiten und dem Plenum vorstellen. Der Lehrer moderiert diesen Prozess.
25

H12
Hinsichtlich der von den Schülern gebildeten „Formtypen“ ist damit zu rechnen, dass Bilder aus
Geraden, geschlossene Kurven, zweiteilige Bilder und Parabeln vorgeschlagen werden. Es ist
völlig ausreichend, wenn an Hand ausgewählter Beispiele argumentiert wird, weshalb die
jeweiligen Gleichungen Bilder der betrachteten Art liefern oder Bilder anderer Art nicht liefern
können. Dadurch werden wichtige Denkprozesse ausgelöst und mathematisches Argumentieren
geübt. Man sollte Schülerideen in den Mittelpunkt stellen.
Bemerkungen zu den weiteren Aufgaben
Aufgabe 3 soll den Blick der Schüler auf die Gleichungen lenken. Dabei ist es völlig
unerheblich, ob formale Techniken wie das Faktorisieren des Terms in x(y+1) für die
Argumentation herangezogen werden, oder einfach „gesehen“ wird, dass x=0, völlig unabhängig
von y, hinreichend für Lösungen der Gleichung ist.
Aufgabe 4 soll den Begriff der „Funktion“ ausschärfen. Dabei kann die Definition der Wurzel
wiederholt werden. Im Zusammenhang mit den Kreisen wird der Satz des Pythagoras zur
Abstandsbestimmung im Koordinatensystem wiederholt. Die „merkwürdigen Lücken“ in einigen
Funktionsgraphen geben ebenfalls Anlass, über Wurzeln und Eigenschaften von Quadraten
nachzudenken. Man sollte den Gruppen frei stellen, mit welcher Teilaufgabe sie sich befassen
möchten und die jeweiligen Ergebnisse an der Tafel präsentieren lassen. Die Grundabsicht auch
dieser Aufgabe besteht darin, schlüssige (auch nicht formal perfekte) Argumentationen
entwickeln zu lassen.
Aufgabe 5 erfordert vielleicht etwas mehr Moderation durch den Lehrer. Sicherlich wird fast
jeder Schüler in der Lage sein, sowohl auf der grafischen, als auch auf der algebraischen Ebene
die Lösungsteilmenge x = y zu erkennen. Falls von Seiten der Schüler keine weiteren Ideen
kommen, kann man fragen, welche Vermutungen dem Bild entnommen werden können. Man
findet dann y = -x-1 und muss das nur noch verifizieren.
Aufgabe 6 soll am Beispiel des Satzes vom Pythagoras noch einmal das Wechselspiel zwischen
den Repräsentationen einüben.
Abschließende Bemerkungen
Die Beispiele sind so gewählt, dass die Voreinstellungen des
Taschencomputers ohne weitere eigene Skalierungen
„vernünftige Bilder“ liefern. Damit soll verhindert werden,
dass technische Probleme die Konzentration auf grundlegende
mathematische Zusammenhänge behindern. Die gesamte
Beschäftigung zielt auf die Konstruktion von Vernetzungen im
Schülerwissen. Vollständigkeit und Theoriebildung ist nicht
beabsichtigt. Durch die Art der Aufgabenstellungen wird
schematisches Abarbeiten von Rezepten verhindert.
Alle Gleichungen (mit Ausnahme von 2n) sind so gewählt,
dass sie von den Schülern nach y aufgelöst werden können.
Dies kann im Zusammenhang mit Aufgabe 4 eine wertvolle,
sich aus der Sache heraus ergebende Übung im Umgang mit
Gleichungen sein, die sowohl im Unterricht Platz hat, als auch
als Hausaufgabe sinnvoll ist. Um den Graphen der aufgelösten
Form mit dem Taschencomputer darzustellen, kann auch ein
anderes Rechnermenue (Graph&Tab) genutzt werden (s.
rechts). Das Bild gehört zu 2t. Vor der Verwendung des nächsten Arbeitsblattes kann es
durchaus sinnvoll sein, eine solche zusätzliche Stunde zu gestalten.
26

Zahlen justieren Parabeln, Teil I
Zur Organisation der Unterrichtseinheit
H21
Dauer: 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Zu Beginn kann in einem kurzen Lehrervortrag die Rolle der Parameter bei einer
Geradengleichung wiederholt werden. Neben der Normalform können zur
Einstimmung auf die Analyse der Relationen zwischen algebraischer Form und
„geometrischem Fokus“ auch Formen wie y = 2(x-1) betrachtet werden. Danach
bearbeiten die Schüler die Aufgaben. Um zu große Divergenzen bei der
Bearbeitungsgeschwindigkeit aufzufangen, kann nach jeder Aufgabe eine
Zusammenschau stattfinden. Dabei sollten Schülerformulierungen im Mittelpunkt
stehen. Falls man bis Aufgabe 2 kommt, kann Aufgabe 3 als Hausaufgabe gestellt
werden. Man sollte dann allerdings darauf hinweisen, dass man für den dritten
Graphen eine „Idee“ braucht (es ist eine kleine Transferaufgabe). Alternativ zu
dieser Hausaufgabe kann man aber auch Varianten der Serien I und II
untersuchen lassen (z.B. mit negativem Parameter vor dem quadratischen Glied).
Der Verlauf der zweiten Stunde ergibt sich aus der Situation.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Aufgabe 1 ist, vor allem hinsichtlich Serie I,
zunächst auf „schnelle Erfolgserlebnisse“ angelegt.
Nach der Vorstellung einiger Schülerbeschreibungen
kann angesprochen werden, dass man in knappen
Formulierungen für die Parameter Variablen
benutzen kann (zur Reflexion mathematischer
Darstellungsökonomie, nicht als „Hauptzweck“!)
Die Aufgabenformulierung zielt auf eine
dynamische Deutung der Serien (die Parabel
„wandert“ in der Vertikalen, eine Nullstelle in der
Horizontalen). Bei der Besprechung der
eingeforderten „Gründe“ sollte man genau sein. Die
Addition einer Konstanten zu x 2 sollte entsprechend
der nebenstehenden Abbildung als Anhebung (oder
Absenkung) jedes Punktes der Parabel (und nicht
nur des Achsenabschnitts y0) gedeutet werden, denn
nur so wird klar, dass die Form erhalten bleibt.
Bei der zweiten Serie ist die Erhaltung der Form zwar zu sehen, aber auf diesem
„Einstiegsniveau“ für die Schüler nicht zu begründen. Auf diese „Lücke“ sollte man hinweisen.
Natürlich kann das Wandern der Nullstelle stichhaltig begründet werden.
Aufgabe 2 soll unter anderem das Lösen quadratischer Gleichungen mit „inneren Bildern“
geometrischer Zusammenhänge verknüpfen (z. B. wird die Nichtexistenz von Lösungen bei x 2 =
- a 2 geometrisch gedeutet) und das Lösen der einfachen Spezialformen quadratischer
Gleichungen einüben Damit verbindet sich die Erwartung, dass späteres „blindes Agieren“ nach
Kenntnis allgemeiner Verfahren (z.B. der p,q-Formel) eingedämmt wird.
+2
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 1
-1
1
27

Aufgabe 3 dient zur Verknüpfung der Operationen.
H22
Aufgabe 4: Der rechts stehende Graph erfordert eine Kombination der vorher erworbenen
Einsichten. Die Schüler können z.B. so überlegen: Lägen die schwarz markierten Punkte auf der
x-Achse, dann lautete die Funktionsgleichung y = x(x+2). Der gegebene Funktionsgraph passt
also zu y = x(x+2) -1.
Zur Bestimmung der Nullstellen ist es nicht
erforderlich, dass die Schüler quadratische
3
Gleichungen lösen können (es ist sogar nicht
erwünscht, denn es soll nachgedacht und nicht
2
schematisch vorgegangen werden).
Die sonst auf der algebraischen Ebene
1
vorgenommene Transformation der gegebenen Form
in die Scheitelpunktform, kann hier auf der -4 -3 -2 -1 -1
0
0 1 2 3 4
geometrischen Ebene leicht entdeckt und
durchgeführt werden. Man sieht, dass die unbekann-
2
-1 -1
ten Koordinaten der Nullstellen vom Scheitelpunkt
-2
aus gesehen um 2 Einheiten nach oben und um 2
Einheiten nach links bzw. rechts verschoben sind. So
2
-3
ergibt sich x1 = -1 - 2 und x2 = -1 + 2.
Aufgabe 5 soll Vertrautheit mit der faktorisierten Form erzeugen. Gleichzeitig wird der Umgang
mit dem Taschencomputer zwanglos weiter eingeübt (man muss nämlich die Skalierung
anpassen)
Wenn man weitere Vertiefungen wünscht, kann der
Umgang mit dieser Form auch zu einer allgemeinen
Lösungsmethode für quadratische Gleichungen
ausgebaut werden:
Ist z.B. y = x 2 + 2x – 4 = 0 gegeben, so formt
man um y = x(x+2) - 4.
Diese Darstellung lässt sich geometrisch deuten:
Eine Parabel mit Nullstellen bei x = 0 und x = -2 ist
um 4 Einheiten nach unten verschoben.
Der Scheitelpunkt liegt bei (x, y) = (-1, -5).
Daher liegen im Abstand 5 von x = -1 Parabelpunkte
auf der x-Achse. Dies sind also die
Nullstellen.
Durch eine Serie entsprechender konkreter Aufgaben kann sich aus dieser Vorgehensweise
schließlich ein abstraktes Muster abheben, das bis zur Entdeckung der p,q-Formel führt. Diese
Vertiefung ist aber natürlich ein „Seitenweg“, der bei Zeitknappheit wohl nicht beschritten
werden sollte. Bei hinreichender Muße trainiert und festigt ein solches Vorgehen aber wertvolle
Routinen im Hin- und Herwechseln zwischen algebraischer und geometrischer Repräsentation.
Eine an dieser Stelle nicht leicht zu schließende Beweislücke liegt jedoch in der Annahme der
Formgleichheit der Graphen der hier betrachteten Serien. Da diese sich zwanglos bei dem
Umgang mit der Scheitelpunktform in den nächsten Unterrichtsstunden ergibt, kann man an
dieser Stelle diese „Lücke“ aber wohl akzeptieren.
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2. Daraus ergibt sich der
Scheitelpunkt
4. und dam it Wurzel (5)
-1
-2
1. Diese Punkte -3 erhält man
durch die Um formung
-4
-5
-6
-7
3. und dam it die "Höhe" 5
28

Zahlen justieren Parabeln, Teil II
Zur Organisation der Unterrichtseinheit
H3
Dauer: 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Die Schüler experimentieren zunächst mit zwei Serien von quadratischen
Funktionen (natürlich ist auch denkbar, dass leistungsstarke Schüler das nicht
nötig haben) und beschreiben dann ihre Erkenntnisse in einem kleinen „Aufsatz“.
Das neu Erlernte wird dann durch eine Serie von Funktionsbestimmungen
erprobt. Dabei werden auch verschiedene Möglichkeiten thematisiert. Durch
einige „aus dem Rahmen fallende“ Funktionsgraphen werden weitere
Denkanstöße gesetzt. Einige der Aufgaben sollten in Kleingruppen bearbeitet
werden.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Es geht hier – wie im vorigen Blatt – um die Erarbeitung von Standardstoff dieses
Themenbereichs. Durch eine gewisse „Facettenvielfalt“ soll das eigene Denken angeregt werden.
Dabei können in vorangegangenen Stunden durchdachte Zusammenhänge ebenso wie die neu
erarbeitete Scheitelpunktform eingesetzt werden (zur Funktionsgleichungsbestimmung in
Aufgabe 2). Die Aufgaben zielen also auf Methodenreichhaltigkeit gegenüber „Methodenmonismus“.
Das heißt natürlich nicht, dass man die Scheitelpunktform als oft besonders günstige
Gleichungsgestalt bei der Diskussion der Ergebnisse nicht hervorhebt, sie soll aber in ihren
Zusammenhängen mit anderen algebraischen Formen und Graphen stehen. Sollte der nötige
„Denkschritt“ für die Bestimmung der nach unten offenen Parabeln zu groß erscheinen, kann
man am Anfang zur Einstimmung nach der Funktionsgleichung einer nach unten offenen Parabel
mit dem Scheitelpunkt im Ursprung fragen. Falls zur Bestimmung der Funktionsgleichungen
auch andere als die fett hervorgehobenen Punkte eingesetzt werden, können zur Festigung der
Gestalteinsichten für die Normalparabel auch Zusammenhänge der Art „ein Schritt nach links
oder rechts vom Scheitelpunkt ausgehend, gewinnt man die Höhe 1, bei zwei Schritten die Höhe
4 usw.“ angesprochen werden.
Für Aufgabe 2d wird – exemplarisch – auf verschiedene Herangehensweisen hingewiesen:
1. „Algebraisch orientiert“: Die Schüler bestimmen die Funktionsgleichung. Je nach Methode
finden sie die Form f(x) = x(x-2) -2 oder f(x) = (x-1) 2 -3. Die Frage nach der Nullstelle
wird als Frage nach den Lösungen der Gleichung f(x) = 0 identifiziert. Falls von der
Scheitelpunktform ausgegangen wurde, bestehen gute Chancen, dass eine erfolgreiche
Behandlung gelingt. Sonst kann durch „Experimentieren“ eine numerische Näherung
gefunden werden. Denkbar ist auch, dass hierbei die Möglichkeiten des Taschencomputers
entdeckt und verwendet werden. An eine Systematisierung von Methoden zur Lösung
quadratischer Gleichungen ist an dieser Stelle aber noch nicht gedacht.
2. „Geometrisch orientiert“: Um vom Scheitelpunkt zu den Nullstellen zu gelangen, muss die
„Höhe 3“ gewonnen werden. Um das zu erreichen, muss man sich also um ∆x = 3 nach
links oder rechts bewegen. Folglich liegen die Nullstellen bei x = 1±
3 .
Die Graphen (11) und (12) mögen für die Schüler etwas „kniffelig“ erscheinen. Man kann sie zur
inneren Differenzierung einsetzen.
1 / 2
29

Blicke durch „verschiedene Brillen“
Zur Organisation der Unterrichtseinheit
H4
Dauer: 1 bis 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Stillarbeits- und Gesprächsphasen wechseln einander ab. Die z. T. offeneren
Arbeitsaufträge in Aufgabe 2 erfordern Repräsentationen von Schülerlösungen
(Texte und analoge selbst hergestellte Aufgaben). Aufgabe 2b erfordert wohl auf
alle Fälle eine Abschlussmoderation durch den Unterrichtenden.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
1. Blatt
Die von ihrem Inhalt her zunächst überraschende Einstiegsaufgabe soll Interesse erzeugen. Um
das Augenmerk „entspannt“ auf das Wechselspiel von geometrischer Flächenaufteilung und
Term richten zu können, wurde ein einfaches Beispielmaterial ausgewählt. Für einige Schüler
könnte es günstig sein, zu den Formen passende Formeln selbst zu entwickeln und diese danach
auf dem Blatt zu suchen. Dabei kann natürlich das Problem der Erkennung der gleichwertigen
Gestalt auftreten, da zumindest in der Reihenfolge der Summanden - selbst bei gleicher
Aufteilung - Unterschiede auftreten können. Hier soll nur auf den psychologischen Unterschied
zu anderen sinnvollen Vorgehensweisen aufmerksam gemacht werden (man kann auch nach
differenzierten Auswahlkriterien „sieben“ und danach verifizieren).
Die Bearbeitung der Aufgabe soll die inhaltsbezogene Deutung von Termen verflüssigen. Dazu
ist der Wechsel in einen anderen Gegenstandsbereich nützlich, da diese „geistige Sicht“ sonst
eventuell nur lokal mit quadratischen Funktionen verknüpft wird.
2. Blatt
Die hier intendierten Reflexions- und Festigungsprozesse dienen der Absicherung vorher
erarbeiteter und von den Schülern z. T. sicher noch nicht „bewusst sortierter“ Inhalte. Diese
Absicht soll durch den Auftrag kurze Begründungen zu schreiben und selbst analoge Beispiele
anzugeben unterstützt werden. Aufgabenteil b ist einerseits eine Übung zur Umgestaltung von
Termen, zielt aber andererseits schon auf Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen (ohne
dass dies hier thematisiert wird).
Zur Erzeugung der jeweils anderen Darstellungsformen kann der Weg für die Schüler auch über
die Graphen führen (selbständige Repräsentationswechsel dieser Art sollen hier gefördert
werden). Man „sieht“ dann die anderen Darstellungsformen. Es kann aber auch rein auf der
Gleichungsebene gearbeitet werden. Das folgende Bild zeigt die drei Funktionsgraphen.
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) = (x-1) 2 – 1 f(x) = x 2 -4x +2 f(x) = (x+3)(x-1)
-1
-2
-3
-4
-5
30

Computer-Algebra-Systeme, Helfer und Ideengeber
Zur Organisation der Unterrichtseinheit
H5
Dauer: 1 bis 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Stillarbeits- und Gesprächsphasen wechseln einander ab. Man sollte die
Besprechung von Zwischenergebnissen in großzügigen Zeitabständen einplanen,
denn auch der Umgang mit dem CAS erfordert etwas Einarbeitungszeit.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Das CAS erfüllt die Rolle eines „Motivators“. Es appelliert an den Spieltrieb und
„Wettbewerbsgeist“, da immer wieder dazu angeregt wird, es auch durch eigene Findigkeit zu
ersetzen. Insgesamt soll ein bewusster Umgang mit dem System entwickelt werden und die
eigene Herleitung tragender Lösungsformeln auf spielerischem Weg erfolgen. Einige
Arbeitsaufträge verlangen Stellungnahmen zum sinnvollen Einsatz der Technik. Natürlich wird –
als wichtiger Nebeneffekt – auch der Umgang mit dem Taschencomputer geübt.
Durch die im Schwierigkeitsgrad wachsende Sequenzierung wird den Schülern die Ideenfindung
erleichtert.
Die Bedienung des CAS ist sehr ergonomisch. Auf dem Aufgabenblatt ist die 2D-Tastatur
aktiviert, da aber keine Brüche vorkommen, sind ebenso gut die anderen Tastaturen nutzbar.
Die folgende Bilderserie zeigt die Aktivierungsreihenfolge des Rechners.
31

4.2 Vertiefungen
4.2.1 Wachsende Muster, Muster des Wachstums H6
4.2.2 Einzäunungsprobleme H7
4.2.3 Analyse des Spieles „Froschhüpfen“ H8
H
32

Wachsende Muster, Muster des Wachstums
Zur Organisation der Unterrichtseinheit
H61
Dauer: 1 bis 2 Unterrichtsstunden
Grobstruktur: Wechsel von Stillarbeits- und Gesprächsphasen. Der Einsatz des Computers ist
erst im zweiten Teil sinnvoll. Man kann auch Materialien wie Spielsteine und
Streichhölzer einsetzen.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Es geht um die Förderung mathematischer Beweglichkeit. Bild 1c spielt für die Öffnung des
Bewusstseins für die Stärke der heuristischen Strategie „Repräsentationswechsel“ eine besondere
Rolle. Es ermöglicht ohne Worte eine elementare Einsicht in die Summationsformel für
ungerade Zahlen und zeigt – propädeutisch – den Geist des Induktionsbeweises, ohne dass dieser
Begriff fallen muss. Durch die Bilder 1a und 1b wird der Aspekt der linear wachsenden
Differenzenfolge quadratischer Folgen betont. Aufgabe 2 erzwingt – durch die großen Zahlen –
eine Strukturierung der Gedanken, denn Abzählen ist hier nicht mehr möglich.
Für das in Bild 2 gelegte Streichholzmuster sind verschiedene Zählstrategien möglich. Die
folgenden Bilder zeigen für n=3 und allgemein die Paare aus Strukturierung und Formel.
Horizontal und vertikal „Zweibeine“ und Einbeine
A(
3)
= 2⋅
3⋅
4
A(
n)
= 2⋅
n⋅
( n + 1)
A(
3)
= 2⋅
3
A(
n)
= 2⋅
n
+ 2⋅
3
Die folgenden Bilder zeigen analoge Darstellungen zu Bild 1a und Bild 1c.
2
2
+ 2⋅
n
Addiert werden also die Vielfachen von 4 und von der 100. zur 101. Figur kommen 404
Hölzchen hinzu.
33

H62
Die Fortsetzung des Arbeitsblattes löst sich zunächst von den geometrischen Repräsentationen
und betont arithmetische Aspekte. Es geht nicht um die Herleitung einer allgemeinen Formel,
sondern darum, lokale Einsichten in Zusammenhänge zu nutzen. Dabei kann es dann natürlich
zur Verallgemeinerung kommen.
Für die Vorgabe werden exemplarisch einige Bearbeitungsmöglichkeiten
aufgezeigt:
1. Man sieht, dass immer 4 hinzukommt und nutzt diese Strukturgleichheit zur
Streichholzaufgabe aus:
2. Man erkennt, dass es sich um das Doppelte der ungeraden Zahlen handelt und erhält sofort
C(n)=2n 2 .
3. Zwei Passende Figurenfolgen:
(Als dritte, die übliche „Treppe“)
A(
n)
=
2 ⋅ n
B(
n)
= −2n
C(
n)
= 2 ⋅ n
4. Bei der Arbeit mit dem CAS kann man einen „umgekehrten Weg“
gehen und inhaltliche Begründungen für das ausgeworfene
Ergebnisse suchen. Die einfache Formel für dieses Beispiel ist wohl
geeignet, auch denjenigen neugierig zu machen, der zunächst
vielleicht nicht „zu viel denken“ wollte.
Die vorgestellten Möglichkeiten sinnvoller Herangehensweisen sind exemplarisch.
Zum Abschluss werden noch die Ergebnisausgaben des CAS für die drei anderen Vorgaben
gezeigt:
2
2
+ 2 ⋅ n
34

Einzäunungsprobleme
Zur Organisation des Unterrichts
H71
Dauer: 1 bis 3 Stunden, je nach Leistungsstärke der Schüler und thematischer
Ausweitung auf Anschlussprobleme bzw. angestrebtem Verallgemeinerungsgrad.
Grobstruktur: Am Anfang kann die Fragestellung durch ein einfaches Modell eingängig
präsentiert werden (z.B. Streichholzschachteln als Zaunelemente). Es ist günstig,
eine kleinere, durch vier teilbare, Anzahl zu nehmen und nach dem besten
ungeteilten Rechteck zu fragen. Dadurch ergeben sich Spekulationen (beste Form
= Quadrat) und Probierverfahren (Organisation von Beispielmaterial). Diese
stimmen die Schüler auf heuristisches Arbeiten ein, denn sie merken, dass ihre
eigenen Ideen gefragt sind. Als „Hauptproblem“ für die Stunde ist dieses
reduzierte Problem aber nicht geeignet, da die Lösung zu „offensichtlich“ ist und
dadurch keine Spannung entsteht. Insbesondere sollte kein Lehrervortrag über
eine „glatte“ Lösungsmöglichkeit gehalten werden, die Schüler sollen eigene
Strategien entwickeln und nicht Gelerntes nachahmen.
Nach dem Austeilen des Aufgabenblattes beschäftigen sich die Schüler in
Gruppen- oder Partnerarbeit mit dem Problem
Es kann ein „Kreisprozess“ mit Stillarbeitsphasen und gemeinsamen
Besprechungen und Repräsentationen durch die Schüler entstehen.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Die Chancen dafür, dass die Schüler bei der Organisation von Beispielen mathematische Muster
entdecken und Zusammenhänge verstehen, sind sehr hoch, da eine Fülle von verschiedenen
elementaren Herangehensweisen möglich ist. Einige Beispiele werden aufgezeigt:
Tabellen und arithmetische Muster
Die Tabelle zeigt für einige „in Serie liegende“ Werte für die Gattertiefe x die sich ergebende
Breite 2z und das Flächenmaß. In den Differenzenfolgen zeigen sich auffällige arithmetische
Muster, die es erlauben, die jeweiligen Größen ohne erneute Rechnung fortzusetzen.
x 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
2·z 73 70 67 64 61 58 55
-3 -3 -3 -3 -3 1. Differenzenfolge konstant
Fläche 1314 1400 1474 1536 1586 1624 1650
86 74 62 50 38 26
-12 -12 -12 -12 -12 2. Differenzenfolge konstant
Abnehmendes Wachstum
Die Schüler können z.B. entdecken, dass der Flächenzuwachs bei wachsendem x in dem
gezeigten Bereich schrumpft. Da dieser Zuwachs immer um 12 Einheiten schrumpft, muss der
Zuwachs von 74 bei dem Übergang von x=20 auf x=22 sechs Stellen später fast „aufgebraucht“
sein und nur noch 2 Flächeneinheiten betragen (von x=32 auf 34). Danach wird der Zuwachs
negativ. Also ist x = 34 die beste Lösung. Natürlich wird sich ein derartiges systematisches
Probieren in der Regel erst nach einer eher „gefühls- und hypothesengesteuerten“ Phase
einstellen. Nahe liegend ist z.B., dass zunächst versucht wird, möglichst nah an eine quadratische
Außenform heranzukommen. Man merkt dann aber durch das Berechnen leicht variierter
Umzäunungen, dass das nicht die beste Lösung ist.
35

Tabellen und Diagramme
Man kann einzelne, durch Probieren
gewonnene, Ergebnisse natürlich auch
grafisch darstellen. Das Beispiel rechts soll
illustrieren, dass sich dann schon bei
relativ wenigen Datenpunkten der Umriss
einer Parabel herauskristallisiert. Das kann
für die Schüler ein Anlass sein, den
Funktionsaspekt ihrer Berechnungsmethode
wahrzunehmen und Vorwissen zu
verwenden (zunächst hat die Aufgabe aus
der Sicht des Schülers evtl. gar nichts mit
dem Thema „Parabeln“ zu tun).
Die grafische Darstellung kann aber auch
schlicht zu Vermutungen Anlass geben.
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
H72
Algebraisierungen
Durch die vorgegebenen Bezeichnungen wird eine Darstellung des Flächeninhalts als Funktion
von x nahe gelegt. Die Schüler erhalten A( x)
= x ⋅(
200 − 3x)
/ 2.
Falls diese Gleichung als
Parabelgleichung erkannt wird, kann z. B. so argumentiert werden: Parabeln sind symmetrisch,
also liegt der Scheitel genau zwischen den Nullstellen x = 0 und x = 200 / 3.
Die Stelle x =
34 kommt der Mitte am nächsten. Natürlich kann auch die Scheitelpunktform benutzt werden.
Anschlussprobleme
Vor einer (wenn nötig) eher lehrerzentrierten Absicherung und Reflexion der Methoden sollten
die Schüler selbständig verwandte Anschlussprobleme bearbeiten. Dabei kann ein neues,
übergeordnetes, ästhetisch reizvolles Gestaltmerkmal der Ergebnisgesamtheit entdeckt werden:
Um eine möglichst große Fläche zu umzäunen, teilt man den Zaun (bei beliebigen Mustern, in
denen nur zwei Richtungen auftreten), immer so auf, dass für jede Richtung gleichviel
Gesamtlänge „verbaut“ wird. Natürlich muss der Freiheitsgrad für die Formgebung präzisiert
werden: Man darf die Form in die zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen stauchen
und zerren. Man kann so immer erreichen, dass der Gesamtumfang gleich und die durch ihre
Anschlussstellen und Winkel definierte Grundform erhalten bleibt.
Nützliches mathematisches Hintergrundwissen
Zu der im vorigen Abschnitt angesprochenen Verallgemeinerung kann man ganz ohne
Mathematisierungen durch Parabelfunktionen gelangen. Die tragende Beweisidee wird „griffig“
beschrieben: Wenn eine Grundform vorgegeben ist, bei der waagerecht (W) und senkrecht (S)
nicht gleichviel verbaut ist, kann man diese Form auf eine Gummimatte zeichnen und in die
Richtung stauchen, in der mehr Länge verbaut ist. Um den Flächeninhalt F beizubehalten,
muss man dann in die andere Richtung mit dem Kehrwert strecken. Insgesamt hat man dann
denselben Flächeninhalt bei weniger Rand (U), denn mit dem Faktor x Gestauchtes verliert
bei hinreichend nah an 1 liegendem x mehr als mit dem Faktor x Gestrecktes, falls es vorher
größer war. Daher lassen sich alle Formen „verbessern“, bei denen waagerecht und senkrecht
nicht gleichviel „verbaut“ ist. Dieses Argument löst das duale Problem, bei dem zu vorgegebener
Gesamtfläche die umfangkleinste Form gesucht wird. Man kann das Ergebnis auf verschiedene
Weisen verallgemeinern.
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
36

Analyse des Spieles „Froschhüpfen“
Zur Organisation des Unterrichts
H81
Dauer: Eine Unterrichtsstunde wird für das Ausgangsproblem in der Regel reichen.
Wenn man aber noch Varianten untersuchen lassen will, benötigt man mindestens
zwei Stunden.
Grobstruktur: Nach dem Lesen der Aufgabenzettel und der Klärung eventueller Fragen, sollten
die Schüler erst einmal spielen. Man kann Spielfelder vorbereiten und als Frösche
Damesteine oder mit farbigen Punkten beklebte Schraubverschlüsse mitbringen.
Die erste Phase ist wettbewerbsartig. Derjenige, der eine Lösung für eines der
abgebildeten Spielfelder gefunden hat, schreibt die Anzahl der benötigten Züge
an die Tafel. Findet jemand eine kürzere Lösung, schreibt er diese daneben. So
entstehen die Daten für eine kleine Tabelle. Diese wird nach Mustern durchsucht.
Der Lehrer moderiert den gesamten Prozess, ohne etwas zu verraten.
Bemerkungen zur Heuristik, zur Didaktik und inhaltliche Hinweise
Es ist nahezu sicher, dass durch das Probieren einer ganzen Schulklasse die besten Lösungen für
die abgebildeten Spielfelder gefunden werden (zumal die ersten zwei Felder sehr klein sind). Die
Tabelle bietet dann verschiedene Möglichkeiten zur Hypothesenbildung.
Arithmetische Muster in der Tabelle regen zu Hypothesenbildungen an
Die Tabelle zeigt die besten Lösungen
für die Vorgaben.
Frösche
je Farbe
(0) 1 2 3
Sprünge (0) 3 8 15
Die Hinzunahme des „Extremfalles je 0 Frösche“ ist für Schüler keineswegs selbstverständlich,
sondern eine heuristische Strategie zur „Datenerweiterung“.
Bezeichnet man die Anzahl der Frösche einer Farbe mit n, so kann man sowohl Hypothesen über
explizite Zusammenhänge, als auch über rekursive Zusammenhänge finden.
1. explizit: Man sieht 3 = 1·3, 8 = 2·4, und 15 = 3·5. Hypothese: A ( n)
= n⋅
( n − 2)
.
2. rekursiv: Der Anfang der ersten Differenzenfolge 3, 5, 7 nimmt an jeder Stelle um 2 zu.
Bei 3 anstelle von 2 Fröschen einer Farbe ist die Zunahme 7 und das ist 2n+1.
Dazu passt die Hypothese: A ( n)
= A(
n −1)
+ ( 2n
+ 1)
.
Beide Muster führen zu der Vorhersage A ( 4)
= 24 . Diese kann wiederum durch Spielen erhärtet
werden. Dadurch werden die Hypothesen gestützt.
Die Anzahl der Züge für je 500 Frösche einer Farbe ist mit dem rekursiven Muster nicht leicht
vorhersagbar. Hier kann aber der Taschenrechner helfen. Das Menue „main“ bietet
Summenberechnungen an und man kann hier sogar explizite Formeln generieren. Im Menue
„Sequence“ kann man auch rekursiv definierte Folgen „hochrechnen“. Diese zweite Möglichkeit
kann günstiger sein, da man bei der ersten mit dem Summenzeichen operieren muss. Dafür
liefert das CAS aber sogar Formeln für rekursiv definierte arithmetische Folgen.
37

Falls beide Hypothesen durch die Schüler aufgestellt wurden, kann man problematisieren, ob
beide Hypothesen zueinander passen (provokativ: Wer hat denn nun recht?). Die Umformung
des Terms A ( n)
− A(
n −1)
gibt über diese „Passung“ beweiskräftige Auskunft, denn so findet
man: A(n) – A(n-1) = n(n+2) – (n-1)(n+1) = 2n + 1. Allerdings werden den Schülern in der
Regel zunächst eher exemplarische Überprüfungen für konkrete Werte nahe liegen.
An dieser Stelle soll noch auf die Möglichkeit für einen wertvollen kleinen Exkurs innerhalb der
Unterrichtsstunde hingewiesen werden:
Die vorangegangene Gleichung ist ein leicht verallgemeinerbares Musterbeispiel für den
Beweis, dass die Differenzenfolge jeder durch eine quadratische Funktion definierten
Ausgangsfolge durch eine lineare Gleichung gegeben ist, denn das quadratische Glied fällt
immer heraus, wenn man f(x) – f(x-c) bildet, wobei c irgendeine reelle (!) Zahl ist.
Denkwege zu exakten Begründungen für die Hypothesen
…
n Felder n Felder
… …
Je n+1 Einzelschritte für beide Froschfarben
Man kann die Summe der Froschhüpfer leicht bestimmen, denn je n Frösche müssen sich
mindestens um je n+1 Felder bewegen. Das sind also insgesamt 2n(n+1) „Froscheinzelschritte“.
Wenn die Frösche einer Farbe ihre ursprüngliche Reihenfolge beibehalten, springt jeder Frosch
einer Farbe also über jeden Frosch der anderen Farbe. Dadurch werden also n 2 Einzelschritte
gespart.
Folglich kommt man mit 2n(n+1) – n 2 = n 2 +2n Froschbewegungen aus. Wenn man sich dann
noch überlegt, dass es sinnlos ist, mit einem Frosch über einen Frosch derselben Farbe zu
springen, ist man fertig: Mit weniger als A(n) = n·(n+2) Zügen kann es also nicht gehen.
Um zu zeigen, dass es mit dieser Anzahl aber immer möglich ist, muss natürlich ein Verfahren
angegeben werden. Die Entscheidung darüber, ob man dies anstrebt, sollte jedoch passend zur
jeweiligen Klassensituation getroffen werden.
Anschlussprobleme
Man kann „in verschiedene Richtungen verallgemeinern“.
Zunächst ist es vielleicht naheliegend, unterschiedliche Anzahlen für die
Frösche der beiden Farben zu nehmen. Etwa immer doppelt so viele helle
wie dunkle, oder sogar völlig frei wählbare Anzahlen, man erhält dann
eine Funktion von zwei Veränderlichen.
Man kann aber auch eine größere froschfreie Lücke in der Mitte lassen.
Man erhält wieder quadratische Funktionen.
Eine andere Verallgemeinerung führt in die Ebene. Das nebenstehende
Bild gibt dazu eine Anregung.
38

5. Fragebögen
Sicher ist keine Lerngruppe „wie die andere“. Die jeweilige Zusammensetzung aus einzelnen
Menschen, die sich z.B. hinsichtlich ihrer Neigungen, Gewohnheiten, Wertvorstellungen,
Lerntypen und Motivationsbedürfnissen unterscheiden, schafft jeweils so unterschiedliche
Ausgangslagen für den Unterricht, dass allgemeingültige detailliertere Aussagen über dessen
effektive Gestaltung wohl kaum möglich sind (selbst die Vorstellungen über die Bedeutung des
Prädikats „effektiv“ können durchaus verschieden sein).
Sinnvoll erscheint daher ein Erfahrungsaustausch und eine Diskussion über mögliche
Bereicherungen des Methodenrepertoires, aus dem der Unterrichtende nach eigenem Ermessen
auswählen kann.
Für Ihre Hilfe wären wir Ihnen dankbar. Der erste Teil des Fragebogens ist tabellarisch. Darüber
hinaus soll aber auch eine qualitative Auswertung freier Rückmeldungen stattfinden.
Einige der Rubriken des Lehrerfragebogens können auch dann ausgefüllt werden, wenn keine
unterrichtliche Erprobung stattgefunden hat, sondern das Material nur „gesichtet“ wurde. Auch
in diesem Falle wären wir für Beantwortungen und ggf. Verbesserungsvorschläge dankbar.
Falls das Material im Unterricht erprobt wurde: Wir sind auch an den Erfahrungen der Schüler
sehr interessiert. Für diese findet man weiter unten ebenfalls einen Fragebogen.
Möglichkeiten zur Rücksendung der Fragebögen
Per Post an H. Rehlich
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Fakultät für Mathematik und Informatik, Abteilung Didaktik
Ernst-Abbe-Platz 2
07740 JENA
Im Internet finden Sie (an derselben Stelle wie diese Seiten) die Fragebögen als MS-word
Dokumente. Diese können am Rechner ausgefüllt und als Anhang per e-mail an
hrehlich@minet.uni-jena.de geschickt werden. Schreiben Sie in die „Betreff-Zeile“ bitte
„Rechnereinsatz“.
Die Ergebnisse der Befragung werden veröffentlicht. Wir informieren Sie zu gegebener Zeit über
den Ort. Das in dieser Untersuchung verwendete Material ist nur ein Teil einer umfassenderen
Handreichung zum Thema. Diese wird im Frühjahr 2005 fertiggestellt sein. Als Dank für Ihre
Mitarbeit schicken wir Ihnen dann ein Exemplar.
Selbstverständlich werden keine persönlichen Daten in irgendeiner Form gespeichert. Für die
Zusendung der ausgearbeiteten Handreichung (falls erwünscht) wird lediglich eine Adressen-
oder e-mail-Liste erstellt.
39

Zur Person
An welcher Schulform unterrichten Sie?
Welche Fächer unterrichten Sie?
Wie viele Jahre unterrichten Sie schon?
Lehrerfragebogen
Sind Sie an der Handreichung mit weiteren Arbeitsblättern und/oder Informationen zur Auswertung
interessiert? (Dann vergessen Sie bitte nicht, Ihren Absender anzugeben).
Zu den Arbeitsblättern
Bitte bewerten Sie die folgenden Aussagen auf einer Skala von -2 (trifft überhaupt nicht zu) bis +2 (trifft in hohem
Maße zu).
Unterrichtserfahrungen
Die Arbeitsblätter sind übersichtlich gegliedert.
Einige Arbeitsblätter enthalten zu viel Text zum Lesen.
Die Anregungen zum Computereinsatz sind hinreichend präzise.
Der Taschencomputer wird da eingesetzt, wo es sinnvoll erscheint.
Die Fragestellungen und Arbeitsaufträge sind gut verständlich formuliert.
Die Arbeitsaufträge sind zu offen.
-2 -1 0 +1 +2
Für freie Kommentare nutzen Sie bitte die Rückseite
Welche Jahrgangsstufe wurde unterrichtet?
Wie viele Mädchen und Jungen waren in der Klasse?
Ist die unterrichtete Klasse im Schnitt eher leistungsschwach, stark oder mittelmäßig?
Welche Arbeitsblätter haben Sie eingesetzt?
Wie viele Unterrichtsstunden haben Sie mit dem Material gestaltet?
Setzen Sie in der unterrichteten Klasse auch sonst Computer im Mathematikunterricht ein?
Bei welchen Arbeitsblättern war der Einsatz des Taschencomputers besonders sinnvoll?
Bei welchen Arbeitsblättern war der Rechnereinsatz eher unnötig oder sogar störend?
Bitte bewerten Sie die folgenden Aussagen auf einer Skala von -2 (trifft überhaupt nicht zu) bis +2 (trifft voll zu).
Die Arbeitsaufträge sind zu „großschrittig“, der Lehrer muss viel erklären.
Der Einsatz des Taschencomputers war für die Schüler motivierend.
Der zusätzliche Zeitbedarf für das Erlernen der Bedienung des TC lohnte sich.
Die Erkundungsaufträge regten die Schüler zu selbständiger Arbeit an.
Der Rechnereinsatz weckte die Neugier für mathematische Zusammenhänge.
-2 -1 0 +1 +2
40

Unterrichtserfahrungen
Die Schüler „spielten“ zwar gerne mit dem Rechner, dachten aber nicht weiter über die
mathematischen Inhalte nach.
Während des Unterrichts waren viele Lehrereingriffe nötig, um die Beschäftigung
aufrecht zu erhalten.
Es gab Schüler, die nicht gerne mit dem Gerät arbeiteten.
Die Arbeit mit dem Taschencomputer machte das Unterrichten anstrengender.
Die Arbeit mit dem Rechner hat bei vielen Schülern Verstehensprozesse gefördert.
Die Arbeit am Rechner hat innere Differenzierung sichtlich vereinfacht.
Der Einsatz des Rechners hat mehr Nach- als Vorteile.
Die Schüler haben den Rechner unterschiedlich intensiv eingesetzt.
-2 -1 0 +1 +2
Die tabellarisch erfragten Daten können natürlich nur einen ungefähren groben Eindruck von ihren Erfahrungen und
Vorstellungen geben. Diese Form wurde nur gewählt, um den zeitlichen Aufwand für Sie stark einzugrenzen. Wir
sind aber vor allem an einer qualitativen Auswertung interessiert. Daher unsere Bitte: Wenn Sie noch etwas Zeit
haben, skizzieren Sie uns Ihre Einstellung z.B. zu den folgenden Fragen:
Welche Erfahrungen haben Sie mit dem Unterrichtsmaterial gemacht?
Welchen Stellenwert hat für Sie der Rechnereinsatz im Mathematikunterricht (und falls Sie ihn einsetzen: in welcher
Weise)?
Was halten Sie von Bestrebungen, den Rechnereinsatz verbindlich vorzuschreiben?
41

Schülerfragebogen
Das Unterrichtsmaterial mit dem Du gearbeitet hast, wird an mehreren Schulen erprobt. Du hast
sicher schon oft erfahren, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, dieselbe Sache zu
unterrichten.
Aus der Psychologie weiß man, dass es ganz unterschiedliche Lerntypen gibt und kein
Unterrichtsstil für alle Schüler gleichermaßen passend ist. Einigen kann bei bestimmten
Vorgehensweisen das Lernen erleichtert werden, anderen erschwert.
Sicher ist nur, dass das Lernen umso leichter fällt, je mehr Spaß man an der Sache hat und die
Art und Weise wie unterrichtet wird zum eigenen Denkstil passt.
Wir wollen mit dieser Befragung etwas darüber herausfinden, welche Erfahrungen Du mit dem
eigenen Lernen gemacht hast. Die Informationen, die wir auf diese Weise erhalten bleiben
natürlich anonym. Der kleine Überblick, der durch eine solche Befragung gewonnen werden
kann, soll dann u. a. mit Lehramtsstudenten analysiert werden.
Wir bitten Dich also, offen die folgenden Fragen zu beantworten.
Allgemeines zur Person Geschlecht: m w
Falls es eine Reihenfolge Deiner „Lieblingsfächer gibt, gib diese bitte an
Weitere
Bemerkungen
Bitte bewerte die folgenden Aussagen auf einer Skala von -2 (trifft überhaupt nicht zu) bis +2 (trifft in hohem Maße
zu). Aus Deiner Sicht völlig falsche Aussagen erhalten also eine -2.
Für das Fach Mathematik muss man viele Regeln und Verfahren auswendig lernen.
Der Stoffumfang ist so groß, dass man leicht die Übersicht verliert.
Im Fach Mathematik ist eigenständiges Denken überhaupt „nicht gefragt“.
Für viele Aufgaben gibt es nur einen präzisen Lösungsweg.
Mathematik hat mit vernünftigem Alltagsdenken wenige Gemeinsamkeiten.
Mathematik hat etwas Spielerisches.
Mathematik ist ein Fach, in dem man viel Diskutieren kann.
Erklärungen und Beweise sind oft unverständlich, aber zum Glück kann man sich an
„Rezepte“ halten.
Das Fach Mathematik eignet sich schlecht zur Gruppenarbeit.
Mathematik ist ein einfaches Fach, weil man sich viel selbst herleiten kann.
Mathematik ist ein interessantes Unterrichtsfach.
Es macht Spaß im Fach Mathematik mit dem Computer zu arbeiten.
Durch das „Experimentieren“ mit einem Computer wird manches „durchsichtiger“.
Die Arbeit mit einem Computer schafft zusätzlichen Stress.
Der Einsatz eines Computers macht zwar Spaß, „bringt aber nichts“ für das
Verständnis. Manches wird sogar noch verwirrender.
-2 -1 0 +1 +2
42

Im vorangegangenen Unterricht mit dem Taschencomputer wurden zwei Ideen verfolgt.
Zum einen sollte in größeren Zusammenhängen selbständig gearbeitet und manches dabei selbst
herausgefunden werden, zum anderen sollte der Rechner dabei eine Hilfe sein. Wir würden gerne
wissen, ob dieses Konzept aus Deiner ganz persönlichen Sicht sinnvoll ist. Du kannst bei Deiner
Stellungnahme z.B. die folgenden Fragen berühren:
Hat es Spaß gemacht? War klar genug, was man selbst tun kann? Wenn es sogenannte „aha-
Erlebnisse“ gab: wo traten diese auf und worauf führst Du diese zurück? Wie stehst Du zu dem
Einsatz eines Taschencomputers?
43