Musterlösungen „Vermessungskunde I für Bauingenieure“

Musterlösungen
„Vermessungskunde I für Bauingenieure“
1 Orthogonalverfahren, Flächenberechnung,
Kleinpunktberechnung
Die nebenstehende Skizze zeigt
einen Ausschnitt aus einem Vermessungsriß.
a) Wie nennt sich das angewandte
Meßverfahren?
b) Welche Geräte sind für eine
derartige Aufmessung erforderlich?
c) Um die Aufmessung durchgreifend
zu kontrollieren, müßten
noch welche Maße gemessen
werden?
d) Berechnen Sie aus den angegebenen
Maßzahlen die Fläche
des Flurstücks 137.
e) Berechnen Sie die Gauß-Krüger-Koordinaten
des Punktes
210 (mit Maßstabskorrektur)
Punkt Rechtswert y Hochwert x
[m]
[m]
23 14214,72 57224,12
25 14165,25 57206,43
Lösung:
a) Orthogonalverfahren
b) Doppelpentagon, Meßband, Fluchtstäbe, Lot oder Lattenrichter, evtl. Zählnadeln
c) Umringsmaße (Steinbreiten), Strebe von P210 nach Fußpunkt von Punkt 2 (12,08).
d) Flächenberechnung nach der Gauß´schen Dreiecksformel (auf Vorzeichen achten!):
Pkt.-Nr. x y xi(yi+1-yi-1) yi(xi-1-xi+1)
5 32,50 -14,75
1 37,92 18,34 1091,72 374,50
2 12,08 14,04 -400,69 459,81
3 5,17 -14,83 -172,57 80,97
P210 17,54 -19,34 1,40 528,56
5 32,50 -14,75 1224,60 300,61
1 37,92 18,34
2 F= 1744,46 1744,45
F= 872,2 m 2
Die Fläche des Flurstücks 137 beträgt 872,2 m 2 .

e) Richtungswinkel von P23 nach P25 (Quadrant beachten!):
23 y25
− y23
165,
25 − 214,
72 − 49,
47
t 25 = arctan = arctan
= arctan = 278,
137 gon
x − x 206,
43 − 224,
12 −17,
69
25
23
Winkel P25-P23-P210 (negatives Vorzeichen beachten; Quadrant beachten!):
−19,
34
γ = arctan = −53,
105 gon
17,
54
Richtungswinkel von P23 nach P210:
210 25
t = t + γ = 278,
137 − 53,
105 = 225,
032 gon
23
23
Der Maßstabsfaktor ergibt sich aus dem Vergleich zwischen der gemessenen Strecke
P25 – P23 und der aus Koordinaten gerechneten.
Strecke P25 – P23 aus Koordinaten:
s
23 , 25,
ger
=
2
2
( y − y ) + ( x − x ) = 52,
54 m
25
Strecke P25 – P23 aus Messung:
= 52,
48 m
s23 , 25,
gem
23
Maßstabsfaktor q
s23,
25,
ger
q = = 1,
00114
s
23,
25,
gem
25
Um den Maßstabsfaktor q korrigierte Strecke P23 – P210:
s
23 , 210
= q
17,
54
2
+ 19,
34
2
23
= 26,
139 m
Koordinatendifferenzen zwischen P23 und P210:
Δy
= s
210
⋅ sin t = 26,
139 m ⋅ sin 225,
032 gon = −10,
02 m
Δx
23 , 210
23 , 210
= s
23,
210
23,
210
⋅cos
t
23
210
23
Koordinaten von P210:
y =
y + Δy
= 14204,
70 m
x
210
210
= x
23
23
+ Δx
23,
210
23,
210
= 26,
139 m⋅
cos 225,
032 gon = −24,
14 m
= 57199,
98 m

2 Massenberechnung
Zum Ausbau einer Straße sind in ihrer Trasse im Abstand von 30 m Querprofile gemessen
worden. Durch Eintragung der Neuplanung ergeben sich die folgenden Damm-, Anschnittund
Einschnittflächen.
Berechnen Sie die Erdmassen zwischen den abgebildeten Profilen 1+20, 1+50 und 1+80.
222,15
223,08
221,88
1 + 20
222,92
221,62
4,6 0,0
4,7
4,0 4,0
221,68
221,18
4,3 4,0
220,60
221,12
1 + 50
1,2 0,0
1 + 80
221,02
220,11
4,5
4,0
220,44
221,42
4,7 0,0
4,6
4,0 4,0

Lösung:
Hinweis: Alle Höhen wurden für die Berechnung um 220 m gekürzt.
Flächenberechnung der Profile:
a) 1+20
F = F − F
1+
20
1
2
2,
15 + 3,
08 3,
08 + 2,
92 2,
92 + 1,
62
F 1 = 0,
6⋅
+ 8,
0⋅
+ 0,
7 ⋅ = 27,
16 m
2
2
2
2,
15 + 1,
62
2
F 2 = 9,
3⋅
= 17,
53 m
2
2
F = 9,
63 m
1+
20
b) 1+50
F = F − F
1+
50
1
2
1,
68 + 1,
18 1,
18 + 1,
02 1,
02 + 0,
11
F 1 = 0,
3⋅
+ 8,
0⋅
+ 0,
5⋅
= 9,
51 m
2
2
2
1,
68 + 0,
11
2
F 2 = 8,
8⋅
= 7,
88 m
2
2
F = 1,
63 m
1+
50
c) 1+80
F = F − F
1+
80
1
2
1,
88 + 0,
60 0,
60 + 0,
44 0,
44 + 1,
42
F 1 = 0,
7⋅
+ 8,
0⋅
+ 0,
6⋅
= 5,
59 m
2
2
2
1,
88 + 1,
42
2
F 2 = 9,
3⋅
= 15,
35 m
2
2
F = −9,
76 m
1+
80
1
Massenberechnung nach Prismenformel V ( F1
F2
)l
2
+ = :
1
V = F1+
20 + 2F1
+ 50 + F1+
80
2
1
⋅l
= 9,
63+
3,
26 − 9,
76
2
2
m ⋅30
m = 47 m
( ) ( ) 3
Das Gesamtvolumen (Auftrag) zwischen den Profilen 1+20 und 1+80 beträgt 47 m 3 .
2
2
2

3 Statistik
Ein Punkt ST auf einer Stützmauer soll meßtechnisch überwacht werden. Dazu wird monatlich
die Horizontalstrecke S zwischen diesem und einem Festpunkt F mit einem Präzisions-
streckenmeßgerät bestimmt. Um die Punktbewegung ausreichend genau zu erfassen, wird für
die Standardabweichung o.g. Strecke eine Größe von ≤ 0, 5 mm gefordert. Die Strecke verläuft
rechtwinklig zur Stützmauer und wird zur internen Kontrolle und Genauigkeitssteigerung
jeweils mehrfach gemessen.
Messung 15.05.96
(s9605 [m])
15.06.96
(s9606 [m])
1 82,7930 82,8073
2 82,7928 82,8068
3 82,7944 82,8087
4 82,7946 82,8082
5 82,7932 82,8066
6 82,7924 82,8074
a) Wie hat sich im Zeitraum vom 15.05. bis zum 15.06.96 die Lage des Punktes ST verändert
(Betrag und Richtung)?
b) Wurde bei den Messungen die Genauigkeitsforderung eingehalten (mit rechnerischem
Nachweis)?
Lösung:
a) Berechnung der Mittelwerte:
n 1
s = ∑ si
n i=
1
= 82,
7934 m
s 9605
s 9606
= 82,
8075 m
Δs
= s9606
− s9605
= 0,
0141 m = 14,
1 mm
Die Strecke zwischen dem Festpunkt F und dem Objektpunkt ST hat sich in der Zeit vom
15.05. bis 15.06.96 um 14,1 mm verlängert, d.h. der Objektpunkt ST hat sich vom
Festpunkt F wegbewegt.
b) Berechnung der Standardabweichungen (der Mittelwerte!):
i
(9605)
si
[m]
vi = s − si
[10 -4 m]
2
vi
[10 -8 m]
i
(9606)
si
[m]
vi = s − si
[10
1 82,7930 4 16
2 82,7928 6 36
3 82,7944 -10 100
4 82,7946 -12 144
5 82,7932 2 4
6 82,7924 10 100
∑ 0 400
-4 m]
2
vi
[10 -8 m]
1 82,8073 2 4
2 82,8068 7 49
3 82,8087 -12 144
4 82,8082 -7 49
5 82,8066 9 81
6 82,8074 1 1
∑ 0 328

s
s
s
s
=
s 9605
s 9606
=
=
n
∑
i=
1
( n −1)
n
v
2
i
400⋅10
30
328⋅10
30
−8
−8
m
−4
= 3,
7 ⋅10
m = 0,
37 mm
m
−4
= 3,
3⋅10
m = 0,
33 mm
Die geforderte Standardabweichung von 0,5 mm wurde in beiden Fällen eingehalten.

4 Geometrisches Nivellement
Für die Erstellung eines Lage- und Höhenplanes wurde nachfolgendes Nivellement ausgeführt.
HP 59 = 236,429 m ü. NN
HP 76 = 237,528 m ü. NN
a) Überprüfen Sie, ob der zulässige Fehler f zul = ± 15 mm⋅
s (s = Länge des Nivellementsweges
in km) eingehalten wurde. Die durchschnittliche Zielweite betrug 25 m.
b) Bei Zulässigkeit des Nivellements tragen Sie die Werte in das Formular ein und berechnen
Sie sachgerecht die Höhen der Neupunkte 14, 15 und 16 unter Beachtung der Fehlerverteilung.
Lösung (a+b):
Länge des Nivellementsweges s = 6⋅
25 m = 150 m = 0,
15 km .
f zul
= ± 15 mm⋅
0,
15 = 5,
8 mm
= ∑ r −∑
v − H E − H = 3,
404 − 2,
302 − 237,
528 − 236,
429
f ≤ f , wurde der zulässige Fehler eingehalten.
( ) ( ) ( ) ( ) = 0,
003 m = 3 mm
fist A
Da zul
Nivellement
Datum: 2.1.99 Beobachter: Gauss Datum: 2.1.99 Rechner: Markov Datum: 3.1.99 Prüfer:Schmidt
Instr.: Ni 025 Nr.: 123.456 Höhen- Höhe Punkt
unter
Ablesung
schied
über Bemerkungen
r z v Δh NN Nr. Lagebeschreibung
1 2 3 4 5 6 7
1,428 -1
0,582
236,429 HP59
-1
0,987 0,440 236,869 WP 1
1,123 -0,542 236,327 14
1,842 -0,719 235,608 15
2,306 -0,464 235,144 16
1,394 -1
0,883 1,423 236,567 WP2
0,432 0,961 237,528 HP76
Σ r Σ v Σ Δh HE-HA
3,404 2,302 1,099 1,099
fzul=± 5,8 mm fist=3 mm f

5 Trassierung (Kreisbogen mit Klotoiden)
Im Verlauf einer geplanten Straßentrasse ist als Verbindung zwischen zwei geraden Trassenabschnitten
eine symmetrische Kurvenfolge Klotoide – Kreisbogen – Klotoide vorgesehen.
Für die Geradenabschnitte liegen die berechneten Richtungswinkel vor:
t D
C
t H
G
= 70,
000 gon
= 148,
748 gon
Die Klotoide ist festgelegt durch:
R = 200 m
A = 120 m
Desweiteren sind die Längen der
Geradenabschnitte bekannt:
C,D = 45,00 m
G,H = 73,16 m
a) Führen Sie eine Stationierung als Kilometrierung von C nach H durch, beginnend mit C
als Station 2+800. Die Stationierung soll alle vollen 50 m-Stationen sowie die Bogenhauptpunkte
enthalten.
b) Berechnen Sie für die in a) bestimmten Stationen polare Absteckelemente von ÜA1 und
ÜA2 aus.
c) Warum ist es bei der projektierten Trasse notwendig, Übergangsbögen (Klotoiden) vorzusehen?
Lösung:
D
H
a) β = t + 200 gon − t = 121,
252 gon
C
Länge einer Klotoide:
2
A
L Ü = = 72,
00 m
R
α
= 200 gon −β
= 78,
748 gon
G

Länge des Kreisbogens:
α
LK = R ⋅ − L Ü = 175,
39 m
ρ
Station L von C aus Kilometrierung
C 0,00 2+800
D = ÜA1 45,00 2+845,00
50,00 2+850
100,00 2+900
ÜE1 117,00 2+917,00
150,00 2+950
200,00 3+000
BM 204,70 3+004,70
250,00 3+050
ÜE2 292,39 3+092,39
300,00 3+100
350,00 3+150
G = ÜA2 364,39 3+164,39
400,00 3+200
H 437,55 3+237,55
α
b) = 39,
374 gon
2
LK = 87,
697 m
2
L Ü L Ü
X = L Ü − + 4
8
40A
3456A
L
=
6A
5
LÜ
−
336A
9
−⋅
⋅⋅
=
L Ü +
42240A
71,
77 m
3
7
11
Y Ü
2
6
10 ,
LÜ τ = = 0,
18 rad = 11,
459 gon
2R
X M
= X − R
sin τ =
35,
96 m
F = Y + R cos τ − R = 1,
08 m
α
T = X M +
,
2
( R + F)
tan = 179 05 m
α
X BM = X M + R sin = 151,
92 m
2
Y BM
⎛ α ⎞
=
F + R⎜1−
cos ⎟ = 38,
13 m
⎝ 2 ⎠
−⋅
⋅⋅
= 4 31 m

Berechnung der orthogonalen Absteckelemente für die Klotoidenpunkte:
Li
Xi
= Li
− 4
40A
Li
+
8
3456A
3
Li
Yi
= 2
6A
7
Li
− + ⋅⋅⋅
6
336A
i
i
5
i
9
−⋅
⋅⋅
L = P − ÜA1,
bzw.
L = ÜA2
− P (Pi : aktueller Stationierungspunkt)
i
Berechnung der orthogonalen Absteckelemente für die Kreisbogenpunkte:
Li
⋅ ρ
2γ
i =
R
2δi
= 2γ
i + τ
x i = R sin2δ
i
y = R 1−
cos 2δ
i
X = x + X
+ F
i i
Yi = yi
i
i
( )
M
i
L = P − ÜE1,
bzw.
L = ÜE2
− P (Pi : aktueller Stationierungspunkt)
i
i
Berechnung der polaren Absteckelemente nach 2. geodätischer Grundaufgabe.
Station Kilometr. Li X [m] Y [m] ϕ [gon] s [m]
C 2+800 - -45,00 0,00 200,000 45,00
D = ÜA1 2+845,00 - 0,00 0,00
2+850 5,00 5,00 0,00 0,020 5,00
2+900 55,00 54,94 1,92 2,229 54,97
ÜE1 2+917,00 72,00 71,77 4,31 3,819 71,90
2+950 33,00 103,60 12,86 7,860 104,40
3+000 83,00 148,06 35,45 14,960 152,25
BM 3+004,70 87,70 151,92 38,13 15,654 156,63
3+050 42,39 112,36 16,25 390,860 113,53
ÜE2 3+092,39 72,00 71,77 4,31 396,180 71,90
3+100 64,39 64,26 3,09 396,945 64,34
3+150 14,39 14,39 0,03 399,847 14,39
G = ÜA2 3+164,39 - 0,00 0,00
3+200 - -50,00 0,00 200,000 50,00
H 3+237,55 - -73,16 0,00 200,000 73,16
c) Begrenzung der Zunahme der Seitenbeschleunigung auf 0,5 m/s 2 . Klotoide sorgt für bessere
Fahrdynamik.
Klotoide
Kreisbogen
Klotoide
von ÜA1
von ÜA2

6 Berechnung polarer Absteckelemente
Gegeben sind zwei Polygonpunkte PP 1901 und PP 1902 sowie deren Koordinaten.
Ausgehend von diesen ist der Punkt NP 1 abzustecken.
Pkt.-Nr. y (Rechtswert) x (Hochwert)
[m]
[m]
PP 1901 85776,00 34588,00
PP 1902 85731,46 34507,99
NP 1 85786,55 34564,04
a) Nach welcher Methode sollte abgesteckt werden, sofern ein elektronisches Tachymeter
(z.B. CTS 1) zur Verfügung steht.
b) Berechnen Sie die Absteckelemente (Absteckwerte).
c) Fertigen Sie eine Absteckskizze an.
d) Wie könnten Sie die Absteckung durchgreifend kontrollieren?
Lösung:
a) Es sollte polar abgesteckt werden.
y 31 46 76 00 44 54
b) t 232 338 gon
x 7 99 88 00 80 01
1902 Δ
, − , − ,
1901 = arctan = arctan
= arctan = ,
Δ
, − ,
− ,
NP1
Δy
86,
55 − 76,
00 10,
55
t1901
= arctan = arctan
= arctan = 173,
595 gon
Δx
64,
04 −88,
00 − 23,
96
1902 NP1
ϕ = 400 − t − t = 341,
257
c)
s
1901 , NP1
=
( ) gon
1901
Δy
2
1901
+ Δx
2
=
10,
55
2
+
2 ( − 23,
96)
= 26,
180 m
ϕ [gon] s [m]
PP 1901
PP 1902 0,000
NP 1 341,257 26,180
d) Die Absteckung könnte durch eine Aufnahme des Punktes NP 1 von PP 1902 aus (Vergleich
mit Soll-Werten) kontrolliert werden.

7 Koordinatenberechnung bei einer Polaraufnahme
Ein gerade fertiggestelltes Fabrikgebäude konnte aufgrund der örtlichen Gegebenheiten nur
polar auf die Polygonseite 58-59 aufgemessen werden. Zur Gebäudeecke A bestand keine
direkte Sicht, so daß der zur Meßrichtung rechtwinklig abgesetzte Hilfspunkt H beobachtet
wurde.
Berechnen Sie die Koordinaten der Gebäudeeckpunkte A, B und C.
Pkt.-Nr. y (Rechtswert) x (Hochwert)
[m]
[m]
58 4454640,40 5648501,12
59 4454500,10 5648520,00
Von nach Richtung Strecke
[gon] [m]
58 59 0,000
58 H 363,352 99,31
58 B 352,303 73,07
58 C 339,978 85,93
Lösung:
y 50010
640 40 140 30
t 308 516 gon
x 520 00 50112
18 88
59 Δ
, − , − ,
58 = arctan = arctan
= arctan = ,
Δ
, − ,
,
H 59
t = t + ϕ = 308,
516 + 363,
352 = 271,
868 gon
t
t
58
B
58
C
58
Δy
Δx
= t
= t
H
H
58
59
58
59
58
= s
= s
+ ϕ =
+ ϕ =
58,
H
58,
H
sin t
308,
516 + 352,
303 = 260,
819 gon
308,
516 + 339,
978 = 248,
494 gon
cos t
H
58
H
58
= −89,
77 m
= −42,
47 m

Δy
Δx
Δx
Δy
B
B
C
C
= s
= s
= s
= s
58,
B
58,
B
58,
C
58,
C
sin t
cos t
sin t
cos t
B
58
B
58
C
58
C
58
= −59,
66 m
= −42,
19 m
= −59,
31 m
= −62,
18 m
yH = y58
+ Δy58
= 4454550,
63 m
= x + Δx
= 5648458,65 m
x H 58 58
yB = 4454580,
74 m
x B = 5648458,93 m
= 4454581,
09 m
y C
x C = 5648438,94 m
t
A
H
Δy
Δx
= t
H , A
H , A
H
58
−100
= 271,
868 −100
= 171,
868 gon
= s
= s
H,
A
H,
A
sin t
A
H
cos t
A
H
yA yH
yH
, A = Δ + =
x A x H x H,
A = Δ + =
= 0,
12 m
= −0,
24 m
4454550,
75 m
5648458,
41 m
Ergebnis:
Pkt.-Nr. Y (Rechtswert)
[m]
X (Hochwert)
[m]
A 4454550,75 5648458,41
B 4454580,74 5648458,93
C 4454581,09 5648438,94