Ein viskoelastisches Stoffmodell zur Simulation gummiartiger ...

Institut für Strukturmechanik
Bauhaus-Universität Weimar
Ein viskoelastisches Stoffmodell zur
Simulation gummiartiger Materialien
unter großen Verzerrungen
Dipl.-Ing. Thomas Most
Prof. Dr. Christian Bucher
Weimar, März 2001

Inhalt
1 Allgemeines ................................................................... 1
2 Formulierung des Materialmodells .............................. 3
2.1 Kinematische Größen......................................................................................... 3
2.1.1 OGDEN-elastisches Teilmodell..................................................................... 3
2.1.2 Viskoelastisches Teilmodell .......................................................................... 3
2.2 Elastische Teilwerkstoffgesetze ......................................................................... 4
2.2.1 OGDEN-elastisches Teilmodell..................................................................... 4
2.2.2 Viskoelastisches Teilmodell .......................................................................... 5
2.3 Viskoses Teilwerkstoffgesetz im viskoelastischen Teilmodell ............................ 5
2.4 Dämpfungsarbeit und elastische Energie........................................................... 6
2.5 Zusammenfassung............................................................................................. 7
3 Algorithmus ................................................................... 9
3.1 OGDEN-elastisches Teilmodell.......................................................................... 9
3.2 Viskoelastisches Teilmodell................................................................................ 9
3.3 Zusammenfassung........................................................................................... 11
4 Verifikation ................................................................... 14
4.1 Einachsiger Zugversuch mit unterschiedlichen Dehnraten............................... 14
4.2 Einachsiger Druckversuch mit unterschiedlichen Dehnraten ........................... 17
4.3 Hydrostatischer Kompressionsversuch ............................................................ 18
4.4 Einachsiger zyklischer Lastversuch.................................................................. 19
4.5 Zweidimensionaler Scherversuch..................................................................... 20
4.6 Zugverformung einer Scheibe mit Loch............................................................ 22
5 Identifikation der Materialparameter.......................... 28
5.1 Ermittlung der OGDEN-elastischen Parameter ................................................ 28
I

Inhalt
5.2 Ermittlung der viskosen Parameter .................................................................. 29
5.3 Verifikationsexperiment .................................................................................... 30
5.4 Ermittlung der viskosen Parameter aus den Verlust- und Speichermoduli....... 30
6 Anwendung .................................................................. 34
7 Literaturverzeichnis .................................................... 39
II

1 Allgemeines
1 Allgemeines
Im Folgenden wird ein viskoelastisches Materialmodell für isotrope gummiartige
Werkstoffe bei großen Verzerrungen und großen Dehnraten entwickelt. Die
Formulierung für große Verzerrungen erfolgt unter direktem Bezug auf KECK [1] und
MOST [3] unter Anlehnung an MIEHE [2]. Als Verzerrungsmaße werden in dieser
Formulierung logarithmische Dehnungen und als Spannungsmaße KIRCHHOFF-
Spannungen verwendet. Dies ermöglicht für isotrope Materialien eine Darstellung der
Spannungs- und Verzerrungsgrößen im Eigenwertraum.
Für das zu entwickelnde Modell von folgenden Annahmen ausgegangen:
• Das Materialverhalten ist isochor. Zur Realisierung wird eine „Penalty-Elastizität“
analog zu [1] für das volumetrische Dehnungsverhalten verwendet.
• Das Materialmodell wird in Anlehnung an [1] in ein elastisches Teilmodell und ein
viskoelastisches Teilmodell unterteilt. Die plastischen Verformungsanteile werden
vernachlässigt, da ihre Berücksichtigung für schnelle Umformprozesse in erster
Näherung nicht notwendig ist.
• Das elastische Verhalten im elastischen Teilmodell (im folgenden auch als
Grundelastizität bezeichnet) wird mit einem nichtlinearen Ansatz nach OGDEN [4]
modelliert. Dabei wird von einer beliebigen Anzahl OGDEN-Glieder ausgegangen.
Die Elastizität des viskoelastischen Teilmodells wird mit einer linearen Spannungs-
Verformungsbeziehung modelliert.
• Für die Beschreibung der Viskosität wird eine allgemeine viskose Fließregel unter
Anlehnung an [1] verwendet. Dabei wird kein Fließkriterium definiert, was bedeutet,
daß das Material sich bei Belastung immer im viskosen Zustand befindet. Die
benötigte Fließrichtung wird durch das viskose Potential beschrieben, das durch die
Norm der KIRCHHOFF-Deviatorspannungen definiert wird.
Von den obigen Annahmen ausgehend, wird das Materialmodell auf der Grundlage des
in Abbildung 1.1 dargestellten rheologischen Modells für den einachsigen
Spannungszustand entwickelt.
1

1 Allgemeines
viskoelastisches Teilmodell
lineares
Federelement
viskoses
Dämpferelement
σ σ
nichtlineares
Federelement
OGDEN-elastisches Teilmodell
Abbildung 1.1: Rheologisches Modell für das zu entwickelnde Modell im
einachsigen Spannungszustand
Das nichtlineare Federelement wird laut obigen Annahmen durch den OGDEN-Ansatz
beschrieben. Aus der Abbildung ist ersichtlich, daß die Verzerrungen im OGDENelastischen
und viskoelastischen Teilmodell gleiche Größe besitzen und den
Gesamtverzerrungen entsprechen. Im viskoelastischen Teilmodell teilen sich diese
Verzerrungen in einen viskosen und einen elastischen Anteil auf. Die
Gesamtspannungen werden additiv aus den Spannungen der beiden Teilmodelle
ermittelt.
2

2 Formulierung des Materialmodells 3
2 Formulierung des Materialmodells
Bei der Formulierung des Materialmodells wird analog zu [3] Kapitel 4-6 vorgegangen.
2.1 Kinematische Größen
2.1.1 OGDEN-elastisches Teilmodell
Die Verzerrungen der Grundelastizität sind nicht geschichtsabhängig und haben die
gleiche Größe wie die Gesamtverzerrungen. Der FINGER-Tensor kann somit direkt aus
dem Deformationsgradienten abgeleitet werden:
0 T
b : = FF . (2.1)
Die Drehung in den Eigenwertraum und das Aufstellen des logarithmischen
Dehnungstensors erfolgt analog zu [3] Kapitel 3.2:
3
0
= ∑
a=
1
2
0
a
b n ⊗n
3
0
= ∑
a=
1
0
a
0
a
0
a
0
a
n ⊗n
.
0
a
,
Die Eigenwerte des logarithmischen Dehnungstensors sind wie folgt definiert:
0
a
1
2
2
0 ( a )
(2.2)
:= ln . (2.3)
2.1.2 Viskoelastisches Teilmodell
Die Geschichtsabhängigkeit der viskosen Teildeformation wird durch Einführung einer
v
viskosen Metrik B in der Bezugskonfiguration analog zu [3] Kapitel 3.2 erfaßt.
Der FINGER-Tensor der elastischen Teildeformation wird als Push-Forward dieser
viskosen Metrik definiert:
ev v T
b : = FB F . (2.4)
Die Eigenwertzerlegung und Berechnung der logarithmischen Dehnungen erfolgt
analog zu Kapitel 2.1.1:
3
ev
= ∑
a=
1
2
ev
a
b n ⊗ n
3
ev
= ∑
a=
1
ev
a
ev
a
ev
a
n ⊗n
ev
a
2
ev ( a )
:= ln .
1
2
ev
a
ev
a
,
,
(2.5)

2 Formulierung des Materialmodells 4
2.2 Elastische Teilwerkstoffgesetze
Bei beiden Teilmodellen wird von hyperelastischen Spannungsbeziehungen, das heißt
von der Existenz einer Freien-Energie-Funktion als elastisches Potential ausgegangen.
Die KIRCHHOFF-Spannungen werden durch Ableitung dieses Potentials gebildet.
2.2.1 OGDEN-elastisches Teilmodell
Die zur Modellierung des annähernd inkompressiblen viskoelastischen Materialverhaltens
verwendete „Penalty-Funktion“ für den volumetrischen Spannungsanteil wird
in Anlehnung an [1] in der Grundelastizität berücksichtigt. Dieser volumetrische Anteil
der Freien-Energie-Funktion wird wie folgt angesetzt:
0
vol
0
2
1 0 0 ( e ) = e
ˆ κ
mit
2
0 0 0
e 1 + 2 +
= .
0
3
(2.6)
Die volumetrischen Anteile der KIRCHHOFF-Spannungen ergeben sich durch
Ableitung:
0, vol
a
∂ ˆ
=
∂
0
vol 0 0
= κ e . 0
a
(2.7)
Um annähernd isochores Verhalten zu erzwingen, muß der Kompressionsmodul 0
κ
sehr groß angesetzt werden.
Der isochore Anteil der Freien-Energie-Funktion wird durch den OGDEN-Ansatz
formuliert. Dies geschieht analog zu [3] Kapitel 6:
0 ˆ iso
µ
a=
1 p=
1 α p
α
mit
0, dev
a =
µ
0 1 0 * p
a-
3 e , µ p = 0
µ
.
3 N *
0, dev 0
p 0, dev
( a ) = µ ∑∑ ( exp(
a p ) −1)
(2.8)
Die Materialparameter µ p sowie α p müssen in Abhängigkeit der Anzahl N der
0
verwendeten additiven Teile der Freien-Energie-Funktion bestimmt werden. µ ist der
Schubmodul. Da α p und *
µ dimensionslos sind, wird der gesamte Summenterm in
(2.8) dimensionslos. An die Parameter α p und
Nebenbedingung gestellt:
N
∑
p=
1
p
*
µ p wird nach [4] folgende
*
µ α = 2 . (2.9)
p
p

2 Formulierung des Materialmodells 5
Für die Ableitung des isochoren Anteils der Freien-Energie-Funktion ergibt sich nach
[3]:
0, dev ( ) .
0
N ∂ ˆ iso 0 *
= = µ µ p exp
0
b αp
ba
(2.10)
∂
0, dev
a ∑
a p=
1
Dabei bezeichnet ba den in [3] erläuterten isochoren Projektionstensor im Eigenwertraum,
welcher definiert ist durch
∂
= . (2.11)
ba ab : =
0, dev
a
0
∂ b
= 1
ab − 3
2.2.2 Viskoelastisches Teilmodell
Dem elastischen Teilwerkstoffgesetz des viskoelastischen Teilmodells wird analog zu
[1] nur ein isochorer Anteil der Freien-Energie-Funktion zugeordnet. Dieser ist für den
linearen Ansatz definiert durch:
ev
iso
3
ev, dev ev ev, dev
( ) = ( )
a
∑
a=
1
a
2
ˆ µ . (2.12)
Die zugehörigen KIRCHHOFF-Spannungen ergeben sich durch Ableitung analog zu [3]:
ev
a
ev
ev, dev ∂ ˆ iso ev ev, dev
= a = = 2µ
a .
(2.13)
∂
ev
a
Anmerkung:
Die „Penalty-Funktion“ für die hydrostatischen Spannungen im OGDEN-elastischen
Teilmodell erzeugt schon bei geringen volumetrischen Verzerrungen hohe
Spannungsanteile. Im globalen Iterationsprozeß führt dies dazu, daß die volumetrischen
Verzerrungen in Abhängigkeit von der gewählten Größe des Kompressionsmoduls sehr
klein werden. Die Verwendung der „Penalty-Funktion“ im viskoelastischen Teilmodell
bzw. in beiden Teilmodellen würde prinzipiell die gleichen Auswirkungen auf die globale
Iteration haben. Im Hinblick auf eine einfache algorithmische Umsetzung ist es somit
sinnvoll und ausreichend, diese „Penalty-Funktion“ nur im elastischen Teilmodell
anzusetzen.
2.3 Viskoses Teilwerkstoffgesetz im viskoelastischen Teilmodell
Die viskose Fließregel wird analog zu [3] formuliert durch einen Fließbetrag λ ˆ und eine
Fließrichtung, welche durch Ableitung eines viskosen Potentials ˆ bestimmt wird. Als
viskoses Potential wird die Norm der KIRCHHOFF-Deviatorspannungen verwendet:
ev ( )
ev, dev ev, dev 2 ev, dev 2
ˆ = 1 + 2 +
ev, dev 2
3
= . (2.14)

2 Formulierung des Materialmodells 6
Für den Fließbetrag λ ˆ wird analog zu [1] ein Potenzansatz verwendet:
( ) ( ) 2
s
ev, dev
s 1 ev, dev2
ev, dev2
ev, dev2
= +
ˆ 1
λ =
1
2 + 3 . (2.15)
η η
Die Variablen η und s sind in diesem Ansatz als konstant angenommene Materialparameter.
Die viskose Fließregel hat analog zu [3] Kapitel 3 und 4 folgende Form:
−
1
2
£ v
b
ev
b
ev-1
ˆ ∂ ˆ
= λ
∂
= ˆ λ
3
∑
a = 1
ev
= ˆ λ
ev, dev2
1
ev, dev
ev, dev
+
ev, dev
a
ev, dev2
2
+
ev, dev2
3
2.4 Dämpfungsarbeit und elastische Energie
n
ev
a
⊗ n
ev
a
.
(2.16)
Die viskose volumenspezifische Dissipationsleistung bezogen auf das Ausgangsvolumen
berechnet sich nach [3] Kapitel 3 auf der Grundlage des zweiten Hauptsatzes
der Thermodynamik wie folgt:
D
V 0
=
= ˆ λ
ev
: −
ev
1
1
2
b
£ v
ev, dev
1
+
ev, dev2
1
ev
+
b
ev
2
ev-1
ev, dev2
2
ˆ⎛
= λ⎜
⎝
ev, dev
2
+
+
ev
ev
3
:
ev, dev
3
ev, dev 2
3
∂
∂
ˆ
ev
.
⎞
⎟
⎠
(2.17)
Das Ausgangsvolumen entspricht für das modellierte Material nur annähernd dem
Momentanvolumen , daher wird die Volumenänderung mit berücksichtigt:
D = JD , J = det[ F]
. (2.18)
V
V0
Für die volumenspezifische viskose Arbeit, bezogen auf das Momentanvolumen, ergibt
sich:
W
v
t
∫
= D dt . (2.19)
0
V
Die elastische Energie kann direkt aus der Freien-Energie-Funktion bestimmt werden.
Die volumetrische Energie bezogen auf das Ausgangsvolumen entspricht dabei dem
volumetrischen Anteil der Freien-Energie-Funktion im OGDEN-elastischen Teilmodell.
Für das Momentanvolumen ergibt sich:
e, vol 0
0 02
1 = J ˆ vol = J 2 e . (2.20)
W κ

2 Formulierung des Materialmodells 7
Der deviatorische Anteil der elastischen Energie ergibt sich aus der Summe der
isochoren Anteile der Freien-Energie-Funktion in beiden Teilmodellen zu:
3 N *
µ
3
e, dev 0 ev 0
p 0, dev
ev ev, dev 2
W = J ˆ iso + J ˆ iso = Jµ
∑∑ ( exp(
a α p ) −1)
+ Jµ
∑(
a ) . (2.21)
α
a=
1 p=
1
Gleichung (2.21) bezieht sich auf das Momentanvolumen.
2.5 Zusammenfassung
Die in Kapitel 2.1 bis 2.4 aufgeführten Beziehungen sind in Tabelle 2.1 zusammengefaßt.
Verzerrungsmaße: 0 T
b = FF ,
3
0
= ∑
a=
1
0 0
1
0
a
0
a
p
3
0
= ∑
a=
1
2
0
a
b n ⊗n
n ⊗ n
e = + + ,
0
2
ev v T
b : = FB F ,
ev
3
= ∑
a=
1
ev ev
1
ev
a
ev
a
0
3
0
a
n ⊗n
ev
2
0
a
0
a
2
0 1 0
, a ln(
a )
0, dev
a
3
ev
= ∑
a=
1
2
,
:= ,
0 1 0
= a-
3 e ,
2
ev
a
b n ⊗ n
ev
3
ev
a
e = + + ,
ev
a
ev
a
2
ev 1 ev
, a ln(
a )
ev, dev
a
Freie-Energie-Funktion: 0 0 0 0 0 0, dev
ˆ ( ) = ˆ ( e ) + ˆ ( )
KIRCHHOFF-Spannungen:
a
=
1
2
vol
0
κ e
02
iso
0
+ µ
3
a
N
∑∑
a=
1 p=
1
2
,
:= ,
=
µ
α
*
p
p
ev
a
3
ev ev ev, dev ev ev, dev
( ) = ( ) = ( )
ev ˆ ˆ µ
0
a
ev
a
a
0
a
iso
a
∑
a=
1
0
∂ ˆ
= =
α
∂
∂ ˆ
=
∂
ev
ev
a
-
1
3
e
ev
a=
1
0, dev ( exp(
α ) −1),
a
a
2
p
0, dev ( b p ) ba
N
0 0 0 *
1
κ e + µ ∑ µ p exp , ab ab − 3
p=
1
= 2µ
ev
ev, dev
a
Tabelle 2.1 Teil I: Viskoelastisches Werkstoffgesetz für gummiartige
Materialien bei großen Verzerrungen
= ,

2 Formulierung des Materialmodells 8
Viskoses Potential: ev ( )
ev, dev ev, dev 2 ev, dev 2
ˆ = = 1 + 2 +
ev, dev2
3
Viskose Fließregel: 3
ev, dev
1 ev ev-1
a
ev ev
− 2 £ ˆ
v b b = λ ∑ n
2
2
2
a ⊗n
a ,
a=
1 ev, dev ev, dev ev, dev
+ +
Elastische Energie:
Dämpfungsarbeit:
ˆ 1
λ =
η
( ) s
ev, dev
e, vol
0 02
1 W = J 2 κ e ,
3 N *
µ
e, dev 0
p
W = Jµ
∑∑
µ
α
W
p
t
∫
= D dt ,
0
V
a=
1 p=
1
D
V
p
1
2
3
0, dev
ev ev, dev
( exp(
a α p ) −1)
+ J ∑ ( a )
= J ˆ λ
ev
1
ev, dev
1
+
ev, dev 2
1
Eingangsgrößen: • OGDEN-Kompressionsmodul
Abgeleite Größen:
• OGDEN-Schubmodul
0
µ ,
• Viskoelastischer Schubmodul
+
ev
2
3
0
κ ,
ev, dev
2
ev, dev 2
2
ev
µ ,
a=
1
• Anzahl der OGDEN-Parameter-Paare N,
• N OGDEN-Parameter α p ,
• N-1 OGDEN-Parameter µ p ,
• Viskositätsparameter η und s
*
• OGDEN-Parameter µ
+
+
ev
3
ev, dev
3
ev, dev 2
3
µ
⎛ N-1
p
⎞
* 1
*
; µ = ⎜ ⎟
N ⎜
2 − µ
0
pα
p
µ α
⎟
N ⎝ p 1 ⎠
p = ∑
=
Tabelle 2.1 Teil II: Viskoelastisches Werkstoffgesetz für gummiartige
Materialien bei großen Verzerrungen
2

3 Algorithmus 9
3 Algorithmus
3.1 OGDEN-elastisches Teilmodell
Im OGDEN-elastischen Teilmodell können die KIRCHHOFF-Spannungen direkt aus
dem Deformationsgradienten nach Kapitel 2.1 bis 2.2 bestimmt werden. Dabei ist keine
Iteration und keine Abspeicherung von Geschichtsvariablen notwendig.
Der CAUCHY- Spannungstensor ergibt sich aus dem KIRCHHOFF-Spannungstensor
zu:
1 1
T n ⊗ n
3
0 0
= = ∑ J J a=
1
0
a
0
a
0
a
. (3.1)
Die elastischen Energieanteile werden in jedem Postprocessing-Schritt direkt aus
den logarithmischen Verzerrungen nach Gleichung (2.20) und (2.21) bestimmt.
3.2 Viskoelastisches Teilmodell
Analog zu [3] Kapitel 7 wird die Fließregel (2.16) in LAGRANGEsche Form überführt,
die Differentialgleichung mit impliziter EULER-Integration gelöst und anschließend
zurück in die EULERsche Formulierung überführt:
1 ev ev-1
ˆ ∂ ˆ
− 2 £ v b b = λ ev
∂
1 v v-1
-1
Å B B ˆ ∂ ˆ
− &
2 = λF
F ev
∂
v ⎛
Å
ˆ -1
∂ ˆ
B n + 1 = exp⎜− 2∆tλF
ev
⎝ ∂
⎞ v
F⎟
n+
1B
n
⎠
v -1
Å Fn + 1B
n+
1Fn
+ 1
-1
= Fn+
1Fn+
1
⎛ ˆ ∂ ˆ ⎞
v
⎜−
2∆tλ
ev ⎟ Fn
+ 1B
nF
⎝ ∂ ⎠ n+
1
ev ⎛
e*
Å
ˆ ∂ ˆ ⎞
b n + 1 = exp⎜− 2∆tλ
ev ⎟ n+
1 b .
⎝ ∂ ⎠
-1
exp n+
1
(3.2)
Wie in [3] Kapitel 7 näher erläutert, erhält man für diese Formulierung ein nichtlineares
Gleichungssystem für die logarithmischen Hauptverzerrungen, das die Integration der
Fließregel komplett beschreibt:
ev
a
ev*
ˆ ∂ ˆ
= a − ∆tλ
,
∂
ev
a
ev
a
ev
∂ ˆ
= , mit a = 1,2,3 (3.3)
∂
Dieses System wird mit dem NEWTON-Verfahren gelöst. Das führt zu folgender
linearisierter Form:
ev
a

3 Algorithmus 10
ˆ
2
ev ∂λ
ev ∂ ˆ ∂ ˆ ev
0 = r
t
t
ˆ
a + ab∆
b + ∆ ∆ b + ∆ ∆ b λ . ev
(3.4)
∂ ∂ ∂ ∂
Unter Verwendung der Beziehungen
∂
ev
b
2 2 ev 2 2 ev
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ c ∂ ˆ ∂ ˆ
=
=
ev ev ev ev ev ev ev ev ev
a ∂ b ∂ a ∂ c ∂ b ∂ a ∂ c ∂ c ∂ b
∂ ˆ λ ∂ ˆ λ ∂
=
∂ ∂ ∂
ev
b
ergibt sich folgende Matrixschreibweise:
ev
c
ev
c
ev
b
⎡ ∂ ˆ
2
2 ev
λ ∂ ˆ ⎤ ⎡ ∂ ⎤
= ∆ ⎢ ⎥ + ∆ ˆ ˆ ⎡ ∂ ˆ ⎤
L : t
tλ
ev ev ⎢ ev ev ⎥ , E : = ⎢ ⎥ ,
ev ev
⎣∂
b ∂ a ⎦ ⎣∂
a ∂ b ⎦ ⎣∂
a ∂ b ⎦
1 = [ ] , r := [ r ] ,
ab
ev
[] = r + ( 1 + L E )[ ∆ ]
0 .
a
b
ev
a
a
ev
b
,
(3.5)
(3.6)
Die nötigen Ableitungen in (3.5) ergeben sich nach den Ansätzen in Kapitel 2.2 und 2.3
analog zu [3] Kapitel 7.1.2 zu
∂
∂
2
ev
a
ev
a
ˆ
∂
ev
2
∂ ˆ
∂ ∂
ev
a
ev
b
ev
b
∂ ˆ λ s
=
∂ η
= 2µ
=
N
ev
ab
ev, dev
ab
−
,
ev, dev
a
ev, dev
b
( ) 3
N ev, dev
mit
ev, dev
ev, dev
ev, dev
s−1
∂ s
s
( ) = ( N ev, dev )
∂
ev
a
η
ev, dev2
1
ev, dev2
2
ev, dev2
2
N = + + ,
Die gesamte lokale NEWTON-Iteration ist in Kapitel 3.3 in Tabelle 3.2 dargestellt.
−1
N
ev
a
ev, dev
.
(3.7)
Die elastischen Energieanteile werden analog zu Kapitel 3.1 in jedem Postprocessing-
Schritt direkt bestimmt. Die Dämpfungsarbeit wird jeden Zeitschritt inkrementell, unter
der Annahme konstanter Dissipationsleistung im Zeitschritt, bestimmt:
v
Wn = n+
1
v
+ 1 Wn
+ DV
∆t
. (3.8)
Die viskose Dissipationsleistung kann aus den in der Iteration bereits bereitgestellten
Termen berechnet werden:

3 Algorithmus 11
3
⎛ ∂ ˆ ⎞ ⎛ ev ∂ˆ
⎞
D = ˆ⎜
⎟ = ∑ ⎜
⎟
V λ : ˆ λ a . ev
(3.9)
⎝ ∂ ⎠ a=
1 ⎝ ∂ a ⎠
Die Aktualisierung der viskosen Metrik erfolgt in jedem Zeitschritt durch Bilden der
Hauptstreckungen aus den logarithmischen Hauptverzerrungen analog zu [3] Kapitel
7.1.1:
3.3 Zusammenfassung
3
v -1
⎛
B n + 1 = Fn+
1⎜∑
a=
1
2
ev ev*
ev*
⎞ -T
a na
⊗n
a Fn+
1 ,
ev
a
ev
exp(
a )
⎝
⎟ ⎠
= . (3.10)
In den Tabellen 3.1 und 3.2 ist der gesamte Algorithmus beider Teilmodelle
zusammengefaßt dargestellt. Die Größen zum Zeitpunkt t n werden dabei mit dem
Index n bezeichnet und die Größen zum Zeitpunkt t n+
1 werden ohne Indizes dargestellt.
Die Bezeichnungen Geometrischer Vor- und Nachprozeß werden analog zu [3]
verwendet, da die darin ausgeführten Operationen nicht materialabhängig sind. Im
materialabhängigen Teil sind die eigentlichen spezifischen implementiert.
1. Geometrischer Vorprozeß:
OGDEN-elastisches Teilmodell:
- Berechne den elastischen FINGER-Tensor
- führe Spektralzerlegung
3
0
= ∑
a=
1
2
0
a
b n ⊗n
0
a
0
a
0 T
b = FF aus gegebenem F,
aus,
2
0 1 0
- berechne Eigenwerte der logarithmischen Verzerrungen a ln(
a )
Viskoelastisches Teilmodell:
- Berechne Trialzustand des elastischen FINGER-Tensors
gegebenen
v
B n und F,
- führe Spektralzerlegung
3
ev*
= ∑
a=
1
2
ev*
a
b n ⊗n
ev*
a
ev*
a
aus,
= .
2
ev*
v T
b = FB nF
aus
- berechne Eigenwerte der logarithmischen Verzerrungen des Trial-Zustandes
ev*
a
1
2
2
ev*
( a )
= ln .
Tabelle 3.1 Teil I: Algorithmus des viskoelastischen Werkstoffgesetzes für
gummiartige Materialien bei großen Verzerrungen

3 Algorithmus 12
2. Materialabhängiger Teil:
OGDEN-elastisches Teilmodell:
0 0 0 0 * 0, dev
1
- Berechne Spannungshauptwerte a = κ + µ µ p exp(
b α p ) ba , ab = ab − . 3
N
e ∑
p=
1
Viskoelastisches Teilmodell:
- Berechne elastische logarithmische Hauptverzerrungen
Hauptspannungen
3. Geometrischer Nachprozess:
OGDEN-elastisches Teilmodell:
- Berechne CAUCHY-Spannungstensor
Viskoelastisches Teilmodell:
ev
a und
ev
a mit Hilfe der lokalen NEWTON-Iteration (Tabelle 3.2).
1 1
T n ⊗ n
3
0 0
= = ∑ J J a=
1
ev
ev
- Berechne aktuelle Hauptstreckungen exp(
)
- aktualisiere
⎛
3
2
v −1
ev ev*
ev*
B = F ⎜∑
a na
⊗n
a ⎟
⎝ a=
1
⎠
- berechne CAUCHY-Spannungstensor
a
⎞
F
-T
= ,
,
3
ev ev
= = ∑ J J a=
1
a
0
a
ev
a
0
a
ev*
a
0
a
1 1
T n ⊗n
Í Berechne CAUCHY-Spannungen des gesamten Modells:
4. Postprocessing:
.
ev*
a
.
T +
0 ev
= T T .
- Berechne volumetrische und deviatorische elastische Energieanteile aus den
Hauptwerten der logarithmischen Verzerrungen:
e, vol
0 02
1 W J 2 κ e
= und
3 N *
µ
3
e, dev 0
p 0, dev
ev ev, dev 2
W = Jµ
∑∑ ( exp(
a α p ) −1)
+ Jµ
∑ ( a ) ,
α
a=
1 p=
1
p
3 ⎛
- berechne viskose Dissipationsleistung D ∑ ⎜
V = J ˆ λ
a=
1 ⎝
ev ∂ˆ
⎞
⎟
a , ev
∂ a ⎠
- berechne Inkrement der Dämpfungsarbeit
v
: = Dv
W ,
v
- aktualisiere Dämpfungsarbeit W
v v
= W + ∆W
.
Tabelle 3.1 Teil II: Algorithmus des viskoelastischen Werkstoffgesetzes für
gummiartige Materialien bei großen Verzerrungen
a=
1

3 Algorithmus 13
Die lokale NEWTON-Iteration zur Bestimmung der elastischen Verzerrungs- und
Spannungshauptwerte im viskoelastischen Teilmodell ist in Tabelle 3.2 dargestellt.
1. Setze Startwerte:
ev
a = 0
ev*
a
2. Berechne Hauptwerte der KIRCHHOFF-Spannungen
ev
a
∂ ˆ
=
ev, dev
a
ev
= ev
∂ a
ev
= 2µ
ev, dev
a ,
ev ev ev
e 1 + 2 +
= ,
3. Berechne die Ableitungen des viskosen Potentials ˆ und den Fließbetrag λ ˆ :
⎡ ev, dev
⎡ ∂ˆ
⎤ ⎤
a
d : = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ,
ev
⎣∂
a ⎦ ⎢ ev, dev ⎣ N ⎥⎦
ev
3
ev
a
ev, dev
a
ev, dev2
ev, dev2
ev, dev2
N ev, dev = 1 + 2 + 2 , ( ) s
ˆ 1
λ = N ev, dev .
η
4. Berechne die Residuen und überprüfe die Abbruchgrenze:
r λˆ : = r =
ev
−
ev*
+ ∆t
,
[ ] [ ] d
a
a
a
Wenn r r
T < Abbruchtoleranz: gehe zu 7.
5. Berechne:
⎡ ∂ ˆ
2
λ ∂ ˆ ⎤ ⎡ ∂ ˆ ⎤
L : = ∆t⎢
⎥ + ∆t
ˆ λ
ev ⎢ ev ev ⎥ ,
ev
⎣∂
b ∂ a ⎦ ⎣∂
a ∂ b ⎦
2
∂ ˆ
∂ ∂
ev
a
ev
b
=
N
ab
ev, dev
−
ev, dev
a
ev, dev
b
( ) 3
N ev, dev
6. Berechne die Inkremente der Verzerrungen:
ev
-1
[ ∆ a ] = −(
1 + L E)
r
ev
⇐
ev
+ ∆
ev
und gehe zu 2.
Aktualisiere: [ ] [ ] [ ]
7. Ende der lokalen Iteration.
a
a
a
,
∂ ˆ λ s
=
∂ η
ev
a
=
ev
a
-
1
3
e
s−
2 ev
( N ev, dev )
a
ev
,
ev [ 2 ]
2 ev ⎡ ∂ ˆ ⎤
E : = ⎢ = µ
ev ev ⎥
ab .
⎣∂
a ∂ b ⎦
Tabelle 3.2: Lokale NEWTON-Iteration des viskoelastischen Teilmodells

4 Verifikation 14
4 Verifikation
4.1 Einachsiger Zugversuch mit unterschiedlichen Dehnraten
Die Versuche wurden unter Verwendung der in [1] Anhang B ermittelten Materialparameter
für unterschiedliche konstante logarithmische einachsige Dehnraten
durchgeführt.
Die verwendeten Parameter sind in Tabelle 4.1 aufgeführt.
OGDEN-elastisches Teilmodell: Anzahl OGDEN-Glieder N = 2
µ
µ
*
1
*
2
=
=
5,
80593
0,
000232
Kompressionsmodul
Schubmodul
Viskoelastisches Teilmodell: Schubmodul
Tabelle 4.1: Verwendete Materialparameter
α =
1
2
0,
344
α = 11,
9
0
κ = 1000 N/mm²
0
µ = 1,47 N/mm²
ev
µ = 1,18 N/mm²
Viskositätsparameter η = 0,00145 und s = 5,03
Der Deformationsgradient wurde unter der Annahme von Inkompressibilität in folgender
Form vorgegeben:
⎧ 1 1 ⎫
F = diag⎨Λ;
; ⎬ . (4.1)
⎩ Λ Λ ⎭
Für eine konstante logarithmische Dehnrate in Belastungsrichtung ergibt sich für die
einachsige Streckung in Abhängigkeit von der Zeit:
() = exp(
() t ) = exp(
& t)
t 0
0
Λ . (4.2)
In Abbildung 4.1 ist der berechnete Spannungsverlauf in Abhängigkeit der Streckung für
unterschiedliche Dehnraten dargestellt. Die berechneten Spannungswerte sind dabei
die deviatorischen Anteile, der volumetrische Anteil läßt sich aus dem vorgegebenen
Deformationsgradienten nicht ableiten, sondern kann aus der Randbedingung
diag 1
{ T ; 0;
0}
wie folgt bestimmt werden:
T = . (4.3)
diag
→ p =
dev vol
dev 1 dev 1 dev
{ T ; 0;
0}
= T + T = diag{
T ; − T ; − T } + diag{
p;
p; p}
1
1
2
T
dev
1
.
1
2
1
2
1
(4.4)

4 Verifikation 15
Zur Verifikation der einachsigen Versuche werden im folgendem demnach nur die
Deviatorspannungen verwendet.
Die deviatorischen Hauptspannungswerte des OGDEN-elastischen Teilmodells lassen
sich analytisch nach (2.10) wie folgt berechnen:
T
0, dev
a
= τ
0, dev
a
N
N
αp
−
0 * 0, dev
0 *
=
( ) = 2 αp
2 2
µ µ p exp ε b α p Π ba µ µ p Λ − Λ
3 3
(4.5)
p=
1
p=
1
Abbildung 4.1: Einachsiger Zugversuch mit unterschiedlichen Dehnraten
Die numerisch und analytisch ermittelten elastischen Spannungswerte stimmen
überein, das OGDEN-elastische Teilmodell ist somit verifiziert.
Zur Verifikation des viskoelastischen Teilmodells wird die Fließregeldiffentialgleichung
ausgehend vom Deformationsgradienten analog zu [3] Kapitel 4.2.2 formuliert:
−
1
2
b
£ v
ev
b
ev-1
=
0 ev
1 1
( ε − ε ) diag{
1;
− ; − }
ˆ τ
= λ
τ
→ ε
v
ev, dev
ev, dev
= ˆ λ
= ˆ λ
Für monotone einachsige Belastung gilt:
ev
n
ev
n-1
2
3
.
2
3
2
τ
τ
ev
ev
2
diag
1 1 { 1;
− ; − }
2
2
(4.6)
τ > τ . (4.7)
Daraus abgeleitet ist die folgende Überlegung:
ˆ λ
ε
ε
ev ( ) ˆ ev
τ > λ(
τ )
v
n
ev
n
CAUCHY-Spannung T dev [N/mm²]
> ε
6
5
4
3
2
1
v
n-1
→ 0
0
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4
n-1
ε
ε
v
ev
n
< ε
→ ε
ε
ε
ε
ε
0
.
0
0
0
0
= 0
ev
n-1
1
s
= 10
= 10
= 10
−2
−1
0
1
s
1
s
1
s
Streckung Λ=[−] [−]
(4.8)

4 Verifikation 16
Dies bedeutet, daß der einaxiale Spannungsanteil des viskoelastischen Teilmodells
asymptotisch auf einen konstanten Wert zuläuft, welcher wie folgt berechnet werden
kann:
&
0
→
= ˆ λ
ev
=
2
3
=
2
3
2
3
1
η
1
0 3 s ( & η ) .
1
s
ev, dev
s
2 ev 3
( ) = ( )
2
3
η
2
(4.9)
Die analytisch berechneten asymptotischen viskosen Spannungswerte sind in Tabelle
4.2 angegeben.
Logarithmische Dehnrate Viskose Spannungsanteile
&
&
&
0
0
0
= 0,01
= 0,1
= 1,0
1
s
1
s
1
s
T 0,0928
ev = N/mm²
T 0,1466
ev = N/mm²
T 0,2318
ev = N/mm²
Tabelle 4.2: Asymptotische viskose Spannungsanteile
Die asymptotischen Spannungswerte der Simulation stimmen genau mit den analytisch
berechneten überein.
Zur weiteren Verifikation kann der Tangentenmodul im Nullpunkt des Spannungs-
Streckungs-Verlaufs dienen. Analytisch ergibt sich für den elastischen Spannungsanteil
aus (4.5):
∂T
∂
0, dev
N
1 µ ∑ p p 2
Λ
p=
1
0 *
0
( Λ = 1)
= µ α = µ
. (4.10)
Der Tangentenmodul des viskosen Spannungsanteils erhält man durch folgende
Überlegung:
&
v
→
( ) ˆ
2
Λ = 1 = λ(
Λ = 1)
3
ev
0
& ( Λ = 1)
= & ( Λ = 1)
ev
∂T1
∂T1
=
∂Λ
∂t
ev
∂T1
→
∂Λ
ev
∂t
ev
= 2µ
&
∂Λ
ev
( Λ = 1)
= 2µ
.
= 0
ev
1
Λ&
Der Gesamttangentenmodul ist die Summe beider Einzelmoduli und ergibt sich zu:
0
(4.11)
dev
∂T1
ev 0
( Λ = 1)
= 2µ
+ 2µ
= 5,
3N/mm².
(4.12)
∂Λ

4 Verifikation 17
In Tabelle 4.3 sind die numerisch ermittelten Moduli angegeben. Diese wurden aus dem
Anstieg im ersten Zeitschritt näherungsweise ermittelt.
1 Logarithmische Dehnrate Anfangstangentenmoduli ( Λ = 1)
0
1 ε = 0,01 s
5,3003 N/mm²
0 1 ε = 0,1 s
5,3024 N/mm²
0 1 ε = 1,0 s
5,3026 N/mm²
T dev
∂
∂Λ
Tabelle 4.2: Numerisch ermittelte Anfangstangentenmoduli im
einachsigen Zugversuch
Die genäherten numerischen Werte stimmen sehr genau mit den analytischen überein.
Die Fehler der numerischen Werte sind in der Linearisierung über den ersten Zeitschritt
begründet.
4.2 Einachsiger Druckversuch mit unterschiedlichen Dehnraten
Analog zum einachsigen Zugversuch wurde ein einachsiger Druckversuch mit
unterschiedlichen Dehnraten simuliert, dabei wurden die gleichen Materialparameter
wie im Zugversuch verwendet. Der Spannungs-Streckungs-Verlauf ist in Abbildung 4.2
dargestellt.
CAUCHY-Spannung T dev [N/mm²]
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
0
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
-3
Streckung Λ=[−] [−]
Abbildung 4.2: Einachsiger Druckversuch mit unterschiedlichen
Dehnraten
Die OGDEN-elastischen Spannungsanteile wurden anhand von Gleichung (4.5)
überprüft. Die asymptotischen Spannungsanteile des viskosen Teilmodells wurden nach
(4.9) analytisch berechnet und mit den numerisch ermittelten Werten verglichen. Diese
Werte stimmen analog zum Zugversuch genau überein.
Die Anfangstangentenmoduli der Simulationen sind in Tabelle 4.3 dargestellt.
ε
ε
ε
ε
0
0
0
0
= 0
1
s
= 10
= 10
= 10
−2
−1
0
1
s
1
s
1
s

4 Verifikation 18
∂T1
=
∂Λ
Logarithmische Dehnrate Anfangstangentenmoduli ( Λ 1)
0 & 1 = −0,01
s
5,2971 N/mm²
0 & 1 = −0,1
s
5,2973 N/mm²
0 & 1 = −1,0
s
5,2950 N/mm²
Tabelle 4.3: Numerisch ermittelte Anfangstangentenmoduli im
einachsigen Druckversuch
Die genäherten numerischen Werte stimmen mit den analytischen Lösungen ebenfalls
sehr gut überein.
Anhand der beiden einachsigen Versuche wurde das viskoelastische Verhalten durch
die elastischen Spannungsanteile, die asymptotischen viskosen Spannungsanteile und
die Anfangstangentenmoduli des Spannungs-Streckungs-Verlaufs verifiziert. Die
numerisch erzielten Ergebnisse stimmen dabei mit den analytisch ermittelten Lösungen
sehr gut überein.
4.3 Hydrostatischer Kompressionsversuch
Zum Testen der „Penalty-Funktion“ des OGDEN-elastischen Teilmodells wurde ein
hydrostatischer Kompressionsversuch simuliert. Dabei wurden die Materialparameter
aus Tabelle 4.1 verwendet. Der Deformationsgradient wurde in folgender Form
vorgegeben:
{ Λ;
Λ Λ}
F = diag ; . (4.13)
Der Spannungs-Streckungs-Verlauf der Simulation ist in Abbildung 4.3 dargestellt.
CAUCHY-Spannung T [N/mm²]
-200
-400
-600
-800
-1000
-1200
0
0,8 0,85 0,9 0,95 1
Streckung Λ [−]
Abbildung 4.3: Hydrostatischer Druckversuch
Der hydrostatische Druck kann in Abhängigkeit von der Streckung nach (2.7) wie folgt
berechnet werden:

4 Verifikation 19
T
hydro
=
1
J
0
a, vol
1 0 0 −3
0
= κ e = Λ κ 3ln(
Λ)
. (2.22)
J
Die so ermittelten analytischen Spannungswerte und die simulierten Werte stimmen
genau überein.
4.4 Einachsiger zyklischer Lastversuch
Zum Testen des Relaxationsverhaltens wurde ein zyklischer Lastversuch mit Zug-,
Druck- und Relaxationsphasen simuliert. Dabei wurde die einachsige logarithmische
Dehnrate in den einzelnen Phasen konstant belassen. Als Materialparameter wurden
die Werte der vorangegangenen Testrechnungen verwendet. Der verwendete
Zeitverlauf der einachsigen logarithmischen Dehnung ist in Abbildung 4.4 dargestellt.
logarithmische Dehnung [-]
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
-0,2
5 10 15 20 25 30 35 40
-0,4
-0,6
Zeit [s]
Abbildung 4.4: Zyklischer Versuch, zeitlicher Verlauf der Dehnung
Der aus der Simulation erhaltene Spannungs-Zeit-Verlauf der Gesamt- sowie der
OGDEN-elastischen Spannungen ist in Abbbildung 4.5 dargestellt.
CAUCHY-Spannung T dev [N/mm²]
6
5
4
3
2
1
0
viskoelastisch
0
-1
5 10 15 20 25 30 35 40
-2
elastisch
Zeit [s]
Abbildung 4.5: Zyklischer Versuch, zeitlicher Verlauf der Spannung
Die asymptotischen Spannungsanteile sowie der Anfangstangentenmodul wurden
analog zu den anderen einachsigen Versuchen überprüft. Die Übereinstimmungen
dabei sind ebenfalls sehr hoch. Zur Überprüfung des Zeitverhaltens während der

4 Verifikation 20
Relaxation wurden für mehrere Zeitschritte zu Beginn der ersten Relaxationsphase die
Raten der elastischen logarithmischen Dehnungen jeweils aus den Beziehungen (4.6)
und (4.9) und aus dem inkrementellen Spannungsanstieg berechnet und in Tabelle 4.4
gegenübergestellt.
Zeit tn
0 & n
7,9 s
1 0,1 s
8,0 s
1 0,0 s
8,1 s
1 0,0 s
8,2 s
1 0,0 s
8,3 s
1 0,0 s
1
η
ev
( ) n s
ev
ev 3
& 2
n = 3 n 2
0,14667 N/mm²
& = &
ev
n
0
n
- &
v
n
&
ev
n
≈
−
2 W
ev
ev ev
n n−1
µ
0,13250 N/mm²
1 0,06001 s
1 -0,06001 s
1 -0,06004 s
0,12283 N/mm²
1 0,04099 s
1 -0,04099 s
1 -0,04097 s
0,11567 N/mm²
1 0,03030 s
1 -0,03030 s
1 -0,03034 s
0,11010 N/mm²
1 0,02364 s
1 -0,02364 s
1 -0,02360 s
Tabelle 4.4: Relaxationsverhalten
Diese Gegenüberstellung bestätigt die simulierten Werte, das viskose Verhalten ist
somit verifiziert.
4.5 Zweidimensionaler Scherversuch
Zur Kontrolle der Eigenwertbestimmung sowie der Scherspannungen wurde ein
zweidimensionaler Scherversuch simuliert. In Abbildung 4.6 ist die zugrundegelegte
Deformation dargestellt.
y
γ
Abbildung 4.6: Zweidimensionale Scherverformung
γ
Der zweidimesionale Deformationsgradient ergibt sich in Abhängigkeit des Scherwinkels
γ zu:
⎡cosγ
sinγ
⎤
F = ⎢ ⎥ . (4.14)
⎣sinγ
cosγ
⎦
Unter der Annahme isochorer Deformation ergibt sich der Deformationsgradient für den
dreidimensionalen Fall zu:
x

4 Verifikation 21
cosγ
sinγ
0
F =
sinγ
cosγ
0 . (4.15)
2 2 −1
0 0 ( cos γ − sin γ )
Die Hauptstreckungen ergeben sich daraus zu:
λ =
1
λ =
2
λ =
3
1+
2sinγ
cosγ
,
1−
2sinγ
cosγ
,
2 2 −1
( cos γ − sin γ ) .
(4.16)
Der Winkel zwischen den Hauptrichtungen und den globalen Koordinatenachsen
beträgt, unabhängig vom Scherwinkel, 45°.
Um die Eigenwertzerlegung zu testen, wurde der Deformationsgradient nach (4.15) und
formuliert in den Haupstreckungen für verschiedene Scherwinkel vorgegeben. Die
berechneten Hauptspannungen beider Varianten stimmen genau überein. Der
berechnete Hauptachsenwinkel ist in allen Zeitschritten konstant bei 45°. Die Eigenwertzerlegung
erfolgt demnach in korrekter Weise. Es wurden dabei die
Materialparameter von Kapitel 4.1 verwendet. Die Rate des Scherwinkels wurde
rad
konstant mit γ = 0,
05 angesetzt.
s
Eine anlaytische Überprüfung des viskosen Verhaltens ist direkt nicht möglich, jedoch
können zwei Grenzfälle überprüft werden: einerseits der rein elastische Fall, bei dem
der viskose Verzerrungsanteil des viskoelastischen Teilmodells gleich den Gesamtverzerrungen
ist und die Spannungsanteile des viskoelastischen Teilmodells gleich null
sind. Dieser Grenzfall tritt ein, wenn η gegen null geht. Der andere Grenzfall ist η → ∞ .
In diesem Fall sind die viskosen Dehnungsanteile gleich null, die elastischen Anteile
des viskoelastischen Teilmodell gleich den Gesamtverzerrungen. Zur Überprüfung
wurde der Viskositätsparameter η jeweils an die beiden Grenzen angenähert und die
Spannungen mit den analytischen Werten verglichen. Die simulierten Spannungen
näherten sich in Abhängigkeit von η den analytischen Werten an. In Abbildung 4.7 sind
die größten Hauptspannungen beider Grenzfälle sowie für einige weitere
Viskositätsparameter dargestellt.
1.CAUCHY-Hauptspannung [N/mm²]
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
η → ∞
1
η = 10
η =
η =
η
→ 0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Scherwinkel γ [rad]
Abbildung 4.7: Maximale Hauptspannung in Abhängigkeit des Scherwinkels
für verschiedene Viskositätsparameter η
1
10 −
4
10 −

4 Verifikation 22
Eine weitere Verifikationsmöglichkeit für diesen Versuch ist die Überprüfung der
Schubspannung Txy. Für kleine Verzerrungen können die Schubspannungen im
elastischen Fall direkt aus dem Scherwinkel γ und dem Schubmodul G berechnet
werden:
Txy = 2Gγ
. (4.17)
Im vorliegenden Materialmodell ergibt sich der Gesamtschubmodul aus den beiden
Moduli der Teilmodelle für die angenommenen Materialparameter zu:
0 ev
G = µ + µ = 2,
65 N/mm². (4.18)
Zur Überprüfung des Verhaltens der Schubspannung wurden Simulationen mit
verschiedenen Dehnraten durchgeführt. In 4.8 sind der Schubspannungs- Scherwinkel-
Verlauf für diese Simulationen und die nach (4.17) berechneten Schubspannungswerte
dargestellt.
Schubspannung T xy [N/mm²]
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Scherwinkel γ [rad]
Abbildung 4.7: Maximale Hauptspannung in Abhängigkeit des Scherwinkels
für verschiedene Viskositätsparameter η
Aus der Abbildung ist ersichtlich, daß die Schubspannungen für kleine Verzerrungen
genau übereinstimmen. Die zunehmenden Abweichungen mit steigendem Scherwinkel
sind durch die viskosen Verzerrungsanteile begründet, die mit steigender Dehnrate
abhängig vom Scherwinkel zunehmen.
4.6 Zugverformung einer Scheibe mit Loch
Zum Testen des Materialmodells für einen mehrachsigen, inhomogenen
Verformungszustand wurde die Zugverformung einer Scheibe mit Loch analog zu [1]
simuliert. Es wurden dabei die in Tabelle 4.5 aufgeführten Parameter nach [1]
verwendet. Bei dem in [1] verwendeten Viskositätsansatz wird der Viskositätsparameter
η nicht als konstant angenommen, sondern durch eine Funktion weiterer
Materialparameter und der Verzerrungen formuliert. Für den benötigten Wert des
Parameters η wurde einfachheithalber der in [1] ermittelte Parameterwert
angenommen. Der Kompressionsmodul wurde analog zu Kapitel 4.1 angesetzt.
η0
γ =
γ =
γ
=
1
10 −
2
10 −
3
10 −

4 Verifikation 23
Elastisches Teilmodell: Anzahl OGDEN-Glieder N = 2
µ = 9924
µ
*
1
*
2
=
0,
0000868
Kompressionsmodul
Schubmodul
Viskoelastisches Teilmodell: Schubmodul
α =
1
2
0,
0002014
α = 14,
0
0
κ = 1000 N/mm²
0
µ = 3,16 N/mm²
ev
µ = 2,28 N/mm²
Viskositätsparameter η = 0,0129 und s = 4,06
Tabelle 4.5: Verwendete Materialparameter beim Zugversuch einer
Scheibe mit Loch
Die Geometrie des modellierten Systems ist in Abbildung 4.8 dargestellt.
F
ur
2 mm
60 mm
3 mm
Abbildung 4.8: Geometrie der simulierten Scheibe mit Loch
Die Randverschiebung wurde mit einer Rate von u& r = 0,
167 mm/s bis zu einer
Maximalverschiebung von u r = 12,
5 mm auf alle Randknoten gleichmäßig aufgegeben.
Die Gesamtdauer des Prozesses beträgt demzufolge 75 s. Die maximale
Zeitschrittweite des verwendeten expliziten FE-Codes ist durch die
Wellenausbreitungsgeschwindigkeit bestimmt, welche von den Materialsteifigkeiten und
von der Dichte abhängt. Um eine vertretbare Rechendauer zu ermöglichen, wird die
Materialdichte auf 1,22·10 6 g/cm³ hochskaliert. Die maximale Zeitschrittweite beträgt
dann etwa 10 -4 s. Die hochskalierte Materialdichte wirkt sich auf die Trägheitskräfte des
Materials aus. Um diese möglichst gering zu halten, wird die
Randverschiebungsgeschwindigkeit nicht schlagartig aufgebracht, sondern über einen
Zeitraum von einer Sekunde linear von null bis auf die stationäre Geschwindigkeit von
0,167 mm/s hochgefahren. Entsprechend verlängert sich die Prozessdauer auf 75,5 s.
Zur Simulation wurde ein Viertel der Scheibe im ebenen Deformationszustand mit 288
Knoten und 248 Viereckselementen modelliert. Das verwendete Netz ist in Abbildung
4.9 dargestellt. Dabei sind die Knoten am unteren Rand in y-Richtung unverschieblich
gehalten und die Knoten am rechten Rand in x-Richtung unverschieblich gehalten.
ur
12 mm
F

4 Verifikation 24
x
y
Abbildung 4.9: Modelliertes FE-Netz im ebenen Deformationszustand
Die sich aus der Berechnung ergebenden Energieverläufe der gesamten inneren
Energie, der volumetrischen Energie, der Dämpfungsenergie sowie des
Zeitintegrationsfehlers sind in Abhängigkeit von der Zeit in Abbildung 4.10 aufgetragen.
Energie [Nmm]
300
250
200
150
100
50
0
0 20 40
Zeit [s]
60 80
Innere Energie
Volumetrische Energie
Zeitintegrationsfehler
Dämpfungsenergie
Abbildung 4.10: Zeitlicher Verlauf der inneren, volumetrischen und
Dämpfungsenergie sowie des Zeitintegrationsfehlers
Der maximale Zeitintegrationfehler beträgt 2,81·10 -6 Nmm. Der Maximalwert der
volumetrischen Energie liegt mit 0,87 Nmm weit unter dem Maximalwert der inneren
Gesamtenergie von 258,15 Nmm. Das Material verhält sich also annähernd
inkompressibel. Die auftretende viskose Dämpfung ist für diese relativ geringe Dehnrate
ebenfalls gering, aber nicht vernachlässigbar klein. Der Zeitintegrationsfehler befindet
sich in einem durchaus akzeptablen Bereich. Eine Erhöhung des Kompressionsmoduls
würde auch eine Erhöhung des Zeitintegrationsfehlers nach sich ziehen. Bei der
Verwendung eines expliziten FE-Codes ist es also notwendig eine sinnvolle Größe des
Kompressionsmoduls zu verwenden und diese am Zeitintegrationsfehler zu prüfen.
Die räumliche Verteilung der relativen Volumenänderung zum Zeitpunkt der maximalen
Deformation nach 75,5 s ist für den Lochbereich in Abbildung 4.11 dargestellt.

4 Verifikation 25
Abbildung 4.11: Relative Volumenänderung nach 75,5 s
Die maximale Volumenänderung beträgt 0,9 %. Das bedeutet, daß das gewünschte
inkompressible Verhalten mit guter Näherung abgebildet wird.
Bei der Modellierung nahezu inkompressiblen Verhaltens kann bei ebenen
Viereckselementen volumetrisches Locking auftreten. Ist dies der Fall, so würde bei
kleinsten volumetrischen Dehnungen die volumetrische Energie sehr große Werte
annehmen. Die berechnete volumetrische Energie ist im Vergleich zur Gesamtenergie
vernachlässigbar klein; Lockingeffekte sind demnach nicht zu beobachten. Eine weitere
Möglichkeit, dies zu überprüfen, ist ein Vektorplot der Hauptspannungen. Im Falle von
Locking würde dieser Verlauf über den Querschnitt sehr unregelmäßig sein und sich die
Vorzeichen sprunghaft ändern. In Abbildung 4.12 ist dieser Vektorplot für den Zeitpunkt
der maximalen Deformation in einem regelmäßigen Netz und in Abbildung 4.13 in
einem unregelmäßigen Netz dargestellt.
Abbildung 4.12: Vektorplot der Hauptspannungsrichtung nach 75,5 s in
einem regelmäßigen Netz

4 Verifikation 26
Abbildung 4.13: Vektorplot der Hauptspannungsrichtung nach 75,5 s in
einem unregelmäßigen Netz
Wie in den Abbildungen ersichtlich, sind die Hauptspannungsrichtungen sehr
regelmäßig ausgerichtet. Es treten demnach keine Lockingeffekte auf. Dies ist dadurch
begründet, daß die verwendeten Viereckselemente selektiv integriert werden. Das
heißt, daß vier Integrationspunkte die deviatorischen und ein Integrationspunkt die
volumetrischen Verzerrungen beschreiben. Die berechnete volumetrische Verzerrung
ist somit konstant über das jeweilige Element verteilt. Diese Elemente sind also zur
Modellierung nahezu inkompressiblen Verhaltens geeignet.
Um die erzielten Simulationsergebnisse mit [1] zu vergleichen, wurden die ermittelten
Axialkräfte über der Gesamtverschiebung aufgetragen und den experimentellen und
simulierten Daten aus [1] gegenübergestellt. In Abbildung 4.14 ist dieser Kräfteverlauf
dargestellt.
Axialkraft F [N]
80
70
60
50
40
Aktuelle Simulation
30
Experiment
20
10
0
Simulation KECK
0 5 10 15 20 25 30
Verschiebung 2u r [mm]
Abbildung 4.14: Kraft- Verschiebungsverläufe der aktuellen Simulation,
der Simulation nach KECK und des Experiments
Ersichtlich ist, daß die Kräfte größenordnungsmäßig übereinstimmen, jedoch die
erzielten Ergebnisse sich sichtbar stärker von den Expermentergebnissen
unterscheiden als die Simulationsdaten aus [1]. Dies ist möglicherweise durch die
höheren Trägheitskräfte infolge der hohen Dichteannahme begründet. Die Größe der
Massenkräfte kann man durch folgende Annahmen abschätzen:

4 Verifikation 27
F
F
F
a
a
a
m &u
& r
≈ ,
2 2
1,22 −6
kg
3 0,167 −3
m
−8
≈ ⋅10
⋅12
⋅ 2 ⋅ 60mm
⋅10
= 7,
3310 N ,
3
2
2 mm
2 ⋅1
s
1,22 kg
3 0,167 −3
m
−2
≈ ⋅12
⋅ 2 ⋅ 60mm
⋅10
= 7,
3310 N .
3
2
2 mm
2 ⋅1
s
(4.19)
Die abgeschätzten Trägheitskräfte unter Verwendung der hochskalierten Dichte sind
vernachlässigbar klein.
Eine weitere Ursache für die Abweichungen könnte auf die unterschiedlichen
Viskositätsansätze zurückzuführen sein. Eine elastische Vergleichrechnung ergab
annähernd den gleichen Kraftverlauf. Der Einfluß viskoser Kräfte ist also ebenfalls
gering.
Der entscheidende Unterschied beider Modelle ist der berücksichtigte
Schädigungseinfluß in [1]. Die Materialparameter wurden dort auch unter dem Einfluß
der Schädigung ermittelt. Für Verschiebungen bis zu 2u r = 5 mm stimmen beide
Simulationen, sowie die experimentellen Daten gut überein. Der Schädigungseinfluß ist
demnach in diesem Bereich relativ gering. Mit steigender Deformation nimmt dieser
Einfluß zu und die Ergebnisse weichen stärker voneinander ab.

5 Identifikation der Materialparameter 28
5 Identifikation der Materialparameter
Die benötigten Materialparameter können in Anlehnung an [1] aus einachsigen
Versuchen mit verschiedenen Dehnraten bestimmt werden. Dabei werden in
regelmäßigen Abständen Haltezeiten eingelegt, um die viskosen und elastischen
Spannungsanteile zu ermitteln. In Abbildung 5.1 ist der prinzipielle Spannungs-
Streckungs-Verlauf eines Versuches dargestellt.
Abbildung 5.1: Prinzipieller Spannungs-Streckungs-Verlauf während
eines einachsigen Versuches mit Haltezeiten
5.1 Ermittlung der OGDEN-elastischen Parameter
Die Endpunkte der Haltezeiten dienen zur Parameterermittlung des OGDENelastischen
Teilmodells. Zum Formulieren der Spannungs- Streckungsbeziehung des
Modells muß dabei das in 4.1 erläuterte Randwertproblem beachtet werden. Für den
einaxialen elastischen Spannungsanteil ergibt sich die folgende
Streckungsabhängigkeit:
T
0
1
CAUCHY-Spannung T
= T
0, vol
1
+ T
0, dev
1
viskoelastisch
=
elastisch
3
2
T
0, dev
1
Streckung Λ
N
α p ⎛
− ⎞ N
α p ⎛
− ⎞
0 * α
∑ ⎜ p 2
α
⎟ = ∑ ⎜ p 2
= µ µ Λ − Λ
Λ − Λ ⎟
p
µ p
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(5.1)
p=
1 ⎝ ⎠ p=
1 ⎝ ⎠
Die Parameteranpassung erfolgt nach [1] der Einfachheit halber abschnittsweise. Das
erste Glied des OGDEN-Ansatzes dominiert im Bereich um Λ=1. Zuerst werden die
Parameter des ersten Gliedes für diesen Bereich ermittelt; in einem weiteren Schritt
werden diese Parameter festgehalten und die Parameter des nächsten Gliedes für
einen größeren Abschnitt ermittelt. Dies geschieht analog für alle Glieder des OGDEN-
Ansatzes. Dabei sind zwei bzw. maximal drei Glieder in der Praxis ausreichend. Die
Ermittlung der Parameter aus einer bestimmten Anzahl von Wertepaaren der
Spannungs-Streckungskurve stellt ein Optimierungsproblem dar und kann
beispielsweise invers gelöst werden. Die Parameter *
p
Nebenbedingung (2.9) wie folgt ermittelt werden:
µ und 0
µ können aus der

5 Identifikation der Materialparameter 29
N
0
* µ
1
p
µ µ pα
p;
µ p = .
2
0
µ
= ∑
p=
1
5.2 Ermittlung der viskosen Parameter
(5.2)
Die viskosen Parameter können aus den viskosen Spannungsanteilen für verschiedene
Dehnraten bestimmt werden. Dies ist möglich für Versuche mit konstanter
logarithmischer Dehnrate: die viskosen Spannungsanteile nähern sich dann, wie in 4.1
erläutert, folgenden Wert an:
ev
1
3
2
ev, dev
1
3
2
( ) s
1
0 3 &
T = T = η . (5.3)
2
Für mehrere Wertepaare ev
T 1 und 0 & können die Parameter s und η analog zu den
OGDEN-elastischen Parametern durch Optimierung abgeleitet werden.
ev
Der Schubmodul des viskoelastischen Teilmodells µ ergibt sich aus der Differenz des
Gesamtschubmoduls und des zuvor ermittelten Schubmoduls des OGDEN-elastischen
Teilmodells. Der Gesamtschubmodul kann aus dem Anfangstangentenmodul des
Spannungs-Streckungs-Verlaufs berechnet werden, welcher dem Elastizitätsmodul E
äquivalent ist. Für annähernd inkompressible Materialien erhält man:
ev
0
0
0
µ = G − µ = − µ ≈ − µ . (5.4)
2
E
( 1+
ν )
E
3
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung des Schubmoduls des viskoelastischen
Teilmodells besteht in seiner Ermittlung aus dem Relaxationsverhalten. Dies kann
ebenfalls durch inverse Optimierung erfolgen.
Zur Ermittlung bzw. Verifikation des Gesamtschubmoduls kann zusätzlich der
zweidimensionale Scherversuch durchgeführt werden. Dabei wird eine Schubkraft als
gleichverteilte Flächenlast eingeleitet und der gemessene Scherwinkel in Abhängigkeit
von der Schubspannung aufgetragen. Führt man den Versuch für verschiedene
Scherraten durch, so muß der Anfangsanstieg annähernd konstant bleiben (vgl. Kapitel
4.5). Abbildung 5.2 zeigt die prinzipielle, stark vereinfachte Versuchsanordnung.
ϕ
Abbildung 5.2: Prinzipielle Scherversuchsanordnung
F

5 Identifikation der Materialparameter 30
Der Schubmodul ist dann äquivalent zum Anfangsanstieg des Schubspannungs-
Scherwinkel-Verlaufs:
0 ev ∂Txy
= µ + µ = ϕ
( = 0)
G . (5.5)
∂ϕ
Um den OGDEN-elastischen Anteil des Schubmoduls zu bestimmen, können
regelmäßige Haltezeiten einlegt werden, in denen das Material nahezu vollständig
relaxiert. Trägt man die relaxierten Schubspannungswerte über die Scherwinkel auf,
0
kann man aus dem Anfangsanstieg den elastischen Schubmodul µ bestimmen bzw.
verifizieren. Den Schubmodul des viskoelastischen Teilmodells kann man aus der
Differenz beider ermittelten Module ableiten.
Ein alternativer Versuch zur Bestimmung des Schubmoduls ist der Torsionsversuch, bei
dem die Verdrehung in Abhängigkeit eines aufgebrachten Torsionsmomentes
gemessen wird. Unter Zuhilfenahme der Daten der Querschnittsgeometrie und der
Probenlänge kann der Schubspannungs-Gleitungs-Verlauf und daraus der Schubmodul
bestimmt werden. Analog zum Scherversuch ist es sinnvoll, dabei den Gesamtschubmodul
und den OGDEN-elastischen Anteil aus dem Versuchsdaten zu ermitteln
und dann den Schubmodul des viskoelastischen Teilmodells aus beiden abzuleiten.
5.3 Verifikationsexperiment
Zu Verifikation der ermittelten Parameter kann folgender einfacher Versuch
durchgeführt werden: ein kugelförmiger Gummikörper trifft im freien Fall auf eine glatte
horizontale Oberfläche auf. Die sich ergebende Rückspringhöhe wird gemessen und
dieser Versuch mit den zuvor ermittelten Materialparameter simuliert und die simulierte
und gemessene Rückspringhöhe verglichen. Die Materialparameter können wenn
notwendig durch mehrere Simulationen angepaßt werden.
5.4 Ermittlung der viskosen Parameter aus den Verlust- und
Speichermoduli
Für ein Gummimaterial der Shorehärte 90 A sind beim „Freudenberg Forschungsdienst“
temperaturabhängige Kurven für den Speicher- und Verlustmodul erhältlich. In
Abbildung 5.3 sind diese Kurven dargestellt. Die Moduli sind in Abhängigkeit einer
Erregerfrequenz aufgetragen. Diese Kurven wurden für einen stationären
Schwingungszustand unter der Annahme von linear elastischen und linear viskosen
Verhaltens bestimmt.

5 Identifikation der Materialparameter 31
Abbildung 5.3: Kurven zur Bestimmung des Speicher- und Verlustmoduls
in Abhängigkeit der Erregerfrequenz

5 Identifikation der Materialparameter 32
Aus diesen Moduli ist die Bestimmung der viskosen Parameter für den linearen Ansatz
möglich. Dies ist möglich mit der folgenden Herleitung in Anlehnung an [5].
ev v
Abbildung 5.4: Zugrundegelegtes rheologisches Modell für den
viskoelastischen Teil
Unter der Annahme des einachsigen Spannungszustandes ergeben sich unter
Voraussetzung des in Abbildung 5.4 dargestellten rheologischen Modells für das
viskoelastische Teilmodell die folgenden Verzerrungsbeziehungen:
ev
v
=
=
=
ev
0
v
0
0
e
e
e
j
j
j
ev
+ ϕ
v
+ ϕ
.
;
;
(5.6)
Die Spannung in der Feder und im Dämpfer ist gleich groß und läßt sich nach (2.13)
und (4.6) wie folgt beschreiben:
ev 3 ev, dev ev ev 3 v
= = µ = η . 2
2
(5.7)
3 &
Nach [5] läßt sich die Spannung durch einen komplexen Modul G * ausdrücken, welcher
sich aus dem Speichermodul G′ und dem Verlustmodul G ′ berechnen läßt:
G
ev
*
*
= 3G
. (5.8)
= G′
+ jG′
′
Die viskosen Parameter lassen sich dann wie folgt ableiten:
ev
→
τ ev
= 3µ
=
ev
ev
+
ev
=
v
3
2
=
jωη
ev
v
⎛ 1
⎜
⎝ 3µ
= 3G
⎛ 1
→ ( G′
+ jG
′′ ) ⎜ ev
⎝ µ
2 j ⎞
− ⎟ = 1
ωη ⎠
G′
2G′
′ 2 jG′
jG′
′
→ + − + = 1
ev
ev
µ ωη ωη µ
G′
2G′
′
→ + = 1;
ev
µ ωη
G′
′ 2G′
− = 0
ev
µ ωη
2
2 ⎛ G′
⎞
→η
= ⎜ + G ′′ ;
G ⎟ µ
ω ⎝ ′′ ⎠
ev
ev
+
*
3
2
1 ⎞
⎟ = 3
jωη
⎟
⎠
2
G ′′
= G′
+ .
G′
( G′
+ jG′
′ )
τ ev
⎛ 1
⎜
⎝ 3µ
ev
+
3
2
1 ⎞
⎟
jωη
⎟
⎠
(5.9)

5 Identifikation der Materialparameter 33
Zur Bestimmung der Parameter unter der Voraussetzung des in Abbildung 5.5
dargestellten rheologischen Modells müssen die Beziehungen aus (5.9) modifiziert
werden.
ev v
τ τ
Abbildung 5.5: Zugrundegelegtes rheologisches Modell für das
Gesamtmodell
Die Spannungsbeziehungen ergeben sich dann wie folgt:
=
→
0
ev
→ G
→ G′
+
= 3
* ev
ev
ev
0
= 3µ
* 0 ( G − µ )
ev
+
ev
* 0
= = G − µ =
3
0
= G′
− µ .
= 3G
*
0
0 ( G′
− µ )
+
jG
′′
(5.10)
Da dieser Ansatz von linearen Verhalten ausgeht, ist es notwendig den Schubmodul
des OGDEN-elastischen Teilmodells zu linearisieren. Dies ist möglich durch das
Einbeschreiben eines Sekantenmoduls in den betrachteten Spannungsbereich.
Für die viskosen Parameter ergibt sich für das Gesamtmodell:
ev
2 ⎛
η ⎜ G′
=
ω ⎜ ′
⎝
G
µ
ev
G′
ev
2
⎞
+ G′
′ ⎟;
⎟
⎠
ev
ev G ′′
= G′
+
G′
0
= G′
− µ .
lin
2
;
(5.11)
Unbedingt zu beachten ist, daß die Parameter auf diese Art für einen stationären
Schwingungszustand mit der Anregungsfrequenz ω ermittelt werden. Für Stoßvorgänge
müßte man sich aus dem Verschiebungs-Zeit-Verlauf eine äquivalente Frequenz
ableiten.

6 Anwendung 34
6 Anwendung
Als Anwendungsbeispiel wurde der Aufprallvorgang eines Kolbens auf einen
Gummipuffer simuliert. Der Zylinder und der Teller des Kolbens bestehen aus
Aluminium, der Kern des Kolbens aus Stahl.
Die Berechnung wurde rotationssymmetrisch durchgeführt. Die Anfangsenergie des
Kobens beträgt 85 Nm, Gesamtmasse des Kolbens 105,8 g und dessen
Anfangsgeschwindigkeit 40 m/s. Für die Reibung zwischen Stahl und Gummi, sowie
zwischen Aluminium und Gummi wurde ein Reibungskoeffizient von 0,7 angenommen.
Für die Materialien Stahl und Aluminium wurden die üblichen Materialdaten verwendet.
Die Materialdaten für Gummi wurden aus den vom Hersteller erhältlichen Datenblättern
entnommen bzw. abgeleitet. Es handelt sich dabei um ein Gummi mit der Shorehärte
90 A. Die Dichte beträgt 1,22 g/cm³. Die Parameter des OGDEN-elastischen Teilmodells
wurden aus der quasistatischen einachsigen Spannungs-Dehnungs-Kurve ermittelt. Die
Vorgehensweise dazu ist in Kapitel 5.1 näher erläutert. In Abbildung 6.2 ist die
experimentelle Ausgangskurve sowie die Spannungs-Dehnungs-Kurve mit den
ermittelten OGDEN-Parametern dargestellt. Es wurde ein Dehnungsbereich bis zu einer
Streckung von Λ=2 angepaßt. Dazu wurden zwei OGDEN-Parameterpaare verwendet.
1.PIOLA-KIRCHHOFF-Spannung [N/mm²]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Experiment
OGDEN-Kurve
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Streckung Λ [-]
Abbildung 6.1: Einachsige Spannungs-Dehnungs-Kurve, Experiment
und Annäherung mit OGDEN-Ansatz
Die ermittelten OGDEN-Parameter sind in der Übersicht über die Materialparameter in
Tabelle 6.1 aufgeführt. Der OGDEN-Kompressionsmodul wurde mit 10000 N/mm 2
angesetzt.
Um die viskosen Parameter zu ermitteln wurde auf Datenblätter des Herstellers
zurückgegriffen. Dabei können für einen linearen Viskositätsansatz (s=1) die Parameter
ev
η und µ aus den Verlust- und Gleitmoduli bestimmt werden. Dieses Methode ist in
Kapitel 5.4 näher erläutert. Nötig ist es dabei eine äquivalente Belastungsfrequenz zu
bestimmen. Der Aufprallvorgang erfolgt in zwei Phasen. Die erste Phase ist die
Zusammendrückphase und die zweite Phase die Rückprallphase. Geht man davon aus,

6 Anwendung 35
daß der Verschiebungs-Zeit-Verlauf des Kolbens in der Zusammendrückphase eine
viertel Sinusschwingung ist, so kann man sich aus der Simulation mit den OGDENelastischen
Materialparametern die Belastungsfrequenz ableiten. In Abbildung 6.2 ist
dieser Verschiebungs-Zeit-Verlauf sowie die angenommene Sinusschwingung
aufgetragen.
Abbildung 6.2: Verschiebungs-Zeit-Verlauf aus rein elastischer
Simulation und einbeschriebene Sinusschwingung
Als Belastungsfrequenz ergibt sich daraus:
f
Bel
=
−4
−1
1
( 4 ⋅3,
2 ⋅10
) = 781,
3 s
. (4.20)
Zur Berechnung der Parameter ist ein linearisierter Elastizitätsmodul für die OGDEN-
Elastizität für den untersuchten Dehnungsbereich notwendig. Dieser Modul wurde als
Sekantenmodul für den Spannungs-Dehnungs-Verlauf für logarithmische Dehnungen
bis 0,4 mit 20 N/mm 2 bestimmt. Der linearisierte Schubmodul ergibt sich dann zu
µ = 6,67 N/mm².
0
lin
Verschiebung [mm]
Für die Viskositätsparameter ergibt sich aus den Materialkurven in Kapitel 5.4:
G ′ = 18,
0 N/mm 2 und ′
= 11,
5
ev
Å = 23,
0
G N/mm 2
2
µ N/mm und = 0,
0092
η .
(4.21)
Simuliert man nun den Aufprallvorgang mit den viskosen Parametern, so ändert sich die
Zeitdauer der Zusammendrückphase. Die korregierte Belastungsfrequenz ist dann:
f
Bel
=
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
−4
−1
1
( 4 ⋅ 2,
2 ⋅10
) = 1136,
4 s
Die Viskositätsparameter ergeben sich zu:
G ′ = 20,
0 N/mm 2 und ′′ = 14,
0
ev
Å = 28,
03
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Zeit [ms]
. (4.22)
G N/mm 2
2
µ N/mm und = 0,
0075
η .
Axiale
Kolbenverschiebung
Genäherte
Sinusschwingung
(4.23)
Eine erneute Simulation mit den korrigierten Parametern ergab die gleiche
Belastungsfrequenz; ein Iterationsschritt ist somit ausreichend.

6 Anwendung 36
Alle ermittelten Parameter sind in Tabelle 6.1 zusammenfassend aufgeführt.
Stahl: Dichte:
Querdehnzahl:
Elastizitätsmodul:
Aluminium: Dichte:
Querdehnzahl:
Elastizitätsmodul:
ρ = 7,8 g/cm 3
ν = 0,3
E= 210000 N/mm 2
ρ = 2,7 g/cm 3
ν = 0,3
E= 70000 kN/mm 2
Gummi: Dichte: ρ = 1,22 g/cm 3
OGDEN-elastisches Teilmodells:
Kompressionsmodul:
0
κ = 10000 N/mm²
Schubmodul:
0
µ = 6,598 N/mm²
OGDEN-Parameter-Paare:
*
µ = 19,
704 α = 0,
1
1
µ =
*
2
0,
00318
1
α =
2
9,
3
Viskoelastisches Teilmodell:
Schubmodul:
Viskositätsparameter:
ev
µ = 28,03 N/mm²
η = 0,0075 (linearer Viskositätsansatz)
Tabelle 6.1, Teil II: Verwendete Materialparameter bei der Simulation des
Aufprallvorgangs eines Kolbens auf einen Gummipuffer
Die Zeitdauer der Simulation betrug 10 -3 s und die verwendete Zeitschrittweite 10 -10 s.
Dabei ergaben sich die in Abbildung 6.3 dargestellten Energie-Zeit-Verläufe. Dabei sind
die kinetische Energie des Kolbens, die innere, volumetrische und Dämpfungsenergie
des Puffers, sowie der Zeitintegrationsfehler des Gesamtsystems aufgetragen.
Energie [Nm]
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Zeit [ms]
Kinetische Energie
Kolben
Innere Energie Puffer
Volumetrische Energie
Puffer
Dämpfungsenergie
Puffer
Totaler Zeitintegrationsfehler
Abbildung 6.3: Verschiebungs-Zeit-Verlauf aus rein elastischer
Simulation und einbeschriebene Sinusschwingung

6 Anwendung 37
Der maximale Zeitintegrationfehler liegt bei 3,44 Nm, was etwa 4% der Gesamtenergie
des System entspricht. Die maximale volumetrische Energie des Puffers hat die Größe
von 0,8 Nm, die maximale Volumenänderung beträgt 0,5%, das Deformationsverhalten
des Gummimaterials ist demnach annähernd inkompressible.
Die kinetische Energie des Kolbens beträgt nach dem Aufprallvorgang 26,3% der
Ausgangsenergie. Dies stimmt gut überein mit der vom Hersteller angegebenen
Rückprallelastizität von 24% überein. Der aus dem im Experiment gemessenen
Geschwindigkeiten abgeleitete Wert beträgt 18,4%. Die experimentellen
Geschwindigkeiten wurden aus einer Videoanalyse ermittelt, gewisse Abweichungen
sind dabei möglich, man kann somit von einer guten Übereinstimmung der
Energiewerte sprechen.
Der berechnete Einfederweg des Kolbens beträgt 4,8 mm. Im Experiment wurden 5,2
mm gemessen. Die Ergebnisse aus der Simulation werden durch die experimentellen
Ergebnisse bestätigt. Die Verwendung der aus den Materialkurven berechneten
Parametern liefert demnach gute Ergebnisse. Eine weitere Anpassung der Parameter
an Versuchsergebnisse ist möglich, aber nicht unbedingt notwendig.
Die maximale logarithmische Verzerrung beträgt 0,3 was äquivalent mit einer Streckung
von 1,3 ist. Die auftretenden Dehnungen liegen demnach innerhalb des Bereiches, für
den die elastischen Parameter angepaßt wurden. Die maximal auftretende Dehnrate
liegt bei 0,3 1/s.
Ausgehend von dem experimentell ermittelten Einfederweg und der im Kolben
verbleibenden kinetischen Energie wurden die Parameter des Potenansatzes mittels
einer Sensitivitätsanalyse angepaßt. In Tabelle 6.2 sind die verwendeten Parameter,
sowie die zugehörigen berechneten Werte aufgelistet.
ev
µ
[N/mm 2 ]
η
[-]
s
[-]
Einfederweg
[mm]
Verbleibende kinetische
Energie im Kolben [Nm]
10 0,052 4,06 6,49 25,2
100 0,052 4,06 6,09 9,9
10 0,52 4,06 6,04 34,9
100 0,52 4,06 5,25 4,5
10 0,052 2,03 5,89 43,3
100 0,052 2,03 4,50 4,0
10 0,52 2,03 5,82 62,0
100 0,52 2,03 3,30 21,2
50 0,052 2,03 4,76 8,2
20 0,052 2,03 5,34 24,0
25 0,052 2,03 5,17 18,4 (21,6%)
Tabelle 6.2: Anpassung der Parameter des Potenzansatzes mittels
Sensitivitätsanalyse
Um diese Parameter für andere Dehnraten zu bestätigen, wäre es sinnvoll mehrere
Versuche mit verschiedenen Aufprallgeschwindigkeiten durchzuführen und die
Parameter mittels Simulation zu kontrollieren und gegebenenfalls noch anzupassen.

6 Anwendung 38
Der Vorteil des Potenzansatzes gegenüber dem Linearansatz ist die Gültigkeit der
ermittelten viskosen Parameter für einen größeren Dehnratenbereich. Die linearen
Parameter müßten für eine Simulation mit einer anderen Kolbengeschwindigkeit erneut
angepaßt werden. Diese Anpassung ist mit Hilfe der Materialkurven jedoch relativ
einfach und zeitunaufwändig. Die Ermittlung der Parameter des Potenansatzes ist mit
erheblich höheren Aufwand verbunden und erfordert umfassende Versuchsergebnisse.

7 Literaturverzeichnis 39
7 Literaturverzeichnis
[1] Keck, J.: Zur Beschreibung finiter Deformationen von Polymeren: Experimente,
Modellbildung, Parameteridentifikation und Finite-Elemente-Formulierung
Dissertation, Institut für Mechanik (Bauwesen) der
Universität Stuttgart, 1998
[2] Miehe, C.: A Constitutive Frame of Elastoplasticity at Large Strains Based on the
Notion of a Plastic Metric
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