Ein viskoelastisches Stoffmodell zur Simulation gummiartiger ...

3 Algorithmus 9
3 Algorithmus
3.1 OGDEN-elastisches Teilmodell
Im OGDEN-elastischen Teilmodell können die KIRCHHOFF-Spannungen direkt aus
dem Deformationsgradienten nach Kapitel 2.1 bis 2.2 bestimmt werden. Dabei ist keine
Iteration und keine Abspeicherung von Geschichtsvariablen notwendig.
Der CAUCHY- Spannungstensor ergibt sich aus dem KIRCHHOFF-Spannungstensor
zu:
1 1
T n ⊗ n
3
0 0
= = ∑ J J a=
1
0
a
0
a
0
a
. (3.1)
Die elastischen Energieanteile werden in jedem Postprocessing-Schritt direkt aus
den logarithmischen Verzerrungen nach Gleichung (2.20) und (2.21) bestimmt.
3.2 Viskoelastisches Teilmodell
Analog zu [3] Kapitel 7 wird die Fließregel (2.16) in LAGRANGEsche Form überführt,
die Differentialgleichung mit impliziter EULER-Integration gelöst und anschließend
zurück in die EULERsche Formulierung überführt:
1 ev ev-1
ˆ ∂ ˆ
− 2 £ v b b = λ ev
∂
1 v v-1
-1
Å B B ˆ ∂ ˆ
− &
2 = λF
F ev
∂
v ⎛
Å
ˆ -1
∂ ˆ
B n + 1 = exp⎜− 2∆tλF
ev
⎝ ∂
⎞ v
F⎟
n+
1B
n
⎠
v -1
Å Fn + 1B
n+
1Fn
+ 1
-1
= Fn+
1Fn+
1
⎛ ˆ ∂ ˆ ⎞
v
⎜−
2∆tλ
ev ⎟ Fn
+ 1B
nF
⎝ ∂ ⎠ n+
1
ev ⎛
e*
Å
ˆ ∂ ˆ ⎞
b n + 1 = exp⎜− 2∆tλ
ev ⎟ n+
1 b .
⎝ ∂ ⎠
-1
exp n+
1
(3.2)
Wie in [3] Kapitel 7 näher erläutert, erhält man für diese Formulierung ein nichtlineares
Gleichungssystem für die logarithmischen Hauptverzerrungen, das die Integration der
Fließregel komplett beschreibt:
ev
a
ev*
ˆ ∂ ˆ
= a − ∆tλ
,
∂
ev
a
ev
a
ev
∂ ˆ
= , mit a = 1,2,3 (3.3)
∂
Dieses System wird mit dem NEWTON-Verfahren gelöst. Das führt zu folgender
linearisierter Form:
ev
a